何佳斌 吳志生 李樂(lè)樂(lè)

（太原科技大學(xué)焊接技術(shù)研究所，太原，030024）

0 引言

馬鞍型空間曲線是一種典型的、復(fù)雜的空間曲線，在焊接馬鞍型焊縫的實(shí)際生產(chǎn)中，焊槍沿著焊縫的位置移動(dòng)也伴隨著姿態(tài)變化，其位姿變化軌跡較復(fù)雜。本文針對(duì)Motoman-UP6 型弧焊機(jī)器人實(shí)現(xiàn)焊接馬鞍型焊縫的軌跡運(yùn)動(dòng)仿真，這對(duì)研究機(jī)器人自動(dòng)化焊接空間曲線焊縫起指導(dǎo)作用[1]。

Motoman-UP6 型弧焊機(jī)器人是典型的三維開(kāi)環(huán)鏈?zhǔn)綑C(jī)構(gòu)的工業(yè)機(jī)器人，具有六個(gè)串聯(lián)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)軸，如圖1 所示，分別為S 軸、L 軸、U 軸、R 軸、B 軸和T 軸，并且在其工作空間內(nèi)，可以實(shí)現(xiàn)工具末端點(diǎn)（TCP）的任意空間位置與姿態(tài)。

圖1 Motoman-Up6 弧焊機(jī)器人

1 機(jī)器人三維建模及結(jié)構(gòu)描述

1.1 機(jī)器人三維建模

在對(duì)機(jī)器人實(shí)體三維建模時(shí)，可以簡(jiǎn)化機(jī)器人模型中對(duì)運(yùn)動(dòng)仿真不影響的細(xì)節(jié)部分，只要保證機(jī)器人模型的外部輪廓以及關(guān)節(jié)位置和機(jī)器人實(shí)體一致，其運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真結(jié)果與實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)果就是等價(jià)的。

通過(guò)以上思想，這里對(duì)機(jī)器人模型進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，減少模型的零件數(shù)，利用三維建模軟件Solidworks 建立整個(gè)機(jī)器人各構(gòu)件的實(shí)體模型，包括基座、轉(zhuǎn)臺(tái)、大臂、拐桿、小臂、末端和焊槍。然后，通過(guò)各構(gòu)件之間轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的約束定義，得到UP6 型弧焊機(jī)器人裝配體模型如圖2 所示，弧焊機(jī)器人結(jié)構(gòu)尺寸如圖3 所示。

圖2 UP6 弧焊機(jī)器人裝配體模型

圖3 UP6 弧焊機(jī)器人結(jié)構(gòu)尺寸

1.2 機(jī)器人結(jié)構(gòu)描述

在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)中，機(jī)械臂可以看成是由一系列連桿通過(guò)關(guān)節(jié)連接而成的一個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈，需要通過(guò)定義某些參數(shù)來(lái)具體描述這個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈。采用修正后的Denait-Hartenberg（D-H）理論[2]，本文將軸S、軸L、軸U、軸R、軸B和T 軸（如圖1 中所示）分別標(biāo)記為軸1-軸6，并且將基座、轉(zhuǎn)臺(tái)、大臂、拐桿、小臂、腕部和焊槍?zhuān)ㄈ鐖D2 中所示）分別標(biāo)記為連桿0-連桿6。

用連桿長(zhǎng)度 ai?1（關(guān)節(jié)軸i -1和關(guān)節(jié)軸i 之間公垂線的長(zhǎng)度，由關(guān)節(jié)軸i -1指向關(guān)節(jié)軸i）和連桿轉(zhuǎn)角 （按右手定則繞 ai?1從關(guān)節(jié)軸i -1到關(guān)節(jié)軸i 的角度）作為描述連桿i -1的參數(shù)，

節(jié)軸i 同向）關(guān)節(jié)角度θi（按右手定則繞關(guān)節(jié)軸i 從α i?1

用連桿偏距 di（αi?1和 αi之間公垂線的距離，與關(guān)

到 αi的角度）作為描述關(guān)節(jié)軸i 的參數(shù)，其中對(duì)于運(yùn)動(dòng)

鏈的末端連桿， ai?1和αi?1習(xí)慣設(shè)置為0，即 a0=a6= 0，α0=α6= 0。在這里提出了D-H 參數(shù)的方向性，其主要是為了后面建立連桿坐標(biāo)系提供方便，并能夠直接引入

表1 Motoman-UP6 機(jī)器人的D-H 參數(shù)表

1.3 機(jī)器人連桿坐標(biāo)系建立

機(jī)械臂相鄰連桿之間的空間關(guān)系是通過(guò)固接的連桿坐標(biāo)系之間的空間關(guān)系來(lái)描述，首先需要在每個(gè)連桿上定義一個(gè)固接的連桿坐標(biāo)系，其建立規(guī)則如下[2]：

1）坐標(biāo)系{i}的iZ 軸沿關(guān)節(jié)軸i 由公垂線 1ia?指向公垂線ia （當(dāng)id =0 時(shí)，iZ 垂直于 1ia?和ia 所在的平面）;

2）坐標(biāo)系{i}的 iX 軸沿公垂線ia 由關(guān)節(jié)軸i 指向關(guān)節(jié)軸 1i+ （當(dāng) ia =0 時(shí)，iX 垂直于iZ 和 1iZ+所在的平面）;

3）坐標(biāo)系{i}的原點(diǎn)位于公垂線 ia 與關(guān)節(jié)軸i 的交點(diǎn)處，坐標(biāo)系{i}的iY 軸可由其他兩個(gè)按右手定則得到。

圖4 所示為UP6 機(jī)器人各連桿坐標(biāo)系，連桿坐標(biāo)系{0}-連桿坐標(biāo)系{6}依次固接在機(jī)器人基座、轉(zhuǎn)臺(tái)、大臂、拐桿、小臂、腕部上，圖中X0方向與Z0方向構(gòu)成了坐標(biāo)系{0}，其中Y0方向按右手定則得到，后面連桿坐標(biāo)系同理。固連在基座上的連桿坐標(biāo)系為{0}，它是一個(gè)固定不動(dòng)的坐標(biāo)系，為了簡(jiǎn)便，通常設(shè)定當(dāng)1θ =0°時(shí)，坐標(biāo)系{0}與坐標(biāo)系{1}重合，同理，固連在機(jī)器人腕部的連桿坐標(biāo)系為{6}，取 =0°時(shí)，連桿坐標(biāo)系{5}的X5軸與連桿坐標(biāo)系{6}的X6軸重合。

圖4 UP6 機(jī)器人連桿坐標(biāo)系

2 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

利用以上的四個(gè)D-H 參數(shù)，關(guān)節(jié)角度iθ 、連桿偏距連桿轉(zhuǎn)角 ai?1和連桿長(zhǎng)度 構(gòu)建出連桿坐標(biāo)系{i}相對(duì)于連桿坐標(biāo)系{i-1}的變換矩陣[2]：

式（1）中 icθ 表示的是cosiθ ，isθ 表示的是siniθ下式同；

故由上面的機(jī)器人D-H 參數(shù)可以得到各個(gè)相鄰連桿坐標(biāo)系之間的變換矩陣，如下式（2）-式（7）所示。

所以，可以得到連桿坐標(biāo)系{6}相對(duì)于連桿坐標(biāo)系{0}的變換矩陣為：

06T 是

關(guān)于6 個(gè)關(guān)節(jié)軸角的函數(shù)，可以根據(jù)各關(guān)節(jié)角度θi計(jì)算出固接在腕部的連桿坐標(biāo)系{6}相對(duì)于固接在基座的連桿坐標(biāo)系{0}的位置和姿態(tài)。

3 焊縫坐標(biāo)系建立

本文中焊接工件為兩個(gè)垂直相交的的圓管，其半徑分別為100mm（r）和200mm（R），如圖5 所示。焊縫坐標(biāo)系（表示為坐標(biāo)系{Hi}，0 ≤i ≤n，n 為空間曲線離散點(diǎn)個(gè)數(shù)）是用來(lái)描述空間曲線焊縫的。坐標(biāo)系{Hi}的坐標(biāo)原點(diǎn)和基軸軸向分別表示的是焊槍末端沿著焊縫運(yùn)動(dòng)在i 時(shí)刻的位置及姿態(tài)，X 軸表示焊縫曲線的切線方向，也即焊槍的前進(jìn)方向，Z 軸表示焊縫曲線的法線方向，也即焊槍的軸向。圖中坐標(biāo)系{G}表示的是工件中心坐標(biāo)系。

圖5 焊縫坐標(biāo)系

在工件中心坐標(biāo)系{G}中，建立空間曲線方程為：

利用Matlab 將該焊縫軌跡的數(shù)學(xué)模型提取出來(lái)，并將其軌跡曲線均勻離散化處理后，計(jì)算出每個(gè)離散點(diǎn)的位置及姿態(tài)，即構(gòu)成焊縫坐標(biāo)系。

焊縫坐標(biāo)系{Hi}相對(duì)于工件中心坐標(biāo)系{G}位姿矩陣可表示為[3]：

3.1 位置計(jì)算

各離散點(diǎn)的位置計(jì)算，也即焊縫坐標(biāo)系{Hi}原點(diǎn)位置計(jì)算。

在Matlab 中繪制該馬鞍型焊縫軌跡線，得到如圖6所示馬鞍型焊縫方向矢量中的黑色曲線。

3.2 姿態(tài)計(jì)算

各離散點(diǎn)的姿態(tài)計(jì)算，也即焊縫坐標(biāo)系{Hi}基軸軸向計(jì)算。

方向向量 ∶焊槍前進(jìn)方向，為空間焊縫曲線的切線方向，即圖6 中藍(lán)色箭頭線所示；

方向向量 ∶焊槍軸線方向，為焊縫曲線法平面與兩個(gè)圓管曲面所成曲線的切線夾角的平分線方向，如圖6 所示，黃顏色箭頭線為曲線法平面與圓管R 所成曲線的切線方向，粉紅色箭頭線為曲線法平面與圓管r 所成曲線的切線方向。

在Matlab 中執(zhí)行以上運(yùn)算過(guò)程的編程，得到其焊縫坐標(biāo)系{Hi}（0 ≤i ≤100）如圖7 馬鞍型焊縫坐標(biāo)系。

圖6 馬鞍型焊縫方向矢量

圖7 馬鞍 型 焊 縫 坐 標(biāo)系

4 機(jī)器人轉(zhuǎn)換方程建立及Matlab 逆解計(jì)算

4.1 機(jī)器人轉(zhuǎn)換方程建立

機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)是在已知工具坐標(biāo)系相對(duì)于基坐標(biāo)系的期望位置與姿態(tài)，計(jì)算一系列滿足期望要求的關(guān)節(jié)角度。只要通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程推導(dǎo)出腕部連桿坐標(biāo)系{6}相對(duì)于基座連桿坐標(biāo)系{0}的變換矩陣06T，即可利用Matlab中的Robotic toolbox 求解出機(jī)器人各關(guān)節(jié)角。

由于在當(dāng)工具末端處于目標(biāo)位姿時(shí)，工具末端坐標(biāo)系{7}與焊縫坐標(biāo)系{Hi}將重合，如圖8 所示為弧焊機(jī)器人系統(tǒng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，圖中坐標(biāo)系{S}為工作臺(tái)坐標(biāo)系，其相對(duì)于基座坐標(biāo)系{0}固定不動(dòng)。從而構(gòu)建機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如式（10）所示，等式左邊為工具末端的連桿坐標(biāo)系{7}相對(duì)于基座坐標(biāo)系{0}的變換矩陣，等式右邊為焊縫坐標(biāo)系{Hi}相對(duì)于基座坐標(biāo)系{0}的變換矩陣。

圖8 弧焊機(jī)器人系統(tǒng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

所以得到：

式中 T06表示機(jī)器人腕部坐標(biāo)系{6}相對(duì)于基座坐標(biāo)系{0}的轉(zhuǎn)換矩陣；

T67表示工具末端坐標(biāo)系{7}相對(duì)于機(jī)器人腕部坐標(biāo)系{6}的轉(zhuǎn)換矩陣；

TS0表示工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}相對(duì)于基座坐標(biāo)系{0}的轉(zhuǎn)換矩陣；

TGS表示工件坐標(biāo)系{G}相對(duì)于工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}的轉(zhuǎn)換矩陣；

THGi

表示焊縫坐標(biāo)系{Hi}相對(duì)于工件坐標(biāo)系{G}的轉(zhuǎn)換矩陣。

經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換，得到：

由于工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}相對(duì)于基座坐標(biāo)系{0}的位姿是固定不變的，所以0ST為已知矩陣，同理SGT 和67T也是已知的。本文在計(jì)算中有：

4.2 Matlab 逆解計(jì)算

利用Matlab 中的Robotics Toolbox 建立UP6 機(jī)器人數(shù)學(xué)模型，并求其對(duì)應(yīng)位姿逆解[4]，在逆解之前可以通過(guò)驗(yàn)證：

時(shí)，得到其軸坐標(biāo)分別為[0 –pi/2 0 0 pi/2 0]和[0.35 -1.22 0.52 0.70 -3.84 1.05]，并得到機(jī)器人各軸位姿圖形[5]如圖9、圖10 所示，可以看到其逆解可靠。

建立機(jī)器人模型及其求逆程序如下：

L1=link([0 0 0 0],'modified');

L2=link([-pi/2 150 -pi/2 0],'modified');

L3=link([pi 570 0 0],'modified');

L4=link([-pi/2 130 0 -640],'modified');

L5=link([pi/2 0 pi/2 0],'modified');

L6=link([pi/2 0 0 0],'modified');

r=robot({L1 L2 L3 L4 L5 L6});

r.name='Motoman-UP6';

T=0sT*sgT*ghT*(67T)^-1;

q=ikine(r,T,[0 pi/2 0 0 -pi/2 0]);

圖9 Matlab 機(jī)器人逆解1

圖10 Matlab 機(jī)器人逆解2

5 機(jī)器人焊接計(jì)算機(jī)仿真

利用Solidworks 中的Motion 插件進(jìn)行機(jī)器人運(yùn)動(dòng)仿真實(shí)驗(yàn)， 將Matlab 中所得各關(guān)節(jié)坐標(biāo)輸入到Solidworks 建立的機(jī)器人模型6 個(gè)關(guān)節(jié)中，關(guān)節(jié)坐標(biāo)通過(guò)樣條曲線插值擬合，使關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)。如圖11 所示為5s 內(nèi)機(jī)器人關(guān)節(jié)軸角隨時(shí)間變化散點(diǎn)圖，圖中每個(gè)星點(diǎn)、散點(diǎn)表示的是該時(shí)刻對(duì)應(yīng)的各關(guān)節(jié)軸角值。關(guān)節(jié)角1-5 的散點(diǎn)在整個(gè)仿真時(shí)間內(nèi)均呈現(xiàn)周期性的弦曲線分布，且周期均為5s，在結(jié)束時(shí)刻各軸回到初始角度，整體來(lái)看軸角散點(diǎn)在曲線的極點(diǎn)時(shí)刻都分布較密集，而在曲線極點(diǎn)的過(guò)渡時(shí)刻分布較稀疏。關(guān)節(jié)角6 的散點(diǎn)從0°-360°以2.5s 為周期呈現(xiàn)規(guī)律性波動(dòng)上升，散點(diǎn)分布均勻。

圖11 機(jī)器人軸坐標(biāo)隨時(shí)間變化曲線

如圖12 所示為弧焊機(jī)器人焊接馬鞍型焊縫仿真過(guò)程幀圖，在整個(gè)仿真過(guò)程中焊槍末端點(diǎn)（焊絲端點(diǎn)）始終與焊縫軌跡點(diǎn)保持協(xié)調(diào)吻合，焊槍的軸線方向（焊槍坐標(biāo)系{7}的Z 軸方向）始終沿焊縫軌跡點(diǎn)的Z 軸方向，焊槍的前進(jìn)方向（焊槍坐標(biāo)系{7}的X 軸方向）也始終沿焊縫軌跡點(diǎn)的X 軸方向。

圖14 焊槍末端仿真過(guò)程線性速度變化曲線

圖15 焊槍末端仿真過(guò)程線性加速度變化曲線

圖12 弧焊機(jī)器人焊接馬鞍型焊縫仿真幀圖

如圖13-圖15 所示焊槍末端仿真過(guò)程中的位移、速度及加速度隨時(shí)間變化曲線，其變化也均呈周期性。

圖13 焊槍末端仿真過(guò)程線性位移變化曲線

6 結(jié)論

1）為了實(shí)現(xiàn)模型關(guān)節(jié)角度方向與實(shí)體關(guān)節(jié)角度方向相一致，連桿坐標(biāo)系Z 軸方向須按照右手定則確定，這對(duì)于運(yùn)動(dòng)仿真的真實(shí)性非常重要。引用修改后的D-H 參數(shù)法，并提出了D-H 參數(shù)的方向性，這對(duì)于后面建立連桿坐標(biāo)系十分方便，在建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程時(shí)可以直接引用John. J. Craig 提出的連桿變換矩陣 。

2）機(jī)器人Motion 運(yùn)動(dòng)仿真軌跡跟數(shù)學(xué)模型一致，證明所建的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程與焊縫坐標(biāo)系正確，并通過(guò)數(shù)據(jù)點(diǎn)間的樣條曲線插值擬合，完成了數(shù)據(jù)點(diǎn)間的平穩(wěn)過(guò)渡，所得軌跡圓滑無(wú)棱角，聯(lián)合Matlab 的Robotic toolbox 逆解計(jì)算以及Solidworks 的三維仿真，完成了機(jī)器人從運(yùn)動(dòng)控制到模型運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程，這對(duì)后期實(shí)現(xiàn)離線編程與仿真有重要作用。

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