錢建固 ，林志果 ，馬 霄

（1.同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)試驗(yàn)室，上海 2 000923）

1 引 言

交通荷載往復(fù)作用下飽和軟土路基會(huì)發(fā)生顯著的工后沉降，已提出的預(yù)測(cè)路基長(zhǎng)期沉降的方法主要有統(tǒng)計(jì)分析法、彈塑性數(shù)值方法和基于試驗(yàn)建立的經(jīng)驗(yàn)顯式模型分析法。統(tǒng)計(jì)分析法基于統(tǒng)計(jì)和概率分析，難以推廣到一般的工程案例中，也難以對(duì)非常規(guī)的工程問題或不同的工況做出準(zhǔn)確的分析。彈塑性數(shù)值法理論較為精確，但參數(shù)取值的困難，在大數(shù)目循環(huán)荷載下的計(jì)算效率依然是其在工程實(shí)踐中推廣使用的阻礙。顯式模型具有物理概念明確、參數(shù)少、計(jì)算方便等特點(diǎn)，利于在工程界的推廣應(yīng)用。

Monismith 等[1]建立了循環(huán)累積應(yīng)變與加載次數(shù)之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式。Li 等[2]總結(jié)了之前眾多的室內(nèi)試驗(yàn)改進(jìn)了上述模型，改進(jìn)模型中考慮了動(dòng)應(yīng)力水平qd的影響。Chai 等[3]在以上工作的基礎(chǔ)上，考慮了土體初始靜偏應(yīng)力對(duì)首次循環(huán)加載應(yīng)變的影響。黃茂松等[4]在上海地區(qū)第④層飽和軟黏土等向、偏壓固結(jié)不排水循環(huán)加載試驗(yàn)基礎(chǔ)上建立了同時(shí)反映等向、偏壓固結(jié)情況下軸向循環(huán)累積塑性應(yīng)變和孔壓發(fā)展規(guī)律的模型。

顯式模型一般與分層總和法結(jié)合，但分層總和法無法滿足路基沉降的位移協(xié)調(diào)問題。馬霄等[5]提出了等效有限元法，克服了上述缺陷，但他采用的瞬時(shí)積累逐步消散的孔壓模型與實(shí)際中孔壓積累與消散同時(shí)進(jìn)行并不相符。針對(duì)以上不足的改進(jìn)是本文所做的工作。

2 經(jīng)驗(yàn)顯式模型與等效有限元

2.1 循環(huán)累積塑性應(yīng)變及孔壓顯式模型

黃茂松等[4]在上海地區(qū)第④層飽和軟黏土等向、偏壓固結(jié)不排水循環(huán)加載試驗(yàn)基礎(chǔ)上建立了同時(shí)反映等向、偏壓固結(jié)情況下軸向循環(huán)累積塑性應(yīng)變和孔壓發(fā)展規(guī)律的模型。

累積軸向應(yīng)變顯式模型：

式中：η=qd/pc，qd為動(dòng)偏應(yīng)力；pc為圍壓；N為循環(huán)次數(shù)；a1、m、c、b為試驗(yàn)確定的常數(shù)；pa為大氣壓。

累積孔壓顯式模型：

式中：u*為孔壓；η=qd/pc；au1、mu、cu、bu為試驗(yàn)確定的常數(shù)，其他符號(hào)意義同前。

2.2 單元應(yīng)變的計(jì)算

交通荷載循環(huán)作用下土體單元應(yīng)變包括兩部分，如圖1 所示[5]。εr為軸向循環(huán)累積塑性應(yīng)變，由于這部分應(yīng)變對(duì)應(yīng)不排水過程，因此徑向應(yīng)變?yōu)?εr。對(duì)于二維平面問題，通過坐標(biāo)變換由軸向和徑向應(yīng)變得到全局坐標(biāo)系下x、y 方向的應(yīng)變，公式為

式中：α為軸向應(yīng)變方向與Y 軸的夾角。

第二部分應(yīng)變?yōu)榭讐合⒁鸬捏w應(yīng)變?chǔ)舦。由e-lnp 曲線可得平均主應(yīng)力增量引起的體應(yīng)變?cè)隽勘磉_(dá)式。

式中：p0為前期固結(jié)壓力；e0為初始孔隙比。以u(píng)=0時(shí)εv=0為邊界條件，對(duì)式（4）積分可得

式中：u為累積孔壓；U為固結(jié)度。在平面應(yīng)變狀態(tài)下對(duì)應(yīng)的x、y 方向應(yīng)變?yōu)?/p>

圖1 單元應(yīng)變Fig.1 Strain of element

2.3 等效有限元方法

所謂等效有限元法[5]，指借鑒初應(yīng)變方法的計(jì)算思路來實(shí)現(xiàn)顯式模型的有限元計(jì)算。顯式模型與一般的本構(gòu)模型同樣都是描述材料在外力作用下的變形特性，不同的是顯式模型中出于簡(jiǎn)化計(jì)算的需要沒有直接建立應(yīng)力-應(yīng)變的關(guān)系，而是建立了加載次數(shù)與應(yīng)變的關(guān)系，所以不能直接用于有限元計(jì)算。

由顯示模型可以得到單元在循環(huán)荷載下的總應(yīng)變表達(dá)式，以此作為初應(yīng)變，假設(shè)一個(gè)彈性矩陣，可以得到初應(yīng)變{ε0} 對(duì)應(yīng)的初應(yīng)力{σ0} 與初應(yīng)變引起的等效節(jié)點(diǎn)荷載向量{ Fε0}：

由疊加原理知在原平衡條件上增加的初應(yīng)力引起的節(jié)點(diǎn)位移向量可由式（8）解出。

由于彈性矩陣的選取對(duì)總剛度矩陣與等效節(jié)點(diǎn)荷載向量的影響完全同步，可以選取任意彈性矩陣而不會(huì)影響節(jié)點(diǎn)位移向量。

以上過程相當(dāng)于用初應(yīng)變和彈性矩陣算出一個(gè)等效節(jié)點(diǎn)荷載向量，讓這個(gè)等效節(jié)點(diǎn)荷載在有限元模型中“擠”和“拉”出交通荷載作用引起的變形，通過最小位能原理保證了這種變形是受力平衡且?guī)缀芜B續(xù)的，從而實(shí)現(xiàn)了以顯式模型為本構(gòu)模型的等效有限元計(jì)算。

3 孔壓消散模型

3.1 瞬時(shí)積累逐步消散孔壓模型

土體單元體應(yīng)變計(jì)算公式（5）中孔壓消散值的計(jì)算需要選取孔壓消散模型。以往都是采用瞬時(shí)積累逐步消散的模式，如圖2 所示。OA為基于不排水循環(huán)加載試驗(yàn)建立的孔壓顯式模型，即式（2）計(jì)算值。比如求 t0時(shí)刻孔壓消散值，瞬時(shí)積累逐步消散的孔壓模型假定全部孔壓在 t0/2時(shí)刻（圖中的C點(diǎn)）全部積累，這意味著用孔壓荷載DEF 來代替孔壓荷載DOC。顯然DOC 大于DEF，且DOC 到 t0的時(shí)間長(zhǎng)。因此，瞬時(shí)積累逐步消散的孔壓模型將會(huì)低估了孔壓消散值。

圖2 瞬時(shí)積累逐步消散的孔壓模式示意圖Fig.2 Sketch of accumulating instantly and dissipating gradually pore water pressure model

3.2 孔壓積累與消散相互耦合的孔壓模型

張建民等[6]將大沙基固結(jié)理論與不排水條件下震動(dòng)孔壓增長(zhǎng)模式相耦合，提出了描述自然排水條件下震動(dòng)孔壓長(zhǎng)消的微分方程式：

式中：u*為震動(dòng)孔壓增長(zhǎng)模式；Cvx、Cvy分別為水和豎直方向的固結(jié)系數(shù)。

張建民等[6]通過 Sturm-Liouvill 系統(tǒng)以及Duhamel 積分與多重Fourier 展開給出了式（9）水平自由界面的飽和土層的解析解。求解的邊界條件為底部與兩端不排水，頂部自由排水：

式中：h、l 分別為求解土層的厚度與長(zhǎng)度，求得的解析解表達(dá)式為

式中：

式中：x0、y0、t、u*分別為求解的水平、豎直坐標(biāo)、時(shí)間與震動(dòng)孔壓增長(zhǎng)模式（即文中孔壓顯示模型）。

文中顯式模型 u*建立了孔壓與加載次數(shù)的關(guān)系，而式（12）要求 u*為與時(shí)間的關(guān)系。只需規(guī)定加載次數(shù)隨時(shí)間的增長(zhǎng)模式N=f(t)，即可將文中顯示模型（見式（2））變?yōu)榕c時(shí)間的關(guān)系 u*(t)。因此式（5）中uU 這一項(xiàng)即可按下式計(jì)算：

3.3 兩種孔壓模式計(jì)算結(jié)果對(duì)比

這里計(jì)算圖3 中A 點(diǎn)的孔壓長(zhǎng)消及固結(jié)度。土層只有上方為排水邊界，土體各參數(shù)取表1、2 中的淤泥質(zhì)黏土，孔壓顯示模型中的η 取0.15，pc取150 kPa。將參數(shù)代入式（2）、（11）中可得A 點(diǎn)孔壓變化，如圖4 所示。圖中，曲線OB 所反映的孔壓變化規(guī)律與試驗(yàn)[7]得到的規(guī)律一致。兩種孔壓模型所計(jì)算的固結(jié)度的差異，如圖5 所示。

圖3 計(jì)算區(qū)域Fig.3 Computational region

圖4 孔壓變化規(guī)律Fig.4 Rules of pore pressure change

圖5 固結(jié)度隨時(shí)間變化規(guī)律Fig.5 Rules of degree of consolidation change over time

4 算例分析

上海浦東國(guó)際機(jī)場(chǎng)第一跑道于1999年10月建成投入運(yùn)營(yíng)，長(zhǎng)4 000 m，寬60 m。巖土工程勘察資料表明，機(jī)場(chǎng)地基主要由黏性土、粉性土和砂土組成，土層分布如圖6 所示，各層參數(shù)見表1。由表可知，粉土層的固結(jié)系數(shù)遠(yuǎn)大于黏土，可將其看做排水面。第①層土在地下水位線以上，不考慮其孔壓累積。第④層土上層是砂質(zhì)粉土，近似認(rèn)為是自由排水面，下層是黏土，近似認(rèn)為不排水。第⑤層土排水條件很差，而且動(dòng)應(yīng)力比很小，累積的孔壓也很小，計(jì)算中忽略其孔壓值。

表1 土層物理力學(xué)參數(shù)Table 1 Physico-mechanical parameters of every stratum

圖6 浦東國(guó)際機(jī)場(chǎng)地質(zhì)斷面圖(單位:m)Fig.6 Engineering geological profile of Pudong International Airport(unit:m)

4.1 有限元模型

浦東機(jī)場(chǎng)第一跑道長(zhǎng)4 000 m，寬60 m，可以用平面應(yīng)變有限元模型來分析。建模選取了一個(gè)典型的跑道截面，考慮對(duì)稱性，對(duì)跑道中軸線一側(cè)建模。模型中跑道1/2 的寬度為30 m，結(jié)構(gòu)層總厚度為100 cm，其中混凝土道面厚46 cm，其下為3 層18 cm 厚的二灰碎石層。模型中路基土體厚40 m，寬100 m。實(shí)際土層分布第2 層中上面2 個(gè)亞層經(jīng)常缺失，模型中簡(jiǎn)化為1 層。

4.2 動(dòng)應(yīng)力場(chǎng)計(jì)算

本文荷載大小及作用位置參照空客A300 大飛機(jī)?？湛虯300 最大起飛重量171.4 t，降落時(shí)進(jìn)場(chǎng)速度為249 km/h。A300 采用三點(diǎn)式起落架，起落架有1 組鼻輪和2 組主輪組成，如圖7 所示?？紤]到主輪承擔(dān)了大部分荷載，而且鼻輪距離主輪較遠(yuǎn)，計(jì)算時(shí)忽略鼻輪承受的荷載。飛機(jī)在起降過程中，運(yùn)行速率較大，引起的土體動(dòng)荷載大于靜載。為了簡(jiǎn)單起見，這里通過經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式（14）[8]將動(dòng)載等效為靜載：

圖7 飛機(jī)輪載分布Fig.7 Wheel load distribution of aircraft

將以上等效荷載加到3D 有限元模型中提取輪載下方跑道截面的應(yīng)力場(chǎng)，再通過式（15）計(jì)算整個(gè)截面內(nèi)各單元的最大偏應(yīng)力：

4.3 顯示模型參數(shù)選取

循環(huán)累積軸向應(yīng)變及累積孔壓顯式模型的參數(shù)見表2。表中，黏土和粉土的顯式模型參數(shù)根據(jù)錢建固等[9]不排水心形應(yīng)力路徑循環(huán)扭剪試驗(yàn)結(jié)果擬合得到。

表2 循環(huán)累積軸向應(yīng)變及累積孔壓公式參數(shù)Table 2 Parameters of cylic accumulated axial strain and cumulative pore pressure formulas

4.4 計(jì)算結(jié)果

圖8為飛機(jī)動(dòng)載作用下跑道路基豎向沉降云圖。

圖8 累積沉降云圖(單位:m)Fig.8 Nephogram of cumulated strains(unit:m)

從圖8 中計(jì)算結(jié)果顯示，路基淺層豎向沉降較大，最大沉降出現(xiàn)在兩側(cè)輪載作用之間；在路基淺層，沉降主要分布在輪載作用范圍附近；而在路基深層，由于應(yīng)力擴(kuò)散，沉降的分布范圍有所擴(kuò)大。隨著時(shí)間的增加，沉降的量值與分布范圍也有所增加。

4.5 計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析

王廣德等[10]監(jiān)測(cè)了該機(jī)場(chǎng)第一跑道自建成以來至2009年的沉降數(shù)據(jù)，其中一項(xiàng)為P265 斷面上的差異沉降，可用于與本文結(jié)果作對(duì)比分析，對(duì)比結(jié)果如圖9 所示。

圖9 差異沉降對(duì)比Fig.9 Comparison of differential settlement

實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與等效有限元計(jì)算得到的差異沉降發(fā)展規(guī)律基本相同，但數(shù)值大小存在一定的差異，造成這種差異的原因可能是：（1）交通荷載之外其它的因素也對(duì)差異沉降的發(fā)展有貢獻(xiàn)，如飛機(jī)降落時(shí)產(chǎn)生的沖擊荷載，以及機(jī)場(chǎng)跑道自重荷載的不均勻或排水條件的不均勻造成的差異沉降。（2）建模與實(shí)際的差異。本文計(jì)算模型對(duì)土層做了簡(jiǎn)化，實(shí)際的土層分層在表層附近差異較大，常有亞層缺失，將第2 層土簡(jiǎn)化為一層并按粉土參數(shù)取值可能使計(jì)算得到的差異沉降偏低。本文用擬靜力方法計(jì)算了等效動(dòng)應(yīng)力，也可能帶來一定的誤差。

5 結(jié) 論

（1）等效有限元計(jì)算得到的差異沉降發(fā)展規(guī)律與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)基本相同，在跑道投入運(yùn)營(yíng)初期差異沉降發(fā)展較快，運(yùn)營(yíng)一段時(shí)間以后增速放緩，趨于穩(wěn)定。

（2）考慮孔壓積累-消散相互耦合的孔壓模型所計(jì)算的沉降值比瞬時(shí)積累逐步消散的孔壓模型所計(jì)算的沉降值大。這種差異在運(yùn)營(yíng)初期更加明顯，隨著時(shí)間的推移二者逐步接近。

（3）本案例中，孔壓消散引起的沉降占總沉降約10%的比例。隨著時(shí)間的推移，固結(jié)沉降所占的比例還會(huì)有所增長(zhǎng)。

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