朱 平

(普洱學(xué)院 理工學(xué)院，云南 普洱 665000)

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任意擺幅的擺類振動(dòng)規(guī)律研究

朱 平

(普洱學(xué)院 理工學(xué)院，云南 普洱 665000)

任意擺幅的擺類振動(dòng)由于涉及橢圓積分，問題的討論帶來一定的困難，通常僅局限于討論擺角較小時(shí)的情況，近似處理為簡(jiǎn)諧振動(dòng).如果不做這種近似處理，對(duì)任意的擺幅，擺類的振動(dòng)規(guī)律又如何，振動(dòng)又有什么特點(diǎn)，是否是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這是大學(xué)力學(xué)教學(xué)中學(xué)生感到困惑的問題.運(yùn)用橢圓積分的理論給出了問題的解，并進(jìn)行了系統(tǒng)、深入的討論.

任意擺幅;擺類;振動(dòng);規(guī)律

在力學(xué)問題的教學(xué)中，單擺、復(fù)擺、碗擺、環(huán)擺、扭擺等的振動(dòng)是一類最為基本和重要的振動(dòng)[1-4]，是研究其他復(fù)雜振動(dòng)的基礎(chǔ).然而，對(duì)這類振動(dòng)的研究，涉及橢圓積分，給問題的討論帶來一定的困難[5-9],一般情況僅局限于討論擺幅較小時(shí)的情況，近似處理為簡(jiǎn)諧振動(dòng).如果不做這種近似處理，對(duì)任意的擺幅，這類問題的振動(dòng)規(guī)律又如何，振動(dòng)又有什么特點(diǎn)，是否是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這是大學(xué)力學(xué)教學(xué)中學(xué)生感到困惑的問題.下面對(duì)這一問題展開分析和討論.

任意擺幅的單擺、復(fù)擺、扭擺以及碗擺等這一類的振動(dòng)可以簡(jiǎn)化為通過一剛體的復(fù)擺的振動(dòng)來加以討論，如圖1所示.

一剛體復(fù)擺，質(zhì)量為m,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，過O點(diǎn)的垂直軸為轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離為d、C為質(zhì)心，剛體可以繞O的軸自由往復(fù)地振動(dòng).

當(dāng)O點(diǎn)為固定點(diǎn)，剛體為集中在C的質(zhì)點(diǎn)時(shí)，為單擺，擺長為d；當(dāng)過O點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸為固定扭體，mg替換為扭擺的內(nèi)回復(fù)力矩，為扭擺；當(dāng)d為碗的半徑，剛體為質(zhì)量集中于C的半徑為r的小球，沿d的方向有碗的支持力，此時(shí)為碗擺；當(dāng)剛體為一環(huán)，環(huán)上支點(diǎn)為O，環(huán)的質(zhì)量為m，半徑為d，為環(huán)擺.

研究這一類擺的振動(dòng)規(guī)律，可以先簡(jiǎn)化為討論復(fù)擺的振動(dòng)規(guī)律，從復(fù)擺的振動(dòng)規(guī)律的結(jié)果中再使問題具體化得到單擺、扭擺、環(huán)擺、碗擺等的具體振動(dòng)規(guī)律.

圖1 復(fù)擺

1 任意擺幅的復(fù)擺

對(duì)于一任意擺角φ，復(fù)擺受到的回復(fù)力矩為-mgdsinφ，由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理有

令

則有

對(duì)于復(fù)擺的振動(dòng)，有

(1)

從微分方程(1)式有

(2)

(2)式為橢圓積分.為得到相應(yīng)的解對(duì)其作變量變換，令

θ.有

于是

(3)

方程(3)為橢圓積分，其解為[10]

(4)

F[θ,k]為第一類橢圓積分函數(shù).從解析式(4)，可以通過計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算得到角位移隨時(shí)間的演化規(guī)律

φ=G(t)

(5)

(4)或(5)即為任意擺幅的復(fù)擺的振動(dòng)規(guī)律的解.

圖2 角幅與初角速度的關(guān)系

圖3 任意擺幅復(fù)擺的振動(dòng)圖像

利用復(fù)擺微分方程的解析式(4)，通過計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算的方法，在圖3里給出了任意擺幅的復(fù)擺振動(dòng)角位移隨時(shí)間的演化圖φ=G(t).這里，k0=0.7，擺的初角速度ω0取不同的值.從圖3看到，任意擺幅的振動(dòng)是周期函數(shù)，但振動(dòng)的周期和振動(dòng)的幅度與初角速度有關(guān)，在ω0的取值范圍里，初角速度越大，振動(dòng)的幅度越大，周期也越大.顯然，振動(dòng)周期與振動(dòng)幅度有關(guān)，這與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期與擺幅無關(guān)是不同的，任意擺幅的復(fù)擺的振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng).

于是，可以得到任意擺幅復(fù)擺的振動(dòng)周期解析式[10]

這里，K[k]為第一類完全橢圓積分函數(shù).

圖4 單擺的振動(dòng)周期分布圖

圖4給出了復(fù)擺的振動(dòng)周期與初角速度ω0、系統(tǒng)固有屬性k0間的關(guān)系.當(dāng)初角速度增加，擺幅增大時(shí)，系統(tǒng)的周期增大.當(dāng)初角速度接近系統(tǒng)的限制值(2mgd/I)時(shí)，系統(tǒng)的周期迅速增大.在初角速度一定時(shí)，系統(tǒng)固有常數(shù)k0越大，復(fù)擺的振動(dòng)周期就越小.

如果復(fù)擺作sinφ～φ的近似處理，為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，且

其解為

圖5 復(fù)擺振動(dòng)圖像與作近似處理

在圖5里給出了任意擺幅的復(fù)擺振動(dòng)圖像與作近似處理為簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖像的比較.這里，k0=0.5，ω0=0.7.虛線為解析解(4)式給出的任意擺幅的復(fù)擺振動(dòng)圖像.實(shí)線為復(fù)擺作近似處理為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)圖像.從圖5 看到，當(dāng)擺角較小時(shí)，任意擺幅的振動(dòng)與作近似處理的簡(jiǎn)諧振動(dòng)差別不大，擺角越小，這種一致性就越高.但當(dāng)時(shí)間增加、擺角增大時(shí)，復(fù)擺實(shí)際振動(dòng)的規(guī)律與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的差別迅速增大.實(shí)際復(fù)擺的振動(dòng)周期比近似處理的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期更大，振幅也更大.

圖6 振動(dòng)幅角為3°時(shí)復(fù)擺振動(dòng)圖像與相應(yīng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖像比較

圖6給出了振動(dòng)幅角為3°時(shí)簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖像(實(shí)線)與解析式(4)給出的振動(dòng)圖像(實(shí)圓點(diǎn))，這里，ω0=0.7.顯然，兩者的圖像已幾乎是重合一致.因此，當(dāng)幅角較小時(shí)，復(fù)擺的振動(dòng)可看作簡(jiǎn)諧振動(dòng).然而，實(shí)際的復(fù)擺，幅角小于3°的振動(dòng)不太容易實(shí)現(xiàn)，因此，實(shí)際的復(fù)擺多為非簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它的振動(dòng)規(guī)律可以由式(4)與式(5)給出.

2 單擺振動(dòng)規(guī)律

對(duì)任意擺幅單擺的振動(dòng)規(guī)律

圖7 任意擺幅單擺振動(dòng)圖像與作近似處理的簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖像的比較

圖7給出了任意擺幅單擺振動(dòng)圖像與作近似處理的簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖像的比較，這里，k0=0.4，ω0=0.6.從圖7看到，單擺任意擺幅的振動(dòng)與作近似處理的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的差別比復(fù)擺的差別更突出.擺角較小時(shí)，一致性較高.但當(dāng)擺角增大時(shí)，單擺實(shí)際振動(dòng)的規(guī)律與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的差別更加突出.單擺實(shí)際振動(dòng)的周期、振幅比簡(jiǎn)諧振動(dòng)給出的周期、振幅更大.這是因?yàn)閱螖[作近似處理給出的回復(fù)力矩比實(shí)際回復(fù)力矩更大，所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期就更小.周期為

實(shí)際單擺的振動(dòng)周期與復(fù)擺的周期有類似的規(guī)律，周期與擺幅有關(guān)，擺幅越大，周期越大.

3 碗擺的振動(dòng)規(guī)律

碗的半徑為R，小球的質(zhì)量為m, 半徑為r，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

任意擺幅的碗擺振動(dòng)規(guī)律

周期

顯然，系統(tǒng)的固有參數(shù)一定時(shí)，碗擺的周期與擺幅有關(guān).

圖8 碗擺的振動(dòng)周期與擺球半徑關(guān)系分布圖

圖9 碗擺的振動(dòng)周期與擺碗半徑關(guān)系分布圖

圖8和圖9里，ω0=1.2,圖8中R=10；圖9中r=0.2.在擺幅一定的條件下，碗擺的周期與擺球的半徑和擺碗的半徑有關(guān)，擺球和擺碗的半徑越大，碗擺的周期越大.

4 環(huán)擺的振動(dòng)規(guī)律

圓環(huán)的半徑為R，質(zhì)量為m,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

任意擺幅的振動(dòng)規(guī)律

周期

5 扭擺的振動(dòng)規(guī)律

對(duì)于扭轉(zhuǎn)軸為理想彈性體的扭擺，當(dāng)轉(zhuǎn)角為φ時(shí)，內(nèi)回復(fù)力矩與扭轉(zhuǎn)角呈線性關(guān)系，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,則

c為常數(shù).此時(shí)的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng).振動(dòng)規(guī)律

如果扭擺的內(nèi)回復(fù)力矩與扭轉(zhuǎn)角成非線性關(guān)系，為非簡(jiǎn)諧振動(dòng).

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Research on Vibrations of Pendulums for Arbitrary Amplitudes of Angle

ZHU Ping

(School of Science and Technology，Puer Universiy,Puer 665000,China)

Because vibrations of pendulums for arbitrary amplitudes of the angle involve the elliptic integrals,it is difficult to investigate and solve this problem.Usually,the vibration of the amplitude of the angle being smaller is only discussed,which is approximated as a simple harmonic vibration.This paper investigates the problem which makes students feel confused in mechanics teaching and presents the angular displacement function and the period function of pendulums for arbitrary amplitudes of the angle by using the theory of elliptic integrals and the analytic method.

Rbitrary amplitudes of the angle; Pendulums; Vibrations; Law

2014-10-17

朱 平(1958-)，男，云南普洱人，博士，教授，碩士生導(dǎo)師,主要從事大學(xué)物理教學(xué)方面研究.

朱 平.

O32

A

1007-9793(2015)03-0051-05