宋加山，李 勇，黃 亭

（1.西南科技大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院，四川 綿陽 621010；2.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 管理學(xué)院，合肥 230026）

1 排隊系統(tǒng)組成和特征

排隊論最初是在20世紀(jì)初由丹麥工程師艾爾郎關(guān)于電話交換機的效率研究開始，開創(chuàng)了這門應(yīng)用學(xué)科，以后越來越多的學(xué)者開始對排隊論進(jìn)行理論上的研究。費勒在20世紀(jì)30年代將生滅過程引入到排隊論理論研究過程中，成功地解決了很多的排隊論問題。堪道爾在20世紀(jì)50年代初將嵌入式入馬爾柯夫鏈來研究排隊理論體系，成為了排隊論的基礎(chǔ)。隨著互聯(lián)網(wǎng)計算機的迅猛發(fā)展，排隊論在越來越多的領(lǐng)域得到了應(yīng)用，排隊論在理論及實證研究中都得到了快速的發(fā)展。

排隊指的是在一個或多個服務(wù)臺前等待提供服務(wù)的一列顧客，排隊有有形與無形之分，并非一定是服務(wù)臺前的一列有形的群體。通常認(rèn)為，服務(wù)臺就是顧客接收服務(wù)的獨立場所，任何一個服務(wù)系統(tǒng)，其服務(wù)資源都是有限的，所以一旦當(dāng)顧客的服務(wù)需求超出了服務(wù)臺所能提供的服務(wù)能力，排隊現(xiàn)象就會發(fā)生。顧客到達(dá)服務(wù)臺的時間有先后之分，接受服務(wù)的時間自然是不同的，需要服務(wù)的顧客在服務(wù)臺都被占用的情況下不能得到及時的服務(wù)，所以說排隊對于任何一個系統(tǒng)都會不可避免的發(fā)生。

排隊也就意味著等待，而等待在經(jīng)濟意義上的成本應(yīng)當(dāng)從兩個方面加以考慮。對公司來講，使員工等待的成本可以通過薪酬來進(jìn)行衡量，對于顧客來講，他們的等待成本則是在這一段時間里可以做其它事情的機會成本，并且等待還會使顧客產(chǎn)生心理反應(yīng)的成本如焦躁、厭煩等情緒。

在當(dāng)前競爭激烈的市場中，過長或者預(yù)計會很長時間的排隊都有會導(dǎo)致失去顧客。所以必須對排隊系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化管理，評價一個排隊系統(tǒng)的優(yōu)劣，要從兩方面的利益來進(jìn)行考察。首先，對于顧客來說，他們總是想等待排隊的時間盡可能短，而提供服務(wù)臺的數(shù)量盡可能的多；與之相反，公司增加服務(wù)臺個數(shù)就意味著增加人資資本，增加投資，在服務(wù)臺空閑時就導(dǎo)致了資源的浪費。所以對于企業(yè)來說，增加多了服務(wù)臺會產(chǎn)生浪費，增加少了又會導(dǎo)致失去顧客，兩者之間很難進(jìn)行平衡，所以必須對排隊系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)研究。

排隊系統(tǒng)具有需求群體、到達(dá)過程、排隊結(jié)構(gòu)、排隊規(guī)則、服務(wù)過程五個基本特征，這五個特征相互作用構(gòu)成了排隊系統(tǒng)（如圖1所示）。

圖1 排隊系統(tǒng)圖解

（1）需求群體：在當(dāng)今科技的很多領(lǐng)域中，各種各樣的關(guān)于排隊的情形有許多，在這些情形中，不難發(fā)現(xiàn)他們都包含需求服務(wù)的一面以及提供服務(wù)的一面，這些我們都把他們簡稱為客戶服務(wù)，對服務(wù)有需求的一方組成了需求的群體，而出現(xiàn)排隊情形的根本原因就是客戶需求的不確定性以及服務(wù)場所的限制性。

（2）到達(dá)過程：客戶從哪里來的以及如何到達(dá)的都有著很多的規(guī)律性，因此，到達(dá)的過程需要三個方面的說明：①構(gòu)成顧客呼叫到達(dá)的整體是無限的也有有限的。②顧客呼叫到達(dá)所需要的時間，這之間的間隔是不是相互獨立的，連續(xù)的時間間隔內(nèi)到達(dá)的可能性，滿足概率的分布。據(jù)服從到達(dá)時間的分布，我們可以把到達(dá)過程分為以下幾類：定長分布、指數(shù)分布（泊松分布）、負(fù)指數(shù)分布、Erlang分布、幾何分布、二項分布以及一般分布。③到達(dá)客戶來電的種類可以分成單分批到達(dá)、按時間到達(dá)、轉(zhuǎn)移狀態(tài)到達(dá)等;對于到達(dá)規(guī)則無特殊說明的都按照單分批到達(dá)。

（3）排隊結(jié)構(gòu)：顧客在到達(dá)后，如果服務(wù)臺此時處于空閑狀態(tài)，顧客就可以得到及時的服務(wù)，從而使顧客得到滿意，但是在客戶到達(dá)之后，在這個時候服務(wù)器是很繁忙的，客戶這個時候就應(yīng)該選擇排隊，這也就構(gòu)成了許多不同結(jié)構(gòu)的排隊樣式。

（4）排隊規(guī)則：排隊的要求具有以下特征，即服務(wù)于客戶裝備的數(shù)量和客戶所用裝備的時間長短，這樣的話可以分成等體制、損失制以及混合制。在客戶到達(dá)后，全部的服務(wù)窗口都被使用著，這時候客戶就必須來排隊，這個就稱為等待制。等待制可分為先來先服務(wù)、后來先服務(wù)、優(yōu)先服務(wù)還有隨機服務(wù)。如果客戶先到達(dá)看見服務(wù)的裝備都被占用著而沒有選擇余地選擇離開，這個就叫做損失制。部分客戶排隊等候局限于有限的空間資源或環(huán)境條件，當(dāng)超過一定的數(shù)量時，后來到達(dá)的客戶就要必須離開，這個也就構(gòu)成了混合制。

（5）服務(wù)流程：關(guān)于服務(wù)的流程可以分為下面三個部分：座位數(shù)、每個需要的服務(wù)的時間所滿足的概率分布以及服務(wù)方式（串聯(lián)或并聯(lián)）。在數(shù)量上看，服務(wù)機構(gòu)既可以是一個幫助臺，也可以是多個臺。從形式上看，當(dāng)有很多個服務(wù)器的系統(tǒng)時，還能夠分成平行排列和串聯(lián)排列。所以，服務(wù)臺的構(gòu)成形式有單隊的單服務(wù)臺式；單隊的多服務(wù)臺并聯(lián)式；多隊的多服務(wù)臺并聯(lián)式；單隊的多服務(wù)臺串聯(lián)式；單隊的多服務(wù)臺并串聯(lián)混合式；多隊多服務(wù)臺并串聯(lián)混合式等。在服務(wù)的過程中，如果隊伍移動的速度太慢使顧客等待的時間過長，顧客就會放棄加入隊伍，而去尋求其它服務(wù)，即使是已經(jīng)在隊伍中的顧客，也有可能因為長時間的等待而在服務(wù)接受前退出隊伍，這些都會造成顧客的流失。在服務(wù)臺空閑時，會選擇一名顧客進(jìn)行服務(wù)，服務(wù)結(jié)束后，顧客離開，在今后的一段時間內(nèi)，顧客有可能繼續(xù)來接受服務(wù)，也有可能再也不需要這個服務(wù)。

2 到達(dá)間隔和服務(wù)時間的分布

通過對排隊問題進(jìn)行求解，可以有效地對排隊系統(tǒng)效率進(jìn)行研究，確定排隊系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)值，從而確定服務(wù)系統(tǒng)的合理性，并對其進(jìn)行改進(jìn)優(yōu)化。判斷排隊系統(tǒng)的優(yōu)劣性可以用數(shù)據(jù)指標(biāo)來衡量。這些數(shù)據(jù)指標(biāo)包括：①顧客在單位時間內(nèi)到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的數(shù)量，也就是平均到達(dá)率，記為λ；②單位時間內(nèi)接受服務(wù)顧客的平均離去率，記為μ；③在t時刻排隊系統(tǒng)中恰有n個顧客的概率Pn(t)；④服務(wù)系統(tǒng)內(nèi)的平均顧客數(shù)量為隊長，記為L；⑤等待接受服務(wù)的平均顧客數(shù)量為等待隊長，記為Lq；⑥顧客從進(jìn)入服務(wù)系統(tǒng)到離開的時間，記為W；⑦顧客等候服務(wù)的時間，記作Wq。

為了對服務(wù)系統(tǒng)進(jìn)行有效地研究分析，必須要明確此服務(wù)系統(tǒng)屬于哪一個模型，然后要研究它的服務(wù)需求時間及空間的分布情況即其中只有顧客到達(dá)的間隔時間分布和服務(wù)時間的分布需要實測的數(shù)據(jù)來確定，其他因素都是出現(xiàn)時給定的。通常應(yīng)用最多的收集數(shù)據(jù)的方法就是記錄到達(dá)的實際次數(shù)，將這些數(shù)據(jù)進(jìn)行整理可以計算到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的的時間間隔。一般來說，到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的間隔時間通常呈定長分布、泊松分布、負(fù)指數(shù)分布、愛爾朗分布。在排隊論的模型中，泊松分布是最基本的模型，即顧客到達(dá)流是泊松流（Possion），它具有平穩(wěn)性、無后效性及普通性的性質(zhì)：

（1）平穩(wěn)性：顧客到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的概率只和時間區(qū)間的長度和顧客的個數(shù)有關(guān)，而和區(qū)間的端點無關(guān)。也就是說在時間t+△t內(nèi)，只有△t和n對其概率有影響，時刻起點t對此沒有任何影響。

（2）無后效性：指在互不重疊的時間段內(nèi)，事件的發(fā)生是相互獨立的。即在時間t+△t內(nèi)，起始時刻前到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的顧客數(shù)對于到達(dá)n個顧客的概率沒有影響。

（3）普通性：如果時間區(qū)間充分小，事件出現(xiàn)兩次或兩次以上的概率可忽略不計。即在充分小的△t這個時間間隔內(nèi)，t+△t內(nèi)當(dāng)只有一個客戶到達(dá)服務(wù)器的時候，在t+△t這個時間內(nèi)就會有兩個或者是兩個之上的客戶到達(dá)服務(wù)器的概率小之又小，是

在t的時間內(nèi)到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)n個顧客的概率為：

中國工程機械工業(yè)協(xié)會會長祁俊在致辭中說，山重建機在繼2011年北京工程機械展會上推出節(jié)能環(huán)保的混合動力挖掘機和電動挖掘機后，今年在上海寶馬展上又隆重推出了燃?xì)鈩恿ν诰驒C等多款創(chuàng)新產(chǎn)品，這充分體現(xiàn)了山重建機在技能環(huán)保等方面的研發(fā)實力，零排放、零污染的技術(shù)變革正改變著工程機械行業(yè)發(fā)展的格局，進(jìn)一步拓寬了市場需求。

當(dāng)t=1時，即單位時間內(nèi)到達(dá)n個顧客的概率為：

其中λ為單位時間內(nèi)到達(dá)系統(tǒng)的顧客的期望值。

Possion分布給出了在t時間內(nèi)有n位顧客到達(dá)的概率，如果給定λ值，則就可以描述到達(dá)過程（Possion過程其實是個離散型的概率函數(shù)）。

3 排隊模型的求解

如果按照排隊系統(tǒng)特征的各種可能情形來分類是很多的。但通用的分類方法是Kendall(1953)提出一個分類形式——X/Y/Z，即（1）相繼顧客到達(dá)間隔時間的分布，記為X；（2）服務(wù)時間的分布，記為Y；（3）服務(wù)臺個數(shù)，記為Z。

對于呼叫中心而言，一般采用的是M/M/C/∞/∞這個模型進(jìn)行管理，假定呼叫中心在一個單位的時間的到達(dá)的概率是λ，并是單個列，而且還有C個服務(wù)器，并且是服務(wù)器是單個進(jìn)行的，互不影響，并且每個服務(wù)臺的效率是一樣的，假定為μ( )Cμ＞λ，若此時顧客的數(shù)量是數(shù)不清的，而且將排隊的要求規(guī)定為等待制。

下面的是服務(wù)器的狀態(tài)的概率和部分主要的進(jìn)行的指標(biāo)：

（1）服務(wù)器的狀態(tài)概率

(2)系統(tǒng)的主要運行指標(biāo)

4 實證分析

某集團(tuán)公司客服呼叫中心有4臺可撥打電話，顧客的到達(dá)（信息、咨詢、投訴、查詢等服務(wù)）服從泊松分布規(guī)律。呼叫中心平均每個小時可到達(dá)12人，并且每人服務(wù)時間都服從指數(shù)分布，即每臺每小時平均服務(wù)4人，客戶到達(dá)后排成一列，依次接受服務(wù)。求：①4臺電話同時空閑的概率；②計算系統(tǒng)的L、Lq、W、Wq；③顧客到達(dá)后必須等待的概率。

該排隊系統(tǒng)是M/M/4/∞/∞模型，依題意：

①4臺電話同時空閑的概率

②按（4）分別計算L、Lq、W、Wq

③顧客到達(dá)后必須等待的概率

5 結(jié)論

本文以構(gòu)建排隊的框架模型對呼叫中心的排隊管理展開了最優(yōu)控制研究和探討，并采取實證分析進(jìn)行驗證，通過這一模型，達(dá)到了當(dāng)處在一定的服務(wù)器約束的時候形成的最優(yōu)排班的管理。以下是本文相關(guān)的研究總結(jié)：

第一，現(xiàn)代呼叫中心作為信息化時代資源配置和市場競爭的公共通道具有重大的戰(zhàn)略意義和經(jīng)濟價值，在呼叫中心行業(yè)快速發(fā)展的今天，作為呼叫中心的排隊功能也在不斷進(jìn)步，任何一個呼叫中心系統(tǒng)都要不斷完善和改進(jìn)該功能。當(dāng)今的發(fā)展來看，我國的呼叫中心早已漸漸地進(jìn)入到精細(xì)化管理的新階段，所以，不管是從呼叫中心的運行管理這方面還是說從人力資源管理的速度來看，科學(xué)的排班管理都會極大地提高其服務(wù)水平和運營效率。

第二，本文所提供的排隊論模型可以為呼叫中心的勞動力管理提供了有效的定量分析方法和工具，為呼叫中心的迅速提供了適當(dāng)?shù)膮?shù)指標(biāo)。排隊論方法已成為提高呼叫中心管理效益的首選研究工具，排隊論模型應(yīng)用于排班管理，為我們開展服務(wù)設(shè)計和性能的評價提供了理論依據(jù)。通過智能，面向數(shù)據(jù)的系統(tǒng)工具，對呼叫中心的運行狀況進(jìn)行有力的數(shù)字分析，得到呼叫中心各個數(shù)量指標(biāo)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行系統(tǒng)的優(yōu)化，能夠快速且客觀地了解到客服系統(tǒng)的話務(wù)情況、座席的工作狀態(tài)，從而能夠較好的控制呼叫人員離職率和損耗訓(xùn)練成本，提高座席利用率，并且有效的減少客戶排隊等候的時間，減少客戶的流失率，增加客戶滿意度和忠誠度。通過排隊論模型在排班管理系統(tǒng)的最優(yōu)控制研究，使人力資源和顧客需求在一定程度上達(dá)到最優(yōu)配置規(guī)模。

第三，本文所提供的排隊論模型對于諸如電信、航空、醫(yī)療、運輸、金融等眾多領(lǐng)域的排管管理問題同樣具有適用性。通過應(yīng)用本文提供的排隊論模型，對這些領(lǐng)域服務(wù)對象到來的時間及服務(wù)的時間進(jìn)行統(tǒng)計研究，得出需要的數(shù)量指標(biāo)，并根據(jù)這些數(shù)據(jù)改進(jìn)服務(wù)體系，這樣的話服務(wù)體系進(jìn)行了優(yōu)化，就可以既滿足客戶的需求，又能使人力資源配置和顧客到達(dá)過程的最優(yōu)控制，為多領(lǐng)域的數(shù)字化管理提供了理論支持和實踐參考。

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