白 冰，袁 維，石 露，李 君，李小春

（1.中國(guó)科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所 巖土力學(xué)與工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430071；2.石家莊鐵道大學(xué) 土木工程學(xué)院，河北 石家莊 050043；3.天津大學(xué) 中低溫?zé)崮芨咝Ю媒逃恐攸c(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072）

1 引言

安全系數(shù)與最危險(xiǎn)滑面的確定是邊坡穩(wěn)定性分析的兩個(gè)核心內(nèi)容。這兩個(gè)工作不是孤立的，是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題中的兩個(gè)方面，前者需要以后者作為計(jì)算的位置，后者則需要以前者為目標(biāo)函數(shù)。極限平衡法是一種很早就被建立起來(lái)的計(jì)算邊坡安全系數(shù)的方法，在過(guò)去幾十年中得到了廣泛應(yīng)用，積累了大量經(jīng)驗(yàn)。強(qiáng)度折減法是計(jì)算邊坡安全系數(shù)的另一方法，Zienkiewicz于1975最先提出和使用的[1]。該方法最初只是作為用有限元法計(jì)算安全系數(shù)的一個(gè)技巧，在1992年被Matsui等命名為強(qiáng)度折減法[2]。與有限元法結(jié)合形成的所謂有限元強(qiáng)度折減法，不僅可以計(jì)算邊坡安全系數(shù)，而且比極限平衡法具有額外優(yōu)點(diǎn)[3－5]。例如，能夠計(jì)算邊坡的變形、破壞過(guò)程等。隨著計(jì)算機(jī)和數(shù)值分析軟件的發(fā)展，強(qiáng)度折減法獲得廣泛的研究和應(yīng)用。

在經(jīng)典強(qiáng)度折減法中，黏聚力c 和tanφ（φ為內(nèi)摩擦角）這兩個(gè)參數(shù)的折減系數(shù)是相等的（稱(chēng)為等比例折減，或稱(chēng)單一折減法，簡(jiǎn)稱(chēng)“單折減法”，英文簡(jiǎn)稱(chēng)為SRM），并且可以證明，安全系數(shù)恰好等于邊坡整體臨界失穩(wěn)時(shí)的折減系數(shù)。近年來(lái)，一些學(xué)者陸續(xù)提出對(duì)c 和tanφ 采用不同折減系數(shù)的所謂“雙折減法”[6－14]（英文簡(jiǎn)稱(chēng)為DRM），甚至發(fā)現(xiàn)雙折減法的安全系數(shù)比傳統(tǒng)的單折減法的安全系數(shù)小[10]。國(guó)內(nèi)較早研究雙折減法的唐芬等認(rèn)為[7]，c 和tanφ 應(yīng)采用不同的折減系數(shù)。然而，采用兩個(gè)折減系數(shù)時(shí)，可能的折減路徑有無(wú)窮多個(gè)，如何確定雙參數(shù)的折減路徑是不清楚的，即使找到了折減路徑，得到的折減系數(shù)也不再自動(dòng)等于安全系數(shù)，此時(shí)邊坡安全系數(shù)究竟如何定義也未見(jiàn)論證和探討。袁維等[15]建議了一個(gè)雙折減法，并提出了基于參數(shù)擬合的配套折減原則，以避免對(duì)c 和tanφ 進(jìn)行任意折減的盲目性。最近，白冰等[16]又提出了一個(gè)新的雙強(qiáng)度折減法，不僅給出了確定的折減路徑，而且給出了雙折減法安全系數(shù)的一個(gè)新定義，但利用兩個(gè)系數(shù)進(jìn)行折減的合理性迄今仍未見(jiàn)嚴(yán)格的論證，并且也未見(jiàn)雙折減法安全系數(shù)與經(jīng)典強(qiáng)度折減法安全系數(shù)的嚴(yán)格比較。

本文擬給出雙折減法中采用兩個(gè)折減系數(shù)的依據(jù)，為雙折減法建立理論基礎(chǔ)，并論證文獻(xiàn)[16]定義的雙折減法安全系數(shù)與經(jīng)典強(qiáng)度折減法的安全系數(shù)的關(guān)系，最后，通過(guò)數(shù)值模擬算例進(jìn)一步驗(yàn)證這種關(guān)系。

2 雙折減法的理論依據(jù)

文獻(xiàn)[6－7]認(rèn)為，強(qiáng)度參數(shù)c 和φ 在邊坡發(fā)生滑動(dòng)時(shí)發(fā)揮的作用不同、發(fā)揮作用的先后秩序不同以及衰減的速度也不同。據(jù)此認(rèn)為c 和φ 應(yīng)采用不同的折減系數(shù)更符合實(shí)際，并將這兩個(gè)折減系數(shù)稱(chēng)作雙安全系數(shù)。但若邊坡真的處于破壞演化的過(guò)程中，這個(gè)論斷是應(yīng)被接受的。然而，對(duì)于安全系數(shù)大于1.0、處于穩(wěn)定狀態(tài)的邊坡，其破壞過(guò)程顯然是不存在的，而用強(qiáng)度折減法分析時(shí)，被折減后的c和φ 也不再是該邊坡的真實(shí)強(qiáng)度參數(shù)。雖然強(qiáng)度折減法的分析過(guò)程中存在著不斷折減強(qiáng)度參數(shù)的過(guò)程，即介質(zhì)強(qiáng)度參數(shù)劣化的過(guò)程，但這個(gè)過(guò)程是虛擬的，是真實(shí)邊坡所不存在的。因此，雙折減法的存在性可能需要尋找新的依據(jù)。

換一種觀點(diǎn)看待安全系數(shù)的定義是有可能為雙折減法的合理性找到依據(jù)的。事實(shí)上，根據(jù)經(jīng)典強(qiáng)度折減法的實(shí)施過(guò)程可知，強(qiáng)度折減法的實(shí)質(zhì)是以邊坡初始抗剪強(qiáng)度τ為初值不斷折減，以尋找恰好使邊坡處于臨界失穩(wěn)狀態(tài)的抗剪強(qiáng)度值τ′（簡(jiǎn)稱(chēng)臨界抗剪強(qiáng)度），兩個(gè)抗剪強(qiáng)度的關(guān)系為：τ′=τ/k 。簡(jiǎn)單變換該式，即得k =τ′/τ。因此，安全系數(shù)即折減系數(shù)，是初始抗剪強(qiáng)度與臨界抗剪強(qiáng)度的比值。然而，臨界抗剪強(qiáng)度τ′并不屬于原邊坡，真實(shí)過(guò)程中邊坡也不一定發(fā)生的滑動(dòng)，它只是一個(gè)虛擬值。為了賦予這個(gè)虛擬值以一定的物理內(nèi)涵，可以用下述方式重新闡釋經(jīng)典強(qiáng)度折減法定義安全系數(shù)的過(guò)程。

設(shè)存在兩個(gè)邊坡A和B，邊坡A是待評(píng)價(jià)的真實(shí)邊坡，邊坡B是潛在的參照邊坡，并且恰好處于臨界失穩(wěn)狀態(tài)，邊坡B和邊坡A只有抗剪強(qiáng)度材料參數(shù)不同，其余的所有方面，如幾何、邊界條件以及其他物性參數(shù)等均完全相同。這樣的設(shè)置，使得邊坡A和邊坡B在安全度上具有完全的可比性，因而，可以將邊坡B作為邊坡A安全度的參照物，進(jìn)而用邊坡A的某種屬性與邊坡B的同一屬性的比值定義邊坡A的安全系數(shù)Fs，即

可以選擇兩個(gè)邊坡的抗剪強(qiáng)度值作為關(guān)鍵屬性，同時(shí)考慮到邊坡B恰好處于臨界失穩(wěn)狀態(tài)，其安全系數(shù)為1.0，這樣，邊坡A的安全系數(shù)按照式（1）的思想，即可表達(dá)為（帶“′”的為邊坡B的值，下同），

式中：τf和分別為邊坡A和B的抗剪強(qiáng)度。

對(duì)于經(jīng)典的強(qiáng)度折減法，安全系數(shù)完全可以用上式的定義得到。只是，在這種方法中，參照邊坡B是邊坡A折減后的邊坡，并且其抗剪強(qiáng)度為τ′f=，因此，邊坡A的安全系數(shù)為

這就是經(jīng)典強(qiáng)度折減法的安全系數(shù)。將把上述重新看待經(jīng)典強(qiáng)度折減法安全系數(shù)定義的過(guò)程稱(chēng)為“參照邊坡”觀點(diǎn)。按照這一思想，對(duì)于符合摩爾-庫(kù)侖（Mohr-Coulomb）強(qiáng)度準(zhǔn)則的邊坡A，其參照邊坡B的抗剪強(qiáng)度可以從邊坡A按照某種方式變化過(guò)來(lái)，但變化方式不一定都是采用除以某個(gè)折減系數(shù)這個(gè)途徑，完全可以通過(guò)其他方式調(diào)整邊坡A的c 和tanφ 這兩個(gè)強(qiáng)度參數(shù)得到：

這就是雙參數(shù)的強(qiáng)度折減法。其中，k1和 k2分別為兩個(gè)強(qiáng)度參數(shù)的折減系數(shù)。至于雙折減法的安全系數(shù)的具體定義，只需要遵循式（1）的原則即可，不一定非要基于這兩個(gè)折減系數(shù)，因此也是不惟一的。

3 一種雙折減法概要

文獻(xiàn)[16]提出的雙折減法正是來(lái)自于第2節(jié)中“參照邊坡”觀點(diǎn)的指導(dǎo)。從幾何上看，經(jīng)典強(qiáng)度折減法是根據(jù)初始的Mohr-Coulomb強(qiáng)度曲線(xiàn)，去尋找一條新的強(qiáng)度曲線(xiàn)使得邊坡恰好整體失穩(wěn)，這條曲線(xiàn)，稱(chēng)為臨界強(qiáng)度曲線(xiàn)，它是參考邊坡B的強(qiáng)度性質(zhì)。這個(gè)過(guò)程在幾何上就是一個(gè)初始強(qiáng)度曲線(xiàn)在τ -σ 坐標(biāo)系中移擺的過(guò)程。在(c，tan)φ →(c′，tan φ′)過(guò)程中理論上有無(wú)窮多個(gè)路徑，但問(wèn)題的核心是尋找參照邊坡B的臨界強(qiáng)度曲線(xiàn)。當(dāng)然，為了得到這個(gè)臨界強(qiáng)度曲線(xiàn)，可以采用在(k1，k2)空間中搜索的方式得到，也可以利用其他途徑得到。一旦得到了臨界強(qiáng)度曲線(xiàn)，也自然可以反求出這對(duì)折減系數(shù)，文獻(xiàn)[16]恰是采用了后一種方法。

為了尋找這樣的臨界強(qiáng)度曲線(xiàn)，可以去尋找邊坡單元應(yīng)力圓公切線(xiàn)的方式得到。這條公切線(xiàn)應(yīng)該滿(mǎn)足兩個(gè)條件：

（1）該公切線(xiàn)對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度參數(shù)恰使邊坡臨界失穩(wěn)。

（2）該公切線(xiàn)能夠與盡量多的單元應(yīng)力圓相切，亦即更貼近盡量多數(shù)目的單元應(yīng)力圓。

我們稱(chēng)這條公切線(xiàn)為使邊坡發(fā)生臨界失穩(wěn)的那些應(yīng)力圓的“臨界最大公切線(xiàn)”，之后就需要定義和計(jì)算邊坡的安全系數(shù)，最終找到的“臨界最大公切線(xiàn)”與N 個(gè)單元的應(yīng)力圓相切，則定義邊坡的安全系數(shù)為全部公切點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的邊坡A的抗剪強(qiáng)度之和與公切點(diǎn)對(duì)應(yīng)B邊坡（參照邊坡）的臨界抗剪強(qiáng)度之和的比值[16]，即

式（5）中，分子表示全部公切點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的邊坡A的抗剪強(qiáng)度之和，分母表示公切點(diǎn)對(duì)應(yīng)B邊坡（參照邊坡）的臨界抗剪強(qiáng)度之和。

關(guān)于雙折減法的詳細(xì)過(guò)程可參見(jiàn)文獻(xiàn)[16]，此處重新闡述該方法的概要是為后續(xù)進(jìn)行安全系數(shù)的比較做準(zhǔn)備。

4 兩類(lèi)折減法安全系數(shù)的比較

4.1 一個(gè)單元上的充分必要條件

文獻(xiàn)[16]提出了材料點(diǎn)上的安全系數(shù)，或點(diǎn)安全系數(shù)。對(duì)于常應(yīng)變單元，它就是單元安全系數(shù)。在應(yīng)力圓上單元安全系數(shù)是指應(yīng)力圓上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的抗剪強(qiáng)度與該點(diǎn)剪切應(yīng)力比值中最小的那個(gè)，如圖1中的點(diǎn)F。

圖1 一個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力圓，Mohr-Coulomb強(qiáng)度線(xiàn)以及點(diǎn)安全系數(shù)[16]Fig.1 Stress circle at a material point，strength line and material safety factor

為了比較經(jīng)典強(qiáng)度折減法與雙折減法安全系數(shù)的關(guān)系，先提出在一個(gè)單元上使用雙折減法時(shí)的充分、必要條件。

（1）充分條件

如果在一個(gè)單元上使用雙折減法，折減系數(shù)分別為k1、k2，并且最終使單元失穩(wěn)的臨界強(qiáng)度曲線(xiàn)是過(guò)F 點(diǎn)的切線(xiàn)，那么必有 k1=k2，即找到這條臨界強(qiáng)度曲線(xiàn)的折減法一定是經(jīng)典強(qiáng)度折減法。

（2）必要條件

對(duì)于初始的材料強(qiáng)度曲線(xiàn)，如果用相等的折減系數(shù)k1、k2，即采用經(jīng)典強(qiáng)度折減法去尋找與單元應(yīng)力圓相切的臨界失穩(wěn)強(qiáng)度曲線(xiàn)，那么切點(diǎn)也一定是點(diǎn)F，即在應(yīng)力圓上對(duì)應(yīng)的抗剪強(qiáng)度與該點(diǎn)剪切應(yīng)力比值中最小的那個(gè)點(diǎn)。

4.2 用雙折減法實(shí)現(xiàn)經(jīng)典強(qiáng)度折減法

經(jīng)典強(qiáng)度折減法和雙折減法定義安全系數(shù)都符合我們的參照邊坡思想。但經(jīng)典強(qiáng)度折減法尋找臨界強(qiáng)度曲線(xiàn)的方法是不斷試探折減系數(shù)，而雙折減法則是尋找使得邊坡臨界失穩(wěn)的最大公切線(xiàn)，即用公切線(xiàn)單元的搜索代替了單一折減系數(shù)的搜索。為了定量比較兩個(gè)折減法所得安全系數(shù)的大小，必須用同一套流程來(lái)闡述這兩種方法。事實(shí)上，可以用雙折減法的思路來(lái)重新闡釋經(jīng)典強(qiáng)度折減法。

經(jīng)典強(qiáng)度折減法不斷試探單一的折減系數(shù)，在幾何上也正是去尋找參照邊坡的臨界強(qiáng)度曲線(xiàn)。對(duì)于一個(gè)包含多于兩個(gè)單元的邊坡網(wǎng)格，可以這樣設(shè)想：根據(jù)4.1節(jié)的充分必要條件，在強(qiáng)度折減過(guò)程中，每一次折減后的有限元計(jì)算，總是得到一個(gè)新的強(qiáng)度曲線(xiàn)，這個(gè)強(qiáng)度曲線(xiàn)總是有一個(gè)應(yīng)力圓和它相切于點(diǎn)F。當(dāng)折減系數(shù)對(duì)應(yīng)的臨界強(qiáng)度曲線(xiàn)恰好使邊坡臨界失穩(wěn)時(shí)，也會(huì)有一個(gè)應(yīng)力圓恰好與該臨界強(qiáng)度曲線(xiàn)相切于點(diǎn)F。全部折減過(guò)程對(duì)應(yīng)的應(yīng)力圓點(diǎn)F 組成一個(gè)集合。因此，經(jīng)典強(qiáng)度折減法搜索臨界折減系數(shù)的過(guò)程也可以看作從這個(gè)切點(diǎn)F 集合對(duì)應(yīng)的單元集合中搜索出那個(gè)關(guān)鍵的單元。

當(dāng)邊坡做了有限元初始化計(jì)算以后，每個(gè)單元都存在一個(gè)應(yīng)力圓，這個(gè)應(yīng)力圓的集合就可以作為搜索上述關(guān)鍵單元的集合。具體的計(jì)算過(guò)程如下：

（1）用邊坡的材料參數(shù)進(jìn)行初始化計(jì)算，得到初始化應(yīng)力場(chǎng)等，可以采用FEM或FLAC程序。

（2）計(jì)算每個(gè)單元的單元安全系數(shù)。將這些單元按照其安全系數(shù)的升序排列，形成的有序單元集合記為E。

（3）在集合E 內(nèi)循環(huán)，搜索出點(diǎn)F 的切線(xiàn)，恰好使邊坡整體失穩(wěn)的單元，則這個(gè)過(guò)點(diǎn)F 的切線(xiàn)就是臨界強(qiáng)度曲線(xiàn)。

（4）計(jì)算邊坡安全系數(shù)，即折減前后兩條強(qiáng)度曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)抗剪強(qiáng)度的比值，也就是該切點(diǎn)的單元安全系數(shù)。

4.3 兩種折減法安全系數(shù)的比較

至此可知，經(jīng)典強(qiáng)度折減法和雙折減法兩個(gè)計(jì)算流程的核心都是搜索一個(gè)臨界強(qiáng)度曲線(xiàn)，并且都在相同的網(wǎng)格單元和初始化應(yīng)力上進(jìn)行。搜索過(guò)程主要有兩個(gè)差別：①二者搜索的單元集不同，經(jīng)典折減法只要搜索到一個(gè)單元即可，而雙折減法則要搜索到最大公切單元；②安全系數(shù)的定義不同。

在經(jīng)典強(qiáng)度折減法中，當(dāng)一個(gè)單元屈服，并且過(guò)其點(diǎn)F 的切線(xiàn)恰好使邊坡整體屈服時(shí)，那么所有比該單元安全系數(shù)更小的單元，必然已經(jīng)屈服。在幾何上，這些具有較小安全系數(shù)的單元必然與待搜索的強(qiáng)度曲線(xiàn)相割。設(shè)邊坡剖分的單元數(shù)目為n，在進(jìn)行數(shù)值計(jì)算后，其每個(gè)單元按照單元安全系數(shù)的升序排列為集合Y=｛Y1，Y2，…， Yn｝， Yi表示第i 個(gè)單元。設(shè)臨界強(qiáng)度線(xiàn)恰好與單元Ym相切，因而與1Y～Ym1-這些單元相割。而在雙折減法中，同樣的單元集Y，擬搜索的臨界強(qiáng)度曲線(xiàn)不僅與其中至少兩個(gè)單元相切（兩個(gè)單元的公切線(xiàn)），而且被要求與盡量多的單元相切（最大公切線(xiàn)）。

設(shè)雙折減法中用到的單元集中，單元安全系數(shù)最大的那個(gè)單元為Yg，可以證明下面命題成立：若有g(shù) ≤ m，用同一套網(wǎng)格和初始化應(yīng)力，雙折減法安全系數(shù) Fsd總是小于經(jīng)典折減法安全系數(shù) Fsc，即Fsd＜ Fsc。

首先，證明g=m 時(shí)命題成立。

圖2是邊坡應(yīng)力Mohr圓和強(qiáng)度曲線(xiàn)S1，實(shí)線(xiàn)應(yīng)力圓表示進(jìn)行一次穩(wěn)定計(jì)算得到全部單元的應(yīng)力狀態(tài)（因篇幅所限，只繪出一部分），并且這些應(yīng)力圓被按照其單元安全系數(shù)從小到大排列（C1～Cm）。設(shè)用雙折減法得到的臨界強(qiáng)度曲線(xiàn)為直線(xiàn) t1，為了敘述簡(jiǎn)便，在不引起歧義時(shí)，它與應(yīng)力圓C1～Cm的切點(diǎn)仍然記為 C1～ Cm（圖中淺色點(diǎn)）。實(shí)心應(yīng)力圓上的黑點(diǎn)B1～Bm則是這些應(yīng)力圓上的最小安全系數(shù)點(diǎn)。

根據(jù)單元安全系數(shù)的定義，應(yīng)力圓 Cm對(duì)應(yīng)的單元安全系數(shù)為

圖2 用于兩種方法安全系數(shù)比較的單元應(yīng)力狀態(tài)Fig.2 Stress circles used to determine the FOSs by SRM and DRM

對(duì)于經(jīng)典強(qiáng)度折減法，設(shè)應(yīng)力圓 Cm恰是搜索到的使邊坡發(fā)生整體失穩(wěn)的那個(gè)單元的應(yīng)力狀態(tài)。繪一條切應(yīng)力圓 Cm于Bm的切線(xiàn) t2，該切線(xiàn)的縱截距必然大于0（小于或等于0的在搜索過(guò)程中已被排除）。然后在實(shí)線(xiàn)應(yīng)力圓對(duì)應(yīng)處總是可繪出與 t2相切的應(yīng)力圓（圖中的虛線(xiàn)應(yīng)力圓R1～Ri），這些應(yīng)力圓數(shù)目與實(shí)心應(yīng)力圓數(shù)目相等。根據(jù)4.1節(jié)的充分必要條件，這些虛線(xiàn)應(yīng)力圓的單元安全系數(shù)都等于mR（即 Cm）的單元安全系數(shù)，也就是經(jīng)典折減法對(duì)應(yīng)的邊坡安全系數(shù)，即

從式（7）有下式成立：

由于單元C1～ Cm已經(jīng)按其單元安全系數(shù)從小到大排列，故有

根據(jù)雙折減法安全系數(shù)的定義式（5），有

根據(jù)式（9），有

由式（7）、（10）、（11），得

至此，證明了g=m 時(shí)雙折減法的安全系數(shù)總是小于經(jīng)典折減法的安全系數(shù)。

再來(lái)看g ＜m 時(shí)的情形。

從式（7）仍然有下式成立：

因此，有

命題仍然成立。

但當(dāng)g ＞m 時(shí)，嚴(yán)格給出兩個(gè)安全系數(shù)的關(guān)系較為困難，需要進(jìn)一步的研究工作。

5 算 例

文獻(xiàn)[16]曾給出兩個(gè)邊坡算例（圖3），初步實(shí)證了雙折減法與經(jīng)典強(qiáng)度折減法安全系數(shù)的關(guān)系。兩個(gè)邊坡的材料參數(shù)完全相同（見(jiàn)表1），只是坡角不同，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

圖3 兩個(gè)邊坡的幾何構(gòu)形Fig.3 Initial configurations of two slopes

表1 邊坡材料參數(shù)Fig.1 Material parameters

表2 邊坡安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果Table 2 FOSs from two methods

本文增加兩個(gè)算例，以進(jìn)一步證實(shí)第4節(jié)中雙折減法與經(jīng)典折減法安全系數(shù)的大小關(guān)系。我們?nèi)匀恢挥懻摪踩禂?shù)大于1.0的穩(wěn)定邊坡?；颈３衷憷牟牧蠀?shù)，新設(shè)置兩個(gè)坡角，邊坡構(gòu)形見(jiàn)圖4。具體模擬參數(shù)見(jiàn)表3，安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4。

圖4 新增兩個(gè)算例邊坡的幾何構(gòu)形Fig.4 Initial configurations of two new slopes

表3 新增算例邊坡材料參數(shù)Table 3 Material parameters of new example

從上述4個(gè)算例結(jié)果可以看出，文獻(xiàn)[16]所提的雙折減法的安全系數(shù)都比經(jīng)典SRM法小，這實(shí)證了本文的理論比較結(jié)果。

6 討論

在4.2節(jié)中，將經(jīng)典強(qiáng)度折減法搜索折減系數(shù)（亦即該法的安全系數(shù)）的過(guò)程闡釋為尋找臨界單元安全系數(shù)的過(guò)程，認(rèn)為二者是等價(jià)的。但折減系數(shù)屬于連續(xù)實(shí)數(shù)區(qū)間，而尋找臨界單元?jiǎng)t是在邊坡有限個(gè)單元的集合上進(jìn)行的，該集合中的全體單元安全系數(shù)不僅是不連續(xù)的，而且其范圍也可能與折減系數(shù)的搜索范圍不一致。這是將經(jīng)典折減法納入雙折減法框架產(chǎn)生的主要差別。

一般而言，對(duì)于實(shí)際邊坡劃分的單元數(shù)目巨大，單元安全系數(shù)之間必然十分稠密，并且這些單元安全系數(shù)的覆蓋范圍也容易接近折減系數(shù)的搜索范圍。因此，從近似計(jì)算和實(shí)用的角度，筆者認(rèn)為，采用邊坡包含有限個(gè)離散元素的單元安全系數(shù)集作為搜索范圍是可接受的。

7 結(jié)論

（1）本文提出定義安全系數(shù)的“參照邊坡”觀點(diǎn)，為雙折減法建立了理論依據(jù)。這進(jìn)一步導(dǎo)致了邊坡安全系數(shù)定義的新體系。經(jīng)典強(qiáng)度折減法中安全系數(shù)的實(shí)質(zhì)是基于強(qiáng)度儲(chǔ)備的安全系數(shù)定義，而本文的“參照邊坡”觀點(diǎn)引出的安全系數(shù)定義，我們將其稱(chēng)為“基于參照邊坡的安全系數(shù)定義”。

（2）基于上述思想的安全系數(shù)的具體定義不是惟一的。本文介紹了文獻(xiàn)[16]基于這一思想給出的一個(gè)具體的安全系數(shù)的定義。

（3）經(jīng)典強(qiáng)度折減通過(guò)折減強(qiáng)度值進(jìn)而導(dǎo)致對(duì)強(qiáng)度（準(zhǔn)則）中各參數(shù)的等比例折減，即只有一個(gè)相同的折減系數(shù)，因此，的確“名副其實(shí)”——強(qiáng)度折減法；而本文的雙折減法，出發(fā)點(diǎn)是折減強(qiáng)度準(zhǔn)則中的參數(shù)，從而間接折減了強(qiáng)度值，因此，確切而言，筆者所開(kāi)發(fā)的雙折減法應(yīng)是一種“參數(shù)折減法”。顯然，按照這一思想，折減的參數(shù)的數(shù)目可能是兩個(gè)，也可能是多個(gè)，這取決于所選擇的強(qiáng)度準(zhǔn)則。

（4）闡釋了強(qiáng)度折減法求解安全系數(shù)的本質(zhì)，給出了其幾何意義，介紹了雙折減法的實(shí)施流程，并且將經(jīng)典折減法納入雙折減法。

（5）從理論上比較了經(jīng)典強(qiáng)度折減法與所提出的雙折減法安全系數(shù)的關(guān)系，即證明了如下命題：對(duì)于用同一套網(wǎng)格和初始化應(yīng)力的邊坡，按單元安全系數(shù)升序排成有序集合，若用于雙折減法安全系數(shù)計(jì)算的單元，在集合中的序號(hào)g 小于或等于用于經(jīng)典折減法計(jì)算的單元在其中的序號(hào)m，則雙折減法安全系數(shù) Fsd與經(jīng)典折減法安全系數(shù) Fsc的關(guān)系為：Fsd＜ Fsc。

（6）對(duì)坡角分別大于或小于45°的4個(gè)邊坡進(jìn)行了分析計(jì)算，得到的雙折減安全系數(shù)均小于經(jīng)典折減法，佐證了結(jié)論（5）。

（7）經(jīng)典強(qiáng)度折減法安全系數(shù)可能高估了邊坡的安全系數(shù)，雙折減法及其安全系數(shù)可作為邊坡分析的一個(gè)新的選項(xiàng)。

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