付志慧，彭毳鑫

（1.沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，沈陽 110034；2.吉林師范大學 外語部，吉林 四平136000）

0 引言

近年來，多層建模方法在項目反應理論中得以應用，Adams 1997討論了將潛在特質(zhì)變量看作回歸分析中的因變量，構造了兩層回歸模型，第一層是項目反應模型（學生內(nèi)部模型，描述了項目反應和被試能力之間的測量關系），第二層是學生能力總體分布模型（學生間模型，描述了被試個體之間的差異）[1]。相比于觀測分數(shù)的多層線性模型方法，潛變量多層建模法最大的優(yōu)點在于潛在變量（學生的能力）和測驗是相互獨立的，適用于不完全設計的測驗。Fox(2001)提出了更一般的帶有預測變量的多層正態(tài)卵形項目反應模型，并采用Gibbs抽樣的方法進行分析，然而抽樣過程要利用正態(tài)分布的共軛性，因而模型中參數(shù)的先驗選取具有局限性。[2]

本文提出了多層Logistic項目反應模型，并在貝葉斯框架下，基于增加數(shù)據(jù)的Gibbs抽樣法給出模型中參數(shù)的后驗估計[3～6],通過模擬實例表明，計算簡單容易操作,而且不受先驗分布選取的限制，從而解決了由多層IRT模型中復雜的相依結構帶來的多重積分問題。

1 多層項目反應模型

Bryk 1992[7]年提出了完整的包含預測變量的多層線性模型，將其推廣到IRT框架下滿足下式：假定有J個總體（學校），分別從第j個總體中抽取i個樣本（學生），i=1，2，…nj，j=1，2，…J

θij=β0j+…+βqjXqij+…+βQjXQij+eij， eij~N(0， σ2) 第一層βqj=γq0+…+γqsWsqj+…+γqSWSqj+uqj， uqj~N(0， T) 第二層

其中 Xqij和 βqj，Wsqj和 γqS，q=0，…，Q 分別為第一層模型和第二層模型的預測變量和回歸系數(shù)，注意此處θij為不可觀測的潛在變量，下面給出具體的IRT模型和估計方法。假定Yijk為能力為θij的被試對第k個項目的反應變量，正確反應概率為Pijk，k=1，2，…K。

ak，bk分別為題目的區(qū)分度和難度參數(shù)

對應于反應變量Yijk，引入潛在變量Uijk,且Uijk服從均勻分布U(0，1)，Xik與Uik之間滿足如下關系：

Yijk=1當且僅當Uijk≤Pijk

在貝葉斯框架下所有的參數(shù)都看為隨機變量，則給定觀測變量Yijk，預測變量Xqij和Wsqj，所有參數(shù)的后驗分布為

綜上，給定初值，由(1)～(7)即可抽取相應參數(shù)的樣本，得到后驗分布。

2 模擬研究

本節(jié)通過模擬實驗來驗證Gibbs抽樣估計方法的準確性。假定每一層都有預測變量，

θij=β0j+β1jX1ij+eij

β0j=γ00+γ01W10j+u0j

β1j= γ10+ γ11W11j+u1j

圖1 參數(shù)a1，a2，b9，b10的后驗密度估計曲線，虛線由前2000次迭代值繪出，實線由后8000次迭代值繪出

3 結論

本文首先將多層線性模型與項目反應模型相結合，建立了多層Logistic項目反應模型，并通過引入潛在變量的方法，給出了該模型的Gibbs抽樣方法，該方法操作起來很簡單。最后通過模擬試驗得出各個參數(shù)的后驗估計，標準差，置信區(qū)間，驗證了本文所提Bayes方法的準確性和估計精度的合理性。該模型和方法可以廣泛應用于教育質(zhì)量評估和跟蹤測驗中。

表1 參數(shù)的真值及估計值

[1]Adams R J,Wilson M,Wu M.Multilevel Item Response Models:An Approach to Errors in Variable Regression.Journal of Educational and Behavioral Statistics,1997,22.

[2]Fox J P,Glas C A W.Bayesian Estimation of A Multilevel IRT Model Using Gibbs Sampling[J].Psychometrika,2001,66(2).

[3]Fu Z H,Tao J,Shi N Z.Bayesian Estimation in the Multidimensional Three-Parameter Logistic Model. Journal of Statistical Computation and Simulation,2009,79(6).

[4]Fu Z H,Tao J,Shi N Z.Bayesian Estimation of the Multidimensional Graded Response Model with Nonignorable Missing Data[J].Journal of Statistical Computation and Simulation,2010,80(11).

[5]Patz R J,Junker B W.A Straightforward Approach to Markov Chain Monte Carlo Methods for Item Response Models[J].Journal of Educational and Behavioral Statistics,1999a,24.

[6]Patz R J,Junker B W.Applications and Extensions of MCMC in IRT:Multiple Item Types,Missing Data,and Rated Responses[J].Journal of Educational and Behavioral Statistics,1999b,24.

[7]Gelman A,Carlin J B,Stern H S,et al.Bayesian Data Analysis.[M].LondonUK:Chapman&Hall,1995.

[8]Raftery,A E Lewis S M.Implementing MCMC in Markov Chain Monte Carlo in Practice[M].Gilks,W R Richardson,S Spiegelhalter D J,eds.,London:Chapman and Hall,1996.