阮世華

(莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，福建 莆田 351100)

Cantor集的結(jié)構(gòu)及應(yīng)用

阮世華

(莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，福建 莆田 351100)

Cantor集是實(shí)函數(shù)論中一類重要的集合.本文從Cantor集的構(gòu)造過(guò)程以及構(gòu)造拓展中得到相關(guān)的應(yīng)用.目的是幫助初學(xué)者對(duì)Cantor集有一個(gè)較全面的認(rèn)識(shí).

Cantor集；結(jié)構(gòu)；完備集

Cantor三分集是Cantor在解三角級(jí)數(shù)問題時(shí)做出來(lái)的，它具有若干重要特征，常是我們構(gòu)造重要特例的基礎(chǔ).

1 Cantor三分集[1]

2 Cantor集構(gòu)造法的拓展

在[0,1]中做出總長(zhǎng)度為δ(0<δ<1是任意給定的數(shù))的稠密開集.為此，取p=(1+2δ)/δ，并采用類似于Cantor集的構(gòu)造過(guò)程：第一步，我們移去長(zhǎng)度為1/p的同心開區(qū)間；第二步，在留存的兩個(gè)閉區(qū)間的每一個(gè)中，又移去長(zhǎng)度為1/p2的同心開區(qū)間；第三步，在留存的四個(gè)閉區(qū)間中再移去長(zhǎng)度為1/p3的同心開區(qū)間；…….繼續(xù)此過(guò)程，可得一列移去的開區(qū)間，記其并集為G(開集)，則G的總長(zhǎng)度為δ.我們稱Cp=[0,1]G為類Cantor集[2](當(dāng)p=3時(shí)，Cp就是Cantor三分集)Cp也是非空完備集，且沒有內(nèi)點(diǎn).

更一般的，已有文獻(xiàn)[3]對(duì)[0,1]做相關(guān)的構(gòu)造，所得到的點(diǎn)集也具有Cantor三分集完全相同的奇特性質(zhì)，這里我們就不詳述.

3 Cantor集構(gòu)造拓展后的應(yīng)用

例1 證明：用十進(jìn)制小數(shù)表示[0,1]中的數(shù)時(shí)，其用不著數(shù)字6和7的一切數(shù)也是完備集.

例2 證明：用十進(jìn)制小數(shù)表示[0,1]中的數(shù)時(shí)，其用不著數(shù)字5和7的一切數(shù)成一完備集.

一般的，用十進(jìn)制小數(shù)表示(0,1)中的數(shù)時(shí)，其用不著數(shù)字a1和a2的一切數(shù)成一完備集，其中a1，a2是1,2…9中的數(shù)字.

例3[2]設(shè)

an=2或7},

我們有

證：①若有{xm}?E:xm→x(m→∞)，則

如果|xm-x|<10-p，那么在xm∈E時(shí)bn=2或7(n=1,2,…，p-1)，從而E是閉集.

③由于E∩(0.28,0.7)=φ，故E在[0,1]中不稠密.

例4[2]試作一個(gè)由無(wú)理數(shù)構(gòu)成的完備集.

[1]程其襄，張奠宙，魏國(guó)強(qiáng),等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].3版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M].2版.北京：北京大學(xué)出版社，2008.

[3]董大校.Cantor集的性質(zhì)及其構(gòu)造推廣[J].JournalofYunnanFinance&EconomicsUniversity,2008,23(5)：95-96.

[4]江澤堅(jiān)，吳智泉，紀(jì)友清.實(shí)變函數(shù)論[M].3版.北京：高等教育出版社，2007.

[責(zé)任編輯：Z]

The Structure and Applications of Cantor Set

RUAN Shi-hua

(Department of Mathematics, Putian University, Putian Fujian 351100, China )

Cantor set is an important set in real functions theory. This paper studies the applications through the construction process and generalized structure of cantor set. The aim of this paper is to help the beginners to have a general understanding of it.

Cantor set; structure; complete set

2015-03-10

阮世華(1977-)，女，福建莆田人，講師，主要從事研究方向?yàn)槎鄰?fù)變函數(shù)研究。

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1671-5330(2015)05-0141-02