王奕涵，杜奕秋

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130103)

設(shè)R是環(huán)，若對aRb=0，a,b∈R，有a=0或b=0，則稱R為素環(huán).設(shè)R是一個(gè)結(jié)合環(huán)，d是環(huán)R到自身的一個(gè)映射，如果對任意的x,y∈R，有d(a+b)=d(a)+d(b)，d(ab)=d(a)b+ad(b)，則稱d是R的一個(gè)導(dǎo)子.設(shè)F是環(huán)R到自身的一個(gè)加性映射，若存在R上的導(dǎo)子d使得對任意x,y∈R，均有F(xy)=F(x)y+xd(y)，則稱F為環(huán)R上的廣義導(dǎo)子.設(shè)R是環(huán)R上的導(dǎo)子d,滿足d(xy)=d(x)d(y)或d(xy)=d(y)d(x)，則稱d在R上滿足同態(tài)或反同態(tài).1989年Bell and Kappe[1]證明了若d是素環(huán)R上的導(dǎo)子，且d在R的非零理想I上滿足同態(tài)或反同態(tài)，則在環(huán)R上有d=0的結(jié)論；2003年Asma，Rehman和Shakir[2]將這個(gè)結(jié)果由非零理想推廣到Lie理想上，得到了d=0或U?Z(R)的結(jié)果.在前人研究的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步研究了環(huán)中的導(dǎo)子在Lie理想上滿足同態(tài)或反同態(tài)的問題，將Asma[2]的結(jié)果推廣到廣義導(dǎo)子上，從而得到了類似的結(jié)論.

1 主要結(jié)果

引理1[1]一個(gè)群不能寫成它的兩個(gè)真子群的并.

引理2[2]令U?Z(R)是2-扭自由素環(huán)的Lie理想，若對任意的a,b∈R，滿足a∪b=0，則a=0或b=0.

引理3[2]令R是2-扭自由素環(huán)，U是環(huán)R的非零Lie理想，若d是R的非零導(dǎo)子，滿足d(U)=0，則U?Z(R).

引理4[2]令R是2-扭自由素環(huán)，U是環(huán)R的非零Lie理想，若d是R的非零導(dǎo)子，滿足[u,d(u)]∈Z(R)，u∈U，則U?Z(R).

引理5[2]令R是2-扭自由素環(huán)，U是環(huán)R的非零Lie理想，滿足u2∈U，u∈U，若d是R的導(dǎo)子，且d在U上作為同態(tài)或反同態(tài)，則d=0或U?Z(R).

將引理5推廣到廣義導(dǎo)子上，有以下結(jié)果：

定理1 令R是2-扭自由素環(huán)，U是環(huán)R的非零Lie理想，滿足u2∈U，u∈U，F(xiàn)是R的廣義導(dǎo)子，與導(dǎo)子d有關(guān)，若F在U上作為同態(tài)或反同態(tài)，則F(x,y)=F(x)y或U?Z(R).

證明 假設(shè)U?Z(R).

(ⅰ)當(dāng)F在U上作為同態(tài)時(shí),有

F(xy)=F(x)y+xd(y)=F(x)F(y),x,y∈U

(1)

在式(1)中用y2代替y，即

F(x)y2+xd(y2)=F(x)F(y2),

展開并整理可得

(F(x)-x)yd(y)=0,x,y∈U

(2)

由假設(shè)，對任意的x∈U，有x2∈U成立，進(jìn)而(x+z)2?U，x,z∈U，所以(x+z)2-x2-z2=xz-zx?U.同理,xz-zx?U，x,z∈U，因此2xz∈U，x,z∈U.在式(2)中用2xz代替x，(F(2xz)-2xz)yd(y)=0，x,y,z∈U.(F(x)z-xz)yd(y)+xd(z)yd(y)=0.由式(2)可知

xd(z)yd(y)=0,x,y,z∈U

(3)

所以xd(z)Ud(y)=0.根據(jù)引理2，有xd(z)=0或d(y)=0.

若d(y)=0，y∈U.由引理3，可知d=0或U?Z，而假設(shè)U?Z(R)，所以d=0，從而F(xy)=F(x)y；

若xd(z)=0，x,z∈U.將xd(z)=0代入式(1)中，也有F(xy)=F(x)y成立.

(ⅱ)當(dāng)F在U上作為環(huán)R的反同態(tài)，則對任意的x,y∈U,有

F(xy)=F(x)y+xd(y)=F(y)F(x)

(4)

在式(4)中用xy代替x，即F(xy)y+xyd(y)=F(y)F(xy)，展開得

xyd(y)=F(y)xd(y),x,y∈U

(5)

在式(5)中用zx代替x，其中z∈U，有zxyd(y)=F(y)zxd(y)，用z左乘(5)式，整理得F(y)zxd(y)=zF(y)xd(y).從而

[F(y),z]xd(y)=0,x,y,z∈U

(6)

所以[F(y),z]Ud(y)=0.根據(jù)引理2，有[F(y),z]或d(y)=0.

令A(yù)={y,z∈U,[F(y),z]=0}B={y∈U,d(y)=0}.則A和B都是U的可加子群，且A∪B=U.但由引理4可知，A=U或B=U.

若A=U，則有[F(y),z]=0，根據(jù)引理6，有U?Z，與題設(shè)矛盾.

若B=U，則有d(y)=0，由引理有d=0，所以F(xy)=F(x)y.

2 結(jié)語

本文在2-扭自由素環(huán)R上研究了當(dāng)廣義導(dǎo)子F在環(huán)R的非零Lie理想上滿足同態(tài)或反同態(tài)時(shí)，得到了F(xy)=F(x)y或U?Z(R)的結(jié)果，并給出相關(guān)的一些引理，為今后深入研究環(huán)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)做準(zhǔn)備.此外，我們還可以考慮研究：廣義導(dǎo)子在星素環(huán)R上滿足同態(tài)或反同態(tài)時(shí)，是否有類似的結(jié)論成立.