◆四川省郫縣第三中學 姚慰民

速解高中解析幾何的方法之一
——數(shù)形結合

◆四川省郫縣第三中學 姚慰民

解析幾何是高考數(shù)學的必考內(nèi)容，在所有題型中所占比值相對較高。一般來說，解析幾何的難度比函數(shù)低，且有一定的技巧性。只要掌握了速解技巧，將題目的“數(shù)”與“形”相結合，將題目所給條件一一對應來幫助解題，就能減少解題時間，提高答題效率，也不會漏掉題目條件。因此，準確運用數(shù)形結合的答題方法是影響高中解析幾何成績的決定因素。文章對速解高中解析幾何方法中的數(shù)形結合進行分析，對數(shù)形結合在解析幾何幾種題型中的運用進行舉例說明。

高中解析幾何；速解方法；數(shù)形結合

所謂數(shù)形結合，就是把題目所給條件中的 “數(shù)”與“形”一一對應，用簡單的、直觀的幾何圖形及條件之間的位置關系來將復雜的、抽象的數(shù)學語言及條件之間的數(shù)量關系結合起來，通過形象思維與抽象思維的結合，以形助數(shù)或以數(shù)解形，使復雜的問題簡單化、抽象的問題具體化，以達到簡化解問題途徑的目的?？梢?，數(shù)形結合在平面解析幾何和立體解析幾何的解題中有重要的作用。

一、解析幾何的概念

解析幾何是幾何學的分支，主要是用代數(shù)方法研究幾何對象之間的關系和性質(zhì)，因而解析幾何也叫坐標幾何，它包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。平面解析幾何是二維空間上的解析幾何，立體解析幾何是三維空間上的解析幾何，立體解析幾何比平面解析幾何更加復雜、抽象。

二、數(shù)形結合法的概述

1.數(shù)形結合的解題思想

通常來說，一道題目不會明確指定用數(shù)形結合的方法進行答題，每道題也不會只有一種解題方法，但數(shù)形結合方法在解析幾何答題中具備相當?shù)膬?yōu)勢，能減少運算量，節(jié)約答題時間，提高正確率。因此，學生需要在平時練習中形成數(shù)形結合的解題思想，遇到解析幾何時，能清楚條件與問題之間的數(shù)量關系與位置關系，將 “數(shù)”與 “形”一一對應，快速找到解題突破點。事實上，當熟練掌握數(shù)形結合方法能夠舉一反三時，遇到的所有題目都是同一題目了。因此，高中生必須熟練掌握數(shù)形結合的解題思想。掌握數(shù)形結合思想，就必須搞清楚下列關系：①實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系；②曲線與方程的對應關系；③函數(shù)與圖象的對應關系；④復數(shù)、三角函數(shù)等以幾何條件和幾何元素為背景建立的概念；⑤題目所給等式或代數(shù)方程式結構中所含明顯的幾何意義。

2.數(shù)形結合的方法簡介

數(shù)形結合法是速解高中解析幾何方法中的一種，由于部分解析幾何本身就是 “數(shù)”與 “形”的結合，因而數(shù)形結合法也是速解高中解析幾何方法中最為常見的一種。數(shù)形結合在求最值、解不等式、圓類問題、算軌跡方程中有著廣泛的應用，在復合函數(shù)和三角函數(shù)中也有應用實例。

三、采用數(shù)形結合法速解解析幾何題的策略

1.數(shù)形結合法速解解析幾何最值問題

最值雖只是數(shù)量關系問題，但解析幾何中的最值往往涉及到條件之間的位置關系，本質(zhì)上是空間的幾何結構代數(shù)化，來實現(xiàn)曲面的數(shù)量化。因此，解析幾何中的最值問題單從代數(shù)入手或僅對幾何圖形進行分析不能達到解題目的，針對此類最值問題，需要運用數(shù)形結合的解題方法來進行最值題型答題。以下面一題為例：

已知：實數(shù)x、y滿足（x-1）2+（y+2）2=5，求S=x-2y的最大值和最小值。

圖1

策略要領：

已知數(shù)量轉圖形，坐標圖上示分明；

整理等式找截距，X與Y轉都可以；

最大值與最小值，都與正圓要相切。

2.數(shù)形結合法速解解析幾何圓類問題

解析幾何中圓類問題，主要是求圓與圓之間的位置關系、圓與直線的位置關系、圓的標準方程等，數(shù)形結合對速解圓類問題也有很大幫助。例如，在判斷圓與直線的位置關系時，通過建立直角坐標系，學生可以直觀地觀察到直線在圓外，但需要寫出確切的答題步驟才能得分。這時就需要有數(shù)形結合的解題思想，以數(shù)解形。通過計算圓心到直線的距離，距離比圓的半徑大即表明直線在圓外，這是最基本的用數(shù)形結合的方式解答圓類問題。對數(shù)形結合法速解解析幾何圓類問題，以下特舉一例說明：

圖2

策略要領：

圓類的位置關系，幾個步驟要仔細；

第一變形函數(shù)式，坐標系上畫分明。

圓與直線的問題，先看直線圓內(nèi)外；

設圓心到直線的距離為d，當d＞r相離，當d=r相切，當d＜r相交。也可聯(lián)立解方程看解的個數(shù)。

圓與圓的位置關系，由圓心距與兩半徑的長度來確定的，圓心距用d來表示，兩圓的半徑分別用r，R來表示。當d＞R+r時，相離；當d=R+r時，外切；當R-r＜d＜R+r時，相交；當d=R-r時，內(nèi)切；當0=＜d＜R-r時，內(nèi)含。也可以用公共點的個數(shù)來確定。

3.數(shù)形結合法速解解析幾何不等式問題

運用數(shù)形結合法解決解析幾何中的不等式問題主要是將原不等式化解，通常能化解為某個曲線方程，然后將曲線方程在數(shù)軸上表示，注意計算過程中值域與定義域，然后幾個圖形的交集就是該不等式的解集。

圖3

策略要領：

遇到XX不等式，變形得出等價式；

代換設置Y變量，化為曲線方程式；

坐標軸上畫分明，圖形交集為解集。

4.數(shù)形結合法速解解析幾何軌跡方程問題

數(shù)形結合在速解解析幾何軌跡方程的應用最為廣泛，因為軌跡屬于幾何類，方程屬于代數(shù)類，它本身就是一種數(shù)形結合，解答方法必定運用數(shù)形結合法。幾乎全國高考數(shù)學解析幾何軌跡方程都有一道選擇題和一道解答題，有些地區(qū)最后一道突破題都是利用數(shù)形結合法速解解析幾何軌跡方程問題。因此，考生必須掌握數(shù)形結合法解答解析幾何軌跡方程，下面舉例分析說明：

如圖4，拋物線y2=4x上有兩動點A、B（都非原點），已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明是什么曲線。

解析：設直線AB的方程為x=ay+b（a1≠0），代入曲線方程y2=4x中，得y2-4ay-4b=0。另A（x1，y1），B（x2，y2），列方程組y1+y2=4a，y1y2=-4b。題目已知OA⊥OB，由此可得x1x2+y1y2=0，也就是 （ay1+b）（ay2+b）+y1y2=0。推斷出-4b+ b2=0，b=4?？芍本€AB恒過定點P（4，0）。

設M（x，y），題目已知OM⊥AB，可推斷出M的軌跡是以OP為直徑的圓 （去除原點）。所以M的軌跡方程為（x-2）2+y2=4（x≠0）。

圖4

策略要領：解析幾何軌跡方程就是數(shù)形結合一種形式，解答這類問題的常用方法有直接法、定義法、參數(shù)法、待定系數(shù)法、代入法、交軌法。本例主要屬于交軌法范疇，凡看到曲線交點，聯(lián)立方程消參，用韋達定理，向量垂直數(shù)量積為零等建立關系，由直徑所對的圓周角是直角得動點軌跡，避開題目干擾的多余條件，找到正確的突破口。

數(shù)形結合是一種解析幾何解題方法，同時又是一種科學思想。于教師而言，要培養(yǎng)學生這種科學思想，使學生養(yǎng)成自覺總結概括的習慣；于學生而言，要善于探究數(shù)形結合背后知識所隱藏的思想，學會舉一反三，而不是通過對一道題的記憶進行解題。特別是高中理科生一定要培養(yǎng)數(shù)形結合思想，這對解答物理、化學及生物問題也會有很大的作用。

[1]徐鋒文.數(shù)形結合思想在解決解析幾何問題中的應用[J].數(shù)學學習與研究,2013,(11):123-124.

[2]安佰玲,黃保軍,盧濤等.解析幾何教學中數(shù)形結合思想方法的運用[J].淮海煤炭師范學院學報,2010,(2):69-73.

（編輯：易繼斌）

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