陳孝國， 杜　紅

(1. 中國礦業(yè)大學(xué)(北京)力學(xué)與建筑工程學(xué)院， 北京 100083；

2. 黑龍江科技大學(xué)理學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150022)

?

區(qū)間三角模糊軟集及其動態(tài)決策方法

陳孝國1,2， 杜紅2

(1. 中國礦業(yè)大學(xué)(北京)力學(xué)與建筑工程學(xué)院， 北京 100083；

2. 黑龍江科技大學(xué)理學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150022)

摘要：為完善模糊軟集理論，提出區(qū)間三角模糊軟集的概念，并討論其相關(guān)運(yùn)算及性質(zhì)。建立基于區(qū)間三角模糊軟集的動態(tài)決策模型，其中，時(shí)間權(quán)重采用指數(shù)衰減方法進(jìn)行確定，利用集成的思想定義了區(qū)間三角模糊軟集算術(shù)加權(quán)平均算子，將不同時(shí)刻的區(qū)間三角模糊軟集集成為綜合區(qū)間三角模糊軟集。給出不同對象選擇值和決策值的求解公式，根據(jù)決策值大小來實(shí)現(xiàn)最優(yōu)決策。最后總結(jié)出方法的具體步驟，并通過實(shí)例說明具體應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：區(qū)間三角模糊軟集； 集成； 動態(tài)決策； 模糊軟矩陣

0引言

目前處理不確定性問題的方法主要有概率論[1]、區(qū)間數(shù)理論[2]、模糊集理論[3]以及粗糙集理論[4]。但是，上述這些理論和方法都普遍存在參數(shù)化不夠充分的缺點(diǎn)和不足[5]。因此，文獻(xiàn)[5]在對現(xiàn)有不確定性數(shù)學(xué)理論對比分析基礎(chǔ)之上，提出了一個全新、有效的數(shù)學(xué)概念軟集。軟集的最大優(yōu)勢是能夠借助靈活的參數(shù)化方法來更加細(xì)膩地描述客觀事物的不確定性，然而隨著研究的深入，針對事物的屬性值以模糊數(shù)、區(qū)間數(shù)以及直覺模糊數(shù)描述時(shí)，經(jīng)典軟集顯得無能為力，所以國內(nèi)外許多學(xué)者對其擴(kuò)展研究進(jìn)行了廣泛的探討。文獻(xiàn)[6]在對軟集和模糊集的相關(guān)性質(zhì)研究基礎(chǔ)上提出了模糊軟集理論，并給出了交、并、補(bǔ)等運(yùn)算。文獻(xiàn)[7]又進(jìn)一步將軟集擴(kuò)展，給出了更具應(yīng)用前景的直覺模糊軟集概念。文獻(xiàn)[8]在對軟集和區(qū)間值模糊集研究的基礎(chǔ)上提出了區(qū)間值模糊軟集理論，并探討了對偶律和結(jié)合律等相關(guān)定理。文獻(xiàn)[9]在直覺模糊軟集的基礎(chǔ)上進(jìn)行了更深入的研究，定義了區(qū)間值直覺模糊軟集。文獻(xiàn)[10]提出了粗糙軟集。文獻(xiàn)[11-12]首次提出基于軟集和模糊軟集的決策方法和步驟，并在實(shí)例分析中采用粗糙集理論對事物屬性進(jìn)行約簡，文獻(xiàn)[13]對文獻(xiàn)[12]決策方法的錯誤進(jìn)行了探討。文獻(xiàn)[14]重新定義了Molodtsov所提出的軟集概念及其運(yùn)算性質(zhì)，并且給出了一種基于軟集的uni-int決策方法。文獻(xiàn)[15]給出了軟矩陣定義，并得到了許多有應(yīng)用價(jià)值的矩陣運(yùn)算結(jié)論，最后利用max-min軟矩陣決策方法對實(shí)例進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[16-17]分別對軟集進(jìn)行了擴(kuò)展研究，同時(shí)在決策時(shí)提出設(shè)定閾值向量構(gòu)造水平軟集，將不同類型軟集轉(zhuǎn)化為經(jīng)典軟集，再通過不同對象機(jī)會值的大小得到最優(yōu)決策。文獻(xiàn)[18-19]年給出了三角模糊軟集和梯形模糊軟集的定義及其相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)，并建立了相應(yīng)的決策模型。

上述研究雖然對軟集的擴(kuò)展進(jìn)行了廣泛的探討，但是對區(qū)間三角模糊軟集的研究文獻(xiàn)卻相對較少，同時(shí)，上述關(guān)于決策的研究基本都是靜態(tài)的，實(shí)際問題中往往需要動態(tài)進(jìn)行分析，因此在模糊軟集決策中引入時(shí)間變量是必要的?；诖?，本文提出區(qū)間三角模糊軟集的定義，并探討相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)。建立考慮時(shí)間變量的動態(tài)區(qū)間三角模糊軟集決策模型，時(shí)間權(quán)重采用文獻(xiàn)[20]中指數(shù)衰減方法確定。利用集成的思想[21]定義區(qū)間三角模糊軟集的算術(shù)加權(quán)平均算子，并給出動態(tài)區(qū)間三角模糊軟集的集成定理。同時(shí)借鑒文獻(xiàn)[8，18]所提出的決策思路，定義一種基于區(qū)間三角模糊軟集的選擇值和決策值求解公式，并用于決策分析中。

1區(qū)間三角模糊數(shù)及其性質(zhì)

如果0

定義 2設(shè)s=[(a-,a+);b;(c-,c+)]和t=[(m-,m+);h;(k-,k+)]是兩個區(qū)間三角模糊數(shù)，如果a-≤ m-，a+≤ m+，b ≤ h，c-≤ k-，c+≤ k+，則稱s ≤ t。

定義 3設(shè)s=[(a-,a+);b;(c-,c+)]和t=[(m-,m+);h;(k-,k+)]是兩個區(qū)間三角模糊數(shù)，則

(1)

(2)

定義 4設(shè) t=[(m-,m+);h;(k-,k+)]是一區(qū)間三角模糊數(shù)，則t的補(bǔ)集為

(3)

定義 5設(shè)s=[(a-,a+);b;(c-,c+)]和t=[(m-,m+);h;(k-,k+)]是兩個區(qū)間三角模糊數(shù)，常數(shù)k>0，則

b+h-bh;

(4)

(5)

定義3～定義5能夠保證規(guī)范區(qū)間三角模糊數(shù)運(yùn)算的封閉性。

2區(qū)間三角模糊軟集及其性質(zhì)

定義 6設(shè)U為論域，E為參數(shù)集，Γ(U)表示論域U上所有區(qū)間三角模糊集，A?E，稱(F,A)為論域U上的一個區(qū)間三角模糊軟集，其中映射F：A→Γ(U)。即對?e∈A，有

(6)

式中，sF(e)(x)是F(e)中x所對應(yīng)的區(qū)間三角模糊數(shù)。

定義 7設(shè)(F,A)和(G,B)是論域U上的兩個區(qū)間三角模糊軟集，那么當(dāng)且僅當(dāng)A?B且對?e∈A，F(xiàn)(e)是G(e)的區(qū)間三角模糊子集。即對?x∈U，F(xiàn)(e)和G(e)中x所對應(yīng)的區(qū)間三角模糊數(shù)sF(e)(x)和sG(e)(x)滿足

如果(G,B)是(F,A)的區(qū)間三角模糊軟子集，那么(F,A)就是(G,B)的區(qū)間三角模糊軟父集。

定義 9設(shè)(F,A)為論域U上的一個區(qū)間三角模糊軟集，稱(F,A)c=(Fc,A)為(F,A)的補(bǔ)集，其中映射Fc：A→Γ(U)，即對?e ∈A，有

(7)

式中，sF(e)(x)是F(e)中x所對應(yīng)的區(qū)間三角模糊數(shù)。

由定義9可以看出，顯然

定義 10設(shè)(F,A)和(G,B)是論域U上的兩個區(qū)間三角模糊軟集，稱(F,A)∧(G,B)為它們的“AND”運(yùn)算，且(F,A)∧(G,B)=(H,A×B)，即對?(α,β)∈A×B，有

(8)

式中，sF(α)(x)和sG(β)(x)分別是F(α)和G(β)中x所對應(yīng)的區(qū)間三角模糊數(shù)。

定義 11設(shè)(F,A)和(G,B)是論域U上的兩個區(qū)間三角模糊軟集，稱(F,A)∨(G,B)為它們的“OR”運(yùn)算，且(F,A)∨(G,B)=(M， A×B)，即對?(α,β)∈A×B，有

(9)

式中，sF(α)(x)和sG(β)(x)分別是F(α)和G(β)中x所對應(yīng)的區(qū)間三角模糊數(shù)。

定理 1設(shè)(F,A)和(G,B)是論域U上的兩個區(qū)間三角模糊軟集，則有

(10)

(11)

證明設(shè)(F,A)∧(G,B)=(H,A×B)，則

并且

對?(α,β)∈A×B，有

所以((F,A)∧(G,B))c=(F,A)c∨(G,B)c成立。

證畢

式(11)的證明過程類似。

定理 2設(shè)(F,A)、(G,B)和(L,C)是論域U上的3個區(qū)間三角模糊軟集，則有

(12)

(13)

證明設(shè)(F,A)∧(G,B)=(H,A×B)

對?(α,β)∈A×B，γ∈C，有

式中，sF(α)(x)，sG(β)(x)和sL(γ)(x)分別是F(α)，G(β)和L(γ)中x所對應(yīng)的區(qū)間三角模糊數(shù)。

對?(β,γ)∈B×C，?α∈A，有

所以((F,A)∧(G,B))∧(L,C)=(F,A)∧ ((G,B)∧(L,C))成立。

證畢

式(13)的證明過程類似。

定理 3設(shè)(F,A)、(G,B)和(L,C)是論域U上的3個區(qū)間三角模糊軟集，則有

(14)

(15)

證明設(shè)(F,A)∧(G,B)=(H,A×B)

對?(α,β)∈A×B，γ∈C，有

對?(α,γ)∈A×C，?(β,γ)∈B×C，有

所以((F,A)∧(G,B))∨(L,C)=((F,A)∨(L,C))∧((G,B)∨(L,C))成立。

證畢

式(15)的證明過程類似。

3區(qū)間三角模糊軟集的決策方法

3.1時(shí)間權(quán)重的確定

文獻(xiàn)[20]提出采用指數(shù)衰減模型來確定時(shí)間權(quán)重，基本思想是不同時(shí)刻決策者所掌握的信息是不同的，離最終決策時(shí)刻越近則掌握決策信息越多，時(shí)間權(quán)重就越大，反之就越小。

本文只考慮時(shí)間為離散時(shí)的情況，設(shè)時(shí)間集T={1,2,…,K}，t∈T，則t時(shí)刻的權(quán)重為

(16)

式中，λ為衰減系數(shù)。

3.2區(qū)間三角模糊軟集的集成方法

借鑒文獻(xiàn)[21]的集成思想，可以類似定義區(qū)間三角模糊軟集的算數(shù)加權(quán)平均算子，將不同時(shí)刻的區(qū)間三角模糊軟集集成為綜合區(qū)間三角模糊軟集。文獻(xiàn)[15]已經(jīng)指出，模糊軟集與模糊軟矩陣一一對應(yīng)，因此討論區(qū)間三角模糊軟集的集成方法就轉(zhuǎn)化為研究區(qū)間三角模糊軟矩陣的集成。

(17)

(18)

(19)

(20)

根據(jù)定義12和定義13可以看出定理4的證明是明顯的。

3.3決策方法

(21)

i=1,2,…,m；j=1,2,…,n；k=1,2,…,K。

文獻(xiàn)[8，18]針對區(qū)間模糊軟集和三角模糊軟集中的決策問題，均采用了選擇值和決策值進(jìn)行研究。本文借助該思路，給出論域中xi基于區(qū)間三角模糊軟集的選擇值μi和決策值ηi，表示為

(22)

(23)

3.4決策步驟

設(shè)論域U={x1,x2,…,xm}，參數(shù)集A={e1,e2,…,en}，時(shí)間集T={1,2,…,K}，時(shí)間權(quán)重向量為w=(w1,w2,…,wK)，根據(jù)上述討論，可以得到區(qū)間三角模糊軟集的動態(tài)決策步驟。

步驟 1根據(jù)決策者所掌握的信息確定衰減系數(shù)λ，利用式(16)計(jì)算各時(shí)刻權(quán)重。

步驟 2利用式(20)將不同時(shí)刻的區(qū)間三角模糊軟矩陣集成為綜合區(qū)間三角模糊軟矩陣。

步驟 3利用式(22)和式(23)分別計(jì)算論域中每個元素對應(yīng)的選擇值和決策值。

步驟 4根據(jù)決策值的大小進(jìn)行決策分析，最大決策值對應(yīng)的元素最優(yōu)。

4實(shí)例分析

某運(yùn)載火箭技術(shù)研究院考慮從4家關(guān)鍵原材料特制鈦合金供應(yīng)企業(yè){x1,x2,x3,x4}中選擇一家進(jìn)行長期合作，首先要求供應(yīng)企業(yè)提供的產(chǎn)品質(zhì)量要絕對可靠，隨著航天科技的發(fā)展，供應(yīng)企業(yè)要具有持續(xù)的科技創(chuàng)新能力，并與運(yùn)載火箭技術(shù)研究院的戰(zhàn)略目標(biāo)匹配相一致。所以對特制鈦合金供應(yīng)企業(yè)的考察期設(shè)定為最近3年，決策者分別從企業(yè)信譽(yù)(e1)、企業(yè)持續(xù)科技創(chuàng)新能力(e2)和戰(zhàn)略目標(biāo)匹配(e3)三個方面逐年進(jìn)行考察，評價(jià)結(jié)果以區(qū)間三角模糊軟集的形式給出，如表1～表3所示。

表1　第1年評價(jià)值

表2　第2年評價(jià)值

表3　第3年評價(jià)值

取衰減系數(shù)λ=0.5，利用式(16)計(jì)算時(shí)間權(quán)重w=(0.186 3,0.307 2，0.506 5)。根據(jù)式(20)將近三年的區(qū)間三角模糊軟集集成為綜合區(qū)間三角模糊軟集，計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4　綜合區(qū)間三角模糊軟集

利用式(22)計(jì)算各企業(yè)的選擇值為

μ1=[(1.531,1.834);2.008;(2.183,2.491)]

μ2=[(1.299,1.611);1.675;(1.760,2.214)]

μ3=[(1.956,2.264);2.386;(2.461,2.848)]

μ4=[(1.400,1.704);1.825;(1.998,2.487)]

利用式(23)計(jì)算各企業(yè)的決策值為

η1=0.254，η2=-5.699

η3=7.725，η4=-2.280

由于η3值最大，因此運(yùn)載火箭技術(shù)研究院選擇企業(yè)x3進(jìn)行長期合作。

5結(jié)論

本文提出了區(qū)間三角模糊軟集的概念以及軟子集、“AND”、“OR”、補(bǔ)等定義，探討了相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)并給出證明，進(jìn)一步豐富了模糊軟集理論。同時(shí)，建立基于區(qū)間三角模糊軟集的動態(tài)決策模型，由于考慮了時(shí)間變化的影響使得決策過程更加符合實(shí)際，通過集成運(yùn)算使得決策結(jié)果更為可靠。最后實(shí)例分析表明，所提出的方法有效，且易于編程計(jì)算。

參考文獻(xiàn)：

[1] Miao B Q, Hu T Z.Probabilitytheory[M].Hefei:Press of University of Science and Technology of China,2009:1-15.(繆柏其,胡太忠.概率論教程[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2009:1-15.)

[2] Gorzalczany M B. A method of inference in approximate rea-soning based on interval-valued fuzzy sets[J].FuzzySetsandSystems,1987,21(1):1-17.

[3] Zadeh L A.Fuzzy sets[J].InformationandControl,1965,8(3):338-353.

[4] Pawlak Z. Rough sets[J].InternationalJournalofComputerandInformationSciences, 1982, 11: 341-356.

[5] Molodtsov D. Soft set theory-first results[J].ComputersandMathematicswithApplications, 1999, 37(4):19-31.

[6] Maji P K, Biswas R, Roy A R. Fuzzy soft sets[J].JournalofFuzzyMathematics, 2001, 9(3): 589-602.

[7] Maji P K, Biswas R, Roy A R. Intuitionistic fuzzy soft sets[J].JournalofFuzzyMathematics, 2001, 9(3): 677-692.

[8] Yang X B, Lin T Y, Yang J Y, et al. Combination of interval-valued fuzzy set and soft set[J].ComputersandMathematicswithApplications, 2009, 58(3): 521-527.

[9] Jiang Y C, Tang Y, Chen Q M, et a1. Interval-valued intui-tionistic fuzzy soft sets and their properties[J].ComputersandMathematicswithApplications,2010,60(3):906-918.

[10] Ali M I. A note on soft sets, rough soft sets and fuzzy soft sets[J].AppliedSoftComputing,2011,11(4):3329-3332.

[11] Maji P K, Roy A R, Biswas R. An application of soft sets in a decision making problem[J].ComputersandMathematicswithApplications, 2002, 44(8):1077-1083.

[12] Roy A R, Maji P K. A fuzzy soft set theoretic approach to decision making problems[J].JournalofComputationalandAppliedMathematics, 2007, 203(2): 412-418.

[13] Kong Z, Gao L Q, Wang L F. Comment on "A fuzzy soft set theoretic approach to decision making problems"[J].JournalofComputationalandAppliedMathematics, 2009, 223(2): 540-542.

[16] Feng F, Jun Y B, Liu X, et al. An adjustable approach to fuzzy soft set based decision making[J].JournalofComputationalandAppliedMathematics, 2010, 234(1): 10-20.

[17] Jiang Y C, Tang Y, Chen Q M. An adjustable approach to intuitionistic fuzzy soft sets based decision making[J].AppliedMathematicalModeling, 2011, 35(2): 824-836.

[18] Kuang T L, Xiao Z. A multi-criteria decision making approach based on triangle-valued fuzzy soft sets[J].JournalofConvergenceInformationTechnology, 2012, 7(15): 17-25.

[19] Kuang T L. Trapezoid-valued fuzzy soft sets and its applications[J].AdvancesinInformationSciencesandServiceSciences, 2012, 4(15): 310-316.

[20] Mao J J, Yao D B, Wang C C, et al. Group decision-making method based on time-series fuzzy soft sets[J].SystemsEngineeringTheory&Practice,2014,34(1):182-189.(毛軍軍,姚登寶,王翠翠,等.基于時(shí)序模糊軟集的群決策方法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2014,34(1):182-189.)

[21] Xu Z S. Intuitionistic fuzzy aggregation operators[J].IEEETrans.onFuzzySystems, 2007, 15(6): 1179-1187.

[22] Zhang S F, Liu S Y, Zhai R H. An extended GRA method for MCDM with interval-valued triangular fuzzy assessments and unknown weights[J].Computers&IndustrialEngineering, 2011, 61(4): 1336-1341.

陳孝國(1978-)，男，博士研究生，主要研究方向?yàn)槟：治黾皼Q策。

E-mail：kjdxcxg@sohu.com

杜紅(1972-)，女，教授，博士，主要研究方向?yàn)槟：龥Q策及預(yù)測。

E-mail：longjiangchenguo@eyou.com

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141019.2344.005.html

Interval-valued triangular fuzzy soft set and its method

of dynamic decision making

CHEN Xiao-guo1,2， DU Hong2

(1.SchoolofMechanicsandCivilEngineering,ChinaUniversityofMining&Technology,Beijing100083,

China; 2.SchoolofScience,HeilongjiangUniversityofScienceandTechnology,Harbin150022,China)

Abstract:The concept of interval-valued triangular fuzzy soft set is presented and the relative operations and properties are discussed for improving the fuzzy soft theory. A dynamic decision making model is established based on the definition of interval-valued triangular fuzzy soft set, in which the determination of period weights is by the use of exponential decay method, and the arithmetic weighted average operator of interval-valued triangular fuzzy soft set has been given by the aggregating thought, thereby aggregating different time-series interval-valued triangular fuzzy soft sets into a collective interval-valued triangular fuzzy soft set. The formulas of different objects selection and decision-making value have been given, therefore the optimal decision-making is achieved according to the size of the decision values. Finally, the steps of the proposed method have been concluded, and some examples are given to explain the application of the method.

Keywords:interval-valued triangular fuzzy soft set; aggregating; dynamic decision making; fuzzy soft matrix

作者簡介：

中圖分類號：C 934

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.05.21

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(51105135)；黑龍江省自然科學(xué)基金(A201015)資助課題

收稿日期：2014-05-19；修回日期：2014-06-30；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014-10-19。