王天胤，王克明，屈美嬌，辛桂雨，鄭喜洋

(沈陽航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽 110136)

轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算的一維模型修正方法

王天胤，王克明，屈美嬌，辛桂雨，鄭喜洋

(沈陽航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽 110136)

采用有限元法，建立一維和三維模型計(jì)算一個(gè)轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速，在對(duì)一維模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行誤差分析的基礎(chǔ)上，提出一維模型的修正方法。應(yīng)用此方法建立了修正極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一維模型并計(jì)算臨界轉(zhuǎn)速。通過比較計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，未修正一維模型的計(jì)算結(jié)果比三維模型的高，一階臨界轉(zhuǎn)速最多高96%，二階臨界轉(zhuǎn)速最多高50%，采用修正極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法對(duì)模型進(jìn)行修正后，一階臨界轉(zhuǎn)速最大偏差降低至5%，二階臨界轉(zhuǎn)速最大偏差降低至0.7%，計(jì)算結(jié)果接近三維模型的計(jì)算結(jié)果。

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)；臨界轉(zhuǎn)速；有限元法；一維模型；模型修正

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和有限元軟件的發(fā)展，有限元方法以其更高的求解精度和穩(wěn)定性被廣泛應(yīng)用在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力分析上。但是在用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)計(jì)算時(shí)，有限元模型規(guī)模往往非常大，導(dǎo)致一般配置的工作站難以完成。解決這一問題常用的有效方法是對(duì)模型進(jìn)行合理的簡化，在保證計(jì)算結(jié)果滿足精度要求的前提下三維實(shí)體有限元模型簡化成一維有限元模型，減小模型規(guī)模，縮短計(jì)算時(shí)間，降低對(duì)計(jì)算機(jī)硬件的要求。本文通過分析一個(gè)簡單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一維模型計(jì)算結(jié)果的誤差來源，提出一種一維模型的修正方法。應(yīng)用此方法建模計(jì)算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速，一定程度上減小了計(jì)算誤差。

1 一維模型計(jì)算結(jié)果的誤差分析

1.1 有限元模型的建立

針對(duì)如圖1所示結(jié)構(gòu)，分別建立有限元一維與三維模型，如圖2所示。模型由轉(zhuǎn)軸輪盤以及軸承組成。材料的彈性模量為2.1×1011Pa，泊松比為0.3，密度為7.8×103kg/m3。三維模型盤、軸、葉片用Solid185、Solid186單元來模擬，軸承采用Combin214單元；一維模型轉(zhuǎn)軸用Beam188單元模擬，輪盤以及葉片用Mass21單元以質(zhì)量單元的形式加到盤在轉(zhuǎn)軸的對(duì)應(yīng)位置上，軸承采用Combin214單元。輪盤、轉(zhuǎn)軸的模型參數(shù)見表1。

圖1 轉(zhuǎn)子模型示意圖

圖2 三維有限元模型示意圖

表1 轉(zhuǎn)子模型參數(shù) m

經(jīng)計(jì)算得到三維模型的一階臨界轉(zhuǎn)速為1 614 r/min，二階臨界轉(zhuǎn)速為4 492 r/min，一維模型一階臨界轉(zhuǎn)速為1 711 r/min,二階臨界轉(zhuǎn)速為4 533 r/min。

1.2 一維模型與三維模型臨界轉(zhuǎn)速對(duì)比

分別改變模型輪盤、葉片尺寸以及盤距軸左端的距離，建立有限元一維與三維模型，計(jì)算三維模型和一維模型的臨界轉(zhuǎn)速并對(duì)比。

葉片長為15 cm，盤距軸左端20 cm，軸尺寸以及支撐不變，改變輪盤的尺寸得到模型的臨界轉(zhuǎn)速如表2所示。

表2 不同輪盤尺寸的一維模型與三維模型臨界轉(zhuǎn)速以及一維模型計(jì)算結(jié)果的百分比誤差

盤半徑為25 cm，盤距軸左端20 cm，轉(zhuǎn)軸尺寸以及支撐不變，改變?nèi)~片的尺寸得到模型的臨界轉(zhuǎn)速如表3所示。盤半徑為25 cm，葉片長為20 cm，轉(zhuǎn)軸尺寸以及支撐不變，改變盤在軸上的位置得到模型的臨界轉(zhuǎn)速如表4所示。從上述結(jié)果可以看出，隨著輪盤與葉片尺寸的加大，三維模型與一維模型間的偏差加大；隨著輪盤位置向軸的一端靠近，三維模型與一維模型間的偏差加大。當(dāng)盤與葉片尺寸較大并且靠近軸左端時(shí)將轉(zhuǎn)子模型直接簡化成一維模型，得到的結(jié)果誤差會(huì)很大。

1.3 一維模型臨界轉(zhuǎn)速誤差來源分析

三維模型完全按照轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實(shí)際尺寸建立可以很好地解決模型的完整性問題，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確。一維模型中，轉(zhuǎn)軸用一條直線代替，模型的盤與葉片通過質(zhì)量單元Mass21來定義，賦予質(zhì)量單元質(zhì)量、極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，通過賦予的這幾個(gè)量可以使Mass21單元近似代表輪盤與葉片，模擬計(jì)算出系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。簡化了的一維模型，盤以及葉片的變形無法體現(xiàn)出來，因此計(jì)算時(shí)存在一定的誤差。由于離心力以及陀螺力矩的作用，三維模型葉片和輪盤在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中會(huì)發(fā)生變形，變形后相當(dāng)于改變了輪盤與公轉(zhuǎn)軸的夾角，從而使陀螺力矩發(fā)生變化，最終影響臨界轉(zhuǎn)速，這便是一維模型與三維模型的主要誤差來源。

表3 不同葉片長的一維模型與三維模型臨界轉(zhuǎn)速以及一維模型計(jì)算結(jié)果的百分比誤差

表4 盤在軸上不同位置的一維模型與三維模型臨界轉(zhuǎn)速以及一維模型計(jì)算結(jié)果的百分比誤差

正進(jìn)動(dòng)時(shí)，在陀螺力矩的影響下，葉片和輪盤變形如圖3所示，發(fā)生這樣的變形相當(dāng)于減小了輪盤與公轉(zhuǎn)軸的夾角θ(0°<θ<90°)，從而使陀螺力矩減小，臨界轉(zhuǎn)速會(huì)降低。

圖3 正進(jìn)動(dòng)時(shí)輪盤葉片受力變形示意圖

反進(jìn)動(dòng)時(shí)陀螺力矩會(huì)使輪盤以及葉片發(fā)生如圖4所示變形，這樣的變形相當(dāng)于盤與公轉(zhuǎn)軸的夾角θ(90°<θ<180°)減小，從而使陀螺力矩增大，臨界轉(zhuǎn)速降低。

圖4 反進(jìn)動(dòng)時(shí)輪盤葉片受力變形示意圖

質(zhì)量增大使系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速降低，而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增大使系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速提高。由表2.2可以看出，隨著輪盤尺寸變大，輪盤以及葉片整體的質(zhì)量以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都增大，在一維模型中，臨界轉(zhuǎn)速呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)，起初臨界轉(zhuǎn)速受質(zhì)量的影響臨界轉(zhuǎn)速降低，隨后受到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響臨界轉(zhuǎn)速升高，而三維模型中由于存在輪盤與葉片的變形，實(shí)際上轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的影響相比質(zhì)量對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的影響起到的作用并不大，隨著盤的尺寸變大三維模型的臨界轉(zhuǎn)速降低。

由表3可以看出，當(dāng)輪盤尺寸不變、葉片的長度增大時(shí)，輪盤以及葉片整體的質(zhì)量以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都增大。在一維模型中，臨界轉(zhuǎn)速同樣呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)，起初臨界轉(zhuǎn)速受質(zhì)量的影響比較明顯臨界轉(zhuǎn)速降低，隨后受到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響比較明顯臨界轉(zhuǎn)速升高。然而三維模型中由于存在輪盤與葉片的變形。實(shí)際上轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的影響與質(zhì)量對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的影響大體相當(dāng)，這個(gè)變化與單獨(dú)加大盤的尺寸時(shí)情況不同。由于葉片與軸心的距離相對(duì)于輪盤與軸心的距離要大。增加葉片長度時(shí)，隨著葉片質(zhì)量的增加，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的增量要比輪盤質(zhì)量增加時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的增加要大。因此，在增加葉片長度時(shí)，三維模型的臨界轉(zhuǎn)速變化不明顯。由表4可以看出，輪盤距離軸一端越近，轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)變形后，輪盤與轉(zhuǎn)軸間的夾角越大，陀螺力矩越大，三維模型中盤及葉片受陀螺力矩影響而產(chǎn)生的變形越大。因此，當(dāng)盤的位置越靠近軸一端時(shí)，三維模型與一維模型間的偏差越大。

由此可見，輪盤、葉片變形造成盤與公轉(zhuǎn)軸夾角的變化影響了陀螺力矩，從而影響系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。輪盤葉片的變形三維模型能夠體現(xiàn)出來而一維模型無法體現(xiàn)，這是造成三維模型與一維模型間誤差的主要原因。如果能夠修正一維模型中質(zhì)量單元的參數(shù)，使一維模型的陀螺力矩變化趨勢(shì)與三維模型變形引起的陀螺力矩變化趨勢(shì)相同，將會(huì)減小一維模型與三維模型之間的誤差。同時(shí)，三維模型的變形也與葉片、輪盤的形狀有關(guān)，不容易變形的葉片、輪盤結(jié)構(gòu)更加接近于剛體，與一維模型的處理更加相近，這樣的三維模型與一維模型間的誤差會(huì)相對(duì)較小。

2 轉(zhuǎn)子一維模型的修正

為了減小三維模型與一維模型臨界轉(zhuǎn)速的偏差，可以通過調(diào)整一維模型中Mass21單元的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來實(shí)現(xiàn)。由上述分析可知，三維模型變形后輪盤與轉(zhuǎn)軸的夾角發(fā)生變化，從而影響陀螺力矩，最終影響系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速，這是三維模型與一維模型之間的主要偏差。Mass21單元中的質(zhì)量變化能夠影響系統(tǒng)的固有頻率，調(diào)整Mass21單元的質(zhì)量會(huì)改變系統(tǒng)的固有頻率，通過改變固有頻率來調(diào)整臨界轉(zhuǎn)速不合理，因此，不能通過調(diào)整Mass21單元中質(zhì)量系數(shù)來減小誤差。極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是影響陀螺力矩的因素，修正Mass21單元的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量將會(huì)引起陀螺力矩的變化，雖然不能通過一維模型表現(xiàn)出三維模型變形后夾角的變化，但是可以通過改變極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來實(shí)現(xiàn)一維模型的陀螺力矩與三維模型變形后的陀螺力矩相一致。因此本文采用修正Mass21單元的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法來減小一維模型與三維模型間的誤差。

2.1 單盤轉(zhuǎn)子的一維模型修正

建立如圖1所示單盤單軸結(jié)構(gòu)的三維模型以及一維模型，固定盤在距軸一端10 cm位置處，計(jì)算臨界轉(zhuǎn)速，調(diào)整一維模型的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，使一維模型的臨界轉(zhuǎn)速與三維模型一致。得到修正后的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量后，分別找出不同盤尺寸及葉片尺寸模型修正后的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，得到相應(yīng)的修正系數(shù)(修正系數(shù)=修正后的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量/模型實(shí)際的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)，結(jié)果如表5所示。此方法得到的修正系數(shù)只適用于輪盤在距軸左端10 cm的位置，如果對(duì)在轉(zhuǎn)軸上其他位置的輪盤進(jìn)行修正，則要固定轉(zhuǎn)盤在轉(zhuǎn)軸的其他位置，用此方法找到修正系數(shù)。

表5 修正系數(shù)隨輪盤葉片尺寸變化 cm

由表5可以看出，隨著輪盤、葉片尺寸的增大輪盤葉片更加容易變形。轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，變形更加劇烈，一維模型與三維模型間誤差更大，模型的輪盤、葉片尺寸越大，修正后的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越小，修正系數(shù)越小。建立如圖5所示的雙盤轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的三維模型和一維模型，保持材料參數(shù)以及轉(zhuǎn)軸參數(shù)不變，兩個(gè)盤的位置在距軸一端10 cm的對(duì)稱位置上。

為了驗(yàn)證這種修正方法的合理性，應(yīng)用圖1中單盤結(jié)構(gòu)得到的修正系數(shù)，將修正系數(shù)應(yīng)用在圖5所示的雙盤結(jié)構(gòu)上。選取3種輪盤葉片參數(shù)建立雙盤結(jié)構(gòu)修正后的一維模型，分別計(jì)算3種模型一階正進(jìn)動(dòng)型臨界轉(zhuǎn)速以及相對(duì)于三維模型的轉(zhuǎn)速差和計(jì)算結(jié)果百分比誤差。對(duì)比結(jié)果如表6所示。

由表6可以看出，未經(jīng)修正的一維模型臨界轉(zhuǎn)速與實(shí)際三維模型的臨界轉(zhuǎn)速偏差較大，修正后的一維模型臨界轉(zhuǎn)速與三維實(shí)體模型的臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算結(jié)果偏差較小。

圖5 雙盤轉(zhuǎn)子模型示意圖

2.2 雙盤轉(zhuǎn)子的二階臨界轉(zhuǎn)速修正

圖5所示的雙盤結(jié)構(gòu)由輪盤引起的臨界轉(zhuǎn)速有兩階，對(duì)于第二階臨界轉(zhuǎn)速的修正方法采用如下方案：將雙盤模型從轉(zhuǎn)軸中間位置截?cái)?，將截面中心?jié)點(diǎn)位移全約束，不限制其扭轉(zhuǎn)，左側(cè)支撐保持不變，結(jié)構(gòu)簡圖如圖6所示。圖6所示的一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速的振型與圖5所示左半部分二階彎曲臨界轉(zhuǎn)速振型一致。將圖6一階臨界轉(zhuǎn)速修正系數(shù)作為圖5雙盤結(jié)構(gòu)左側(cè)盤的修正系數(shù)，由于算例模型是軸對(duì)稱的，因而右側(cè)盤的修正系數(shù)與左側(cè)盤一致。

表6 不同尺寸模型一階正進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速對(duì)比

圖6 一端簡支一端固支轉(zhuǎn)子模型示意圖

將圖6中得到的修正系數(shù)應(yīng)用到圖5結(jié)構(gòu)中來驗(yàn)證修正方法的合理性。選取3種輪盤葉片參數(shù)建立如圖5所示雙盤結(jié)構(gòu)一維模型、三維模型以及應(yīng)用修正系數(shù)修正后的一維模型，分別計(jì)算三種模型二階正進(jìn)動(dòng)型臨界轉(zhuǎn)速，對(duì)比結(jié)果如表7所示。

由表7可以看出，未經(jīng)修正的一維模型臨界轉(zhuǎn)速與實(shí)際三維模型的臨界轉(zhuǎn)速偏差較大，修正后的一維模型臨界轉(zhuǎn)速與三維實(shí)體模型的臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算結(jié)果偏差較小。

3 結(jié)論

由于離心力及陀螺力矩的作用，三維模型葉片以及盤在轉(zhuǎn)動(dòng)過程會(huì)發(fā)生變形，這種變形一維模型無法體現(xiàn)，輪盤葉片發(fā)生變形后相當(dāng)于盤與公轉(zhuǎn)軸的夾角發(fā)生變化，從而使陀螺力矩發(fā)生變化，影響到臨界轉(zhuǎn)速，這是一維模型與三維模型的誤差主要來源。

(1)隨著輪盤與葉片尺寸的加大，三維模型與一維模型間的偏差加大，隨著輪盤位置向軸一端靠近，三維模型與一維模型間的偏差加大。當(dāng)盤與葉片尺寸較大并且靠近軸一端時(shí)直接將轉(zhuǎn)子模型簡化成一維模型，得到的結(jié)果誤差會(huì)很大。

(2)從計(jì)算可知，直接將輪盤以及葉片簡化成質(zhì)量單元進(jìn)行建模，計(jì)算結(jié)果與三維模型相比一階臨界轉(zhuǎn)速最大偏差達(dá)到96%，二階臨界轉(zhuǎn)速偏差達(dá)到50%，計(jì)算結(jié)果非常不合理。

(3)采用修正極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量方法對(duì)模型進(jìn)行簡化與對(duì)三維模型直接進(jìn)行一維簡化相比，采用修正極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法簡化模型計(jì)算出的臨界轉(zhuǎn)速誤差較小，一階臨界轉(zhuǎn)速最大偏差降低至5%，二階臨界轉(zhuǎn)速最大偏差降低至0.7%。

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(責(zé)任編輯：宋麗萍 英文審校：劉敬鈺)

Study on the correction method of one-dimensional model for rotor critical speed calculation

WANG Tian-yin，WANG Ke-ming,QU Mei-jiao,XIN Gui-yu,ZHENG Xi-yang

(Faculty of Aerospace Engineering,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China)

By finite element method,critical speed of a rotor system is calculated using one-dimensional model and three-dimensional model respectively.Based on the error analysis of the calculation results,a correction method of the one-dimensional model is proposed.This method is used to construct the one-dimensional model with the moment of inertia and then calculate critical speed.The comparison of the calculation results shows that the computation outcome of the one-dimensional model without correction is higher than that of the three-dimensional model.In extreme condition,the first critical speed can be 96% higher,and the second critical speed can be 50% higher.After modifying the moment of inertia of the one-dimensional model,the maximum deviations of the first and the second critical speeds reduce to 5% and 0.7% respectively.The calculation results of modified one-dimensional model are close to results of the three-dimensional model.

rotor system;critical speed;FEM;one-dimensional model;model correction

2014-12-01

王天胤(1987-)，男，遼寧沈陽人，碩士研究生，主要研究方向：航空發(fā)動(dòng)機(jī)強(qiáng)度、振動(dòng)及噪聲，E-mail：wangtianyin0711@163.com；王克明(1954-)，男，遼寧沈陽人，教授，主要研究方向：航空發(fā)動(dòng)機(jī)強(qiáng)度、振動(dòng)及噪聲，E-mail：wkm308@126.com。

2095-1248(2015)03-0006-06

V211

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2015.03.002