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        Lie理想上廣義導(dǎo)子的一個(gè)結(jié)果

        2015-02-13 06:50:24王奕涵杜奕秋
        關(guān)鍵詞:導(dǎo)子同態(tài)子群

        王奕涵,杜奕秋

        (吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 長春 130103)

        設(shè)R是環(huán),若對aRb=0,a,b∈R,有a=0或b=0,則稱R為素環(huán).設(shè)R是一個(gè)結(jié)合環(huán),d是環(huán)R到自身的一個(gè)映射,如果對任意的x,y∈R,有d(a+b)=d(a)+d(b),d(ab)=d(a)b+ad(b),則稱d是R的一個(gè)導(dǎo)子.設(shè)F是環(huán)R到自身的一個(gè)加性映射,若存在R上的導(dǎo)子d使得對任意x,y∈R,均有F(xy)=F(x)y+xd(y),則稱F為環(huán)R上的廣義導(dǎo)子.設(shè)R是環(huán)R上的導(dǎo)子d,滿足d(xy)=d(x)d(y)或d(xy)=d(y)d(x),則稱d在R上滿足同態(tài)或反同態(tài).1989年Bell and Kappe[1]證明了若d是素環(huán)R上的導(dǎo)子,且d在R的非零理想I上滿足同態(tài)或反同態(tài),則在環(huán)R上有d=0的結(jié)論;2003年Asma,Rehman和Shakir[2]將這個(gè)結(jié)果由非零理想推廣到Lie理想上,得到了d=0或U?Z(R)的結(jié)果.在前人研究的基礎(chǔ)上,本文進(jìn)一步研究了環(huán)中的導(dǎo)子在Lie理想上滿足同態(tài)或反同態(tài)的問題,將Asma[2]的結(jié)果推廣到廣義導(dǎo)子上,從而得到了類似的結(jié)論.

        1 主要結(jié)果

        引理1[1]一個(gè)群不能寫成它的兩個(gè)真子群的并.

        引理2[2]令U?Z(R)是2-扭自由素環(huán)的Lie理想,若對任意的a,b∈R,滿足a∪b=0,則a=0或b=0.

        引理3[2]令R是2-扭自由素環(huán),U是環(huán)R的非零Lie理想,若d是R的非零導(dǎo)子,滿足d(U)=0,則U?Z(R).

        引理4[2]令R是2-扭自由素環(huán),U是環(huán)R的非零Lie理想,若d是R的非零導(dǎo)子,滿足[u,d(u)]∈Z(R),u∈U,則U?Z(R).

        引理5[2]令R是2-扭自由素環(huán),U是環(huán)R的非零Lie理想,滿足u2∈U,u∈U,若d是R的導(dǎo)子,且d在U上作為同態(tài)或反同態(tài),則d=0或U?Z(R).

        將引理5推廣到廣義導(dǎo)子上,有以下結(jié)果:

        定理1 令R是2-扭自由素環(huán),U是環(huán)R的非零Lie理想,滿足u2∈U,u∈U,F(xiàn)是R的廣義導(dǎo)子,與導(dǎo)子d有關(guān),若F在U上作為同態(tài)或反同態(tài),則F(x,y)=F(x)y或U?Z(R).

        證明 假設(shè)U?Z(R).

        (ⅰ)當(dāng)F在U上作為同態(tài)時(shí),有

        F(xy)=F(x)y+xd(y)=F(x)F(y),x,y∈U

        (1)

        在式(1)中用y2代替y,即

        F(x)y2+xd(y2)=F(x)F(y2),

        展開并整理可得

        (F(x)-x)yd(y)=0,x,y∈U

        (2)

        由假設(shè),對任意的x∈U,有x2∈U成立,進(jìn)而(x+z)2?U,x,z∈U,所以(x+z)2-x2-z2=xz-zx?U.同理,xz-zx?U,x,z∈U,因此2xz∈U,x,z∈U.在式(2)中用2xz代替x,(F(2xz)-2xz)yd(y)=0,x,y,z∈U.(F(x)z-xz)yd(y)+xd(z)yd(y)=0.由式(2)可知

        xd(z)yd(y)=0,x,y,z∈U

        (3)

        所以xd(z)Ud(y)=0.根據(jù)引理2,有xd(z)=0或d(y)=0.

        若d(y)=0,y∈U.由引理3,可知d=0或U?Z,而假設(shè)U?Z(R),所以d=0,從而F(xy)=F(x)y;

        若xd(z)=0,x,z∈U.將xd(z)=0代入式(1)中,也有F(xy)=F(x)y成立.

        (ⅱ)當(dāng)F在U上作為環(huán)R的反同態(tài),則對任意的x,y∈U,有

        F(xy)=F(x)y+xd(y)=F(y)F(x)

        (4)

        在式(4)中用xy代替x,即F(xy)y+xyd(y)=F(y)F(xy),展開得

        xyd(y)=F(y)xd(y),x,y∈U

        (5)

        在式(5)中用zx代替x,其中z∈U,有zxyd(y)=F(y)zxd(y),用z左乘(5)式,整理得F(y)zxd(y)=zF(y)xd(y).從而

        [F(y),z]xd(y)=0,x,y,z∈U

        (6)

        所以[F(y),z]Ud(y)=0.根據(jù)引理2,有[F(y),z]或d(y)=0.

        令A(yù)={y,z∈U,[F(y),z]=0}B={y∈U,d(y)=0}.則A和B都是U的可加子群,且A∪B=U.但由引理4可知,A=U或B=U.

        若A=U,則有[F(y),z]=0,根據(jù)引理6,有U?Z,與題設(shè)矛盾.

        若B=U,則有d(y)=0,由引理有d=0,所以F(xy)=F(x)y.

        2 結(jié)語

        本文在2-扭自由素環(huán)R上研究了當(dāng)廣義導(dǎo)子F在環(huán)R的非零Lie理想上滿足同態(tài)或反同態(tài)時(shí),得到了F(xy)=F(x)y或U?Z(R)的結(jié)果,并給出相關(guān)的一些引理,為今后深入研究環(huán)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)做準(zhǔn)備.此外,我們還可以考慮研究:廣義導(dǎo)子在星素環(huán)R上滿足同態(tài)或反同態(tài)時(shí),是否有類似的結(jié)論成立.

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