張立國，馬金發(fā)

(沈陽理工大學(xué)，遼寧 沈陽 110159)

關(guān)于SM(L)結(jié)構(gòu)的討論

張立國，馬金發(fā)

(沈陽理工大學(xué)，遼寧 沈陽 110159)

給出超分子的等價(jià)定義，研究超分子集合SM(L)的結(jié)構(gòu)，討論完全分配格L上SM(L)=M(L)的充要條件，為連續(xù)格理論和Fuzzy拓?fù)鋵W(xué)的研究提供一些新的思路。

完全分配格；極小集；超分子

完全分配格是經(jīng)典格論的重要研究對(duì)象，對(duì)其刻劃的討論一直是熱點(diǎn)問題。無論是連續(xù)的DCPO理論，還是Fuzzy拓?fù)鋵W(xué)都對(duì)其做出過相關(guān)的研究。超分子作為工具，其性質(zhì)對(duì)于完全分配格的結(jié)構(gòu)研究是非常重要的。文獻(xiàn)[1]只對(duì)其進(jìn)行簡單討論，但沒有給出超分子集合SM(L)的結(jié)構(gòu)。本文給出超分子的等價(jià)定義，討論超分子集合SM(L)的結(jié)構(gòu)，為連續(xù)格理論和Fuzzy拓?fù)鋵W(xué)的后續(xù)研究奠定基礎(chǔ)。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)L是完全分配格，M(L)表示L的分子集。若a∈L，以β(a)表示a的最大極小集，β*(a)=β(a)∩M(L)?？梢宰C明a是分子當(dāng)且僅當(dāng)β*(a)是定向集。設(shè)a,b∈M(L),a≤b,則a<

2 SM(L)結(jié)構(gòu)的討論

文獻(xiàn)[1]中引入了超分子的概念，并給出完全分配格一個(gè)比較直觀的描述形式，但是未能研究超分子集合SM(L)的結(jié)構(gòu)。那么超分子和分子都作為刻劃完全分配格的工具，把握好他們之間的聯(lián)系，有利于更好地進(jìn)行格論問題的研究。

超分子的等價(jià)定義

定義1 設(shè)L是完備格，a∈L，a≠0，若?D?M(L)是定向集，∨D>a，則存在d∈D使得a≤d,則稱a是超分子。由超分子組成的集合，記作SM(L)。

定理1 設(shè)L是完全分配格，則SM(L)是并半格，即?x、y∈SM(L)，則x∨y∈SM(L)。

證明：設(shè)D?M(L)是定向集，且∨D>x∨y，則∨D>x，∨D>y。由于x、y∈SM(L)，因而存在d1、d2∈D，使得x≤d1、y≤d2。又因D為定向集，存在d∈D，使得d1、d2≤d，從而x、y≤d，因此x∨y≤d，即x∨y∈SM(L)。

在完備格L上，超分子與分子不是等價(jià)概念。例如L=[0,1]，1是分子而不是超分子。但在有限完備格L上，分子是超分子，而超分子不一定是分子，即M(L)?SM(L)。

下面給出在完備格L上超分子與分子等價(jià)條件。

命題1 設(shè)X是非空集合，則SM(2X)=M(2X)={{x}x∈X}。

定理2 設(shè)L是完全分配格，則SM(L)=M(L)當(dāng)且僅當(dāng)存在非空集合X，使得L≌2X。

證明：充分性 若SM(L)=M(L)，而M(L)是連續(xù)的DCPO，SM(L)是并半格，則SM(L)=M(L)是連續(xù)格，從而(M(L)，∑[M(L)])是入射T0空間，進(jìn)而(M(L)，∑[M(L)])是(或同胚)Sierpinski空間S的冪∏S的收縮核(X，Ω(X))。(不妨令M(L)=X)。由于Sierpinski空間∏S，L也是入射的locale，因此有如圖1所示的關(guān)系。

圖1 映射鏈接

由于f與g都是拓?fù)溥B續(xù)映射，故都是序同態(tài)，且為滿射，從而|∏S|=|L|，因此有L?∏S。又∏S同構(gòu)某冪集格，即存在非空集合X，使得2X?∏S，所以結(jié)論成立。

必要性 由于L≌2X，不妨設(shè)L=2X，由命題1可知，結(jié)論成立。

定理3 設(shè)L是完全分配格，則L中的每個(gè)元素都有唯一的極小集當(dāng)且僅當(dāng)存在非空集合X，使得L≌2X。

證明:必要性 設(shè)σ是從L→2X為序同構(gòu)映射。

首先，σ、σ-1把分子映射成分子。

若A、B∈2X，且σ(a)=A∪B，則a=σ-1(A∪B)=σ-1(A)∨σ-1(B)。由于a∈M(L)，因此a=σ-1(A)或a=σ-1(B)，從而σ(a)=A或σ(a)=B，所以σ(a)∈M(2X)。

同理可證 若A∈M(2X)，則σ-1(A)∈M(L)。

其次，σ、σ-1把極小集映射成極小集。

設(shè)a∈L。B為a的極小集，則a=∨LB，從而σ(a)=σ(∨LB)=∪σ(B)，因此σ(B)為σ(a)的恰當(dāng)覆蓋。

再次，2X中每個(gè)元有唯一極小集，則L中的每個(gè)元素都有唯一的極小集。

設(shè)a∈L，若A、B均為a的極小集，則σ(A)、σ(B)均為σ(a)的極小集。由于2X中每個(gè)元有唯一極小集，因而σ(A)=σ(B)，從而σ-1[σ(A)]=σ-1[(B)]，因此A=B。

充分性 首先，設(shè)a∈M(L)，必有β*(a)=↓°(a)∩M(L)。

若?x∈β*(a)，則∨[β*(a){x}]≠a。(否則：若∨[β*(a){x}]=a。由于β*(a){x}?β*(a)，于是β*(a){x}可以加細(xì)β*(a)，因此β*(a){x}是a的極小集。根據(jù)已知條件可得β*(a){x}=β*(a)，矛盾)，從而a?β*(a)，因此β*(a)?↓°(a)∩M(L)。

反之，若x∈↓°(a)∩M(L)，則有x∈β*(a)。(否則：x?β*(a)。由于β*(a)是下集，則?y∈β*(a),都有x≤/y。

令B1={y∈β*(a)|y與x不可比}、B2={y∈β*(a)|y

若a=∨B1。由于B1?β*(a)，因而B1是a的極小集。根據(jù)已知條件可得B1=β*(a)。又因β*(x)?β*(a)，這與B1的定義相矛盾。

若a=∨B2。由于B2的定義可知，∨B2≤x，從而a≤x。這與x∈↓°(a)∩M(L)矛盾),因此β*(a)?↓°(a)∩M(L)。

其次，M(L)的序是離散的。

若b>a,必有b?M(L)。事實(shí)上，若b∈M(L)，則a∈↓°(b)∩M(L)=β*(b),因此∨[β*(b){a}]≠b。又因β*(a)?β*(b)，且a?β*(a)，使得∨[β*(b){a}]=b相矛盾。

若θ

因此，若a、b∈M(L),且a≠b時(shí)，a與b是不可比的，即M(L)的序是離散的。

再次，令f是L到2M(L)的映射，即?a∈M(L)，f(a)=β*(a)。下面證明f為同構(gòu)映射。

若a、b∈L,且a≠b時(shí)，則β*(a)≠β*(b)，從而f(a)≠f(b)，即f為單射。

若A∈2M(L)，則∨A∈L，從而f(∨A)=A。事實(shí)上，x∈A，則∨A>x。由前面證明可知x∈β*(∨A)，從而A?β*(∨A)=f(∨A)，因此A是∨A的極小集。由于∨A有唯一的極小集，所以A=β*(∨A)=f(∨A)，即f為滿射。

若a、b∈L,且a

綜上所述，L≌2X。

根據(jù)定理2與定理3可得如下的結(jié)論

定理4 設(shè)L是完全分配格，則下列命題等價(jià):

(1)SM(L)=M(L)；

(2)存在非空集合X，使得L≌2X；

(3)L中的每個(gè)元素都有唯一的極小集。

由引理1和定理4可知，在有限完備格上有下面結(jié)論：

引理1[2]設(shè)L是完全分配格，則M(L)是連續(xù)的偏序集。

定理5 設(shè)L是完全分配格，且|L|<0，則SM(L)是連續(xù)的偏序集。

定理6 設(shè)L是完全分配格，且L<0，則SM(L)是完備格，從而SM(L)是連續(xù)格。

3 結(jié)束語

超分子作為完全分配格的研究工具，他的集合SM(L)結(jié)構(gòu)是并半格。當(dāng)把超分集子SM(L)與分子集M(L)聯(lián)系在一起時(shí)，會(huì)得到許多很好的結(jié)論，同時(shí)也會(huì)引發(fā)新的猜想。例如完全分配格的每個(gè)元素能否被表示成SM(L)∩M(L)的元素之并、完全分配格的范疇與并半格范疇的關(guān)系、完全分配格是否存在等價(jià)范疇等，這些問題都需要進(jìn)一步做出回答。

[1]張立國.完全分配格的刻劃[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，24(1):24-26.

[2]鄭崇友,樊磊,崔宏斌.Frame與連續(xù)格[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，1994.

(責(zé)任編輯：趙麗琴)

Discussion of the Structure ofSM(L)

ZHANG Liguo,MA Jinfa

(Shenyang Ligong University，Shenyang 110159，China)

The equivalent definition of ultra-molecule is given.The structure of the ultra-molecular setSM(L) is studied.Necessary and sufficient conditions ofSM(L)=M(L) on completely distributive latticeLis discussed.Some new ideas for the research on the theory of continuous lattices and Fuzzy topology are provided.

completely distributive; minimal set; ultra-molecular

2014-11-13

張立國(1970—)，男，副教授，研究方向：模糊拓?fù)鋵W(xué)；通訊作者：馬金發(fā)(1957—),男，高級(jí)工程師.

1003-1251(2015)04-0061-03

O189.13

A