編者按

特級教師，可謂大家公認的“好老師”。一個學生、一個班級能有特級教師來任課，無疑是幸運的。本刊特設(shè)此專欄，將特級教師的“三尺講臺”設(shè)立在此，就是希望通過特級教師的講學，帶動廣大教師的專業(yè)提升，讓所有的學生、所有的班級，都能幸運地享受高水平的教學。

另外，各位讀者可就每期主講特級教師的講解內(nèi)容開展討論。我刊《互動問答》專欄將刊出讀者的提問、討論等內(nèi)容，以進一步開拓與大家的互動研討，支持大家的專業(yè)發(fā)展。

本期主講特級教師

俞正強，浙江省小學數(shù)學特級教師，北京師范大學教育家書院首屆兼職研究員，浙江師范大學碩士生導師，浙江省金華市環(huán)城小學校長。

平均數(shù)，在學生的數(shù)感發(fā)展中具有非常重要的地位。在學習平均數(shù)之前，學生所接觸的數(shù)都對應(yīng)著物品，具有實在性，而平均數(shù)則既可能是一組數(shù)中現(xiàn)成存在的，也可能是一組數(shù)中不存在的。它反映的不是物的多少，而是一組數(shù)的整體水平。這種發(fā)展，對學生的數(shù)感成長而言，其意義是非常重要的。也因此，在小學數(shù)學界，我們一直將平均數(shù)的認識作為一節(jié)重要的課題，加以研究。

目前教材中，不論哪個版本，基本上會用以下的素材來開展平均數(shù)的學習：

問：兩個隊，哪個隊的水平比較高？或選哪個隊代表班級去比賽？

教材用這一材料或類似材料，是基于以下對學生關(guān)于比較的發(fā)展水平的認識：

第一：一對一比，比大小。如甲8個，乙6個。8>6

第二：多對等多比，比總數(shù)。如甲8個和7個，乙6個和9個。8﹢7=6﹢9

第三：多對不等多比，比平均數(shù)。比如前面書中的例題。

對這個過程的認識無疑是正確的。但有一個問題很致命，即在此一問題情境下，平均數(shù)是用來解決問題的。即軍隊若要打100千米以內(nèi)的目標，可以用炮，但打1000千米的目標，則需要用導彈。但在用導彈之前，我們應(yīng)該先有導彈，即武器庫內(nèi)應(yīng)儲存導彈才能用導彈，不可能在用導彈中制造出導彈。

也就是說，學生在用平均數(shù)來解決遇到的因人數(shù)不等而不能用總數(shù)解決的問題時，他們的知識儲備中應(yīng)該已經(jīng)有了平均數(shù)的認識。

為此，我在帶領(lǐng)學生學習平均數(shù)的認識時，先用了以下這份材料。

材料：

二年級小朋友丁丁，60米跑了5次，測得時間分別是：

15秒 ? 14秒 ? 12秒 ? 10秒 ? 14秒

第二天他向老師匯報：

60米我要跑 ?15 ?秒

老師一問：丁丁為什么填了15秒，卻把15又劃去呢？

學生討論：15秒是他跑得最慢一次，他不甘心，就劃去了。

老師出示材料：60米我要跑 ?15 ?秒

10 ?秒

老師二問：丁丁填了10秒，又為什么劃去呢？

學生討論：10秒是他跑得最快的一次，他沒有把握一定跑出來，不好意思填10秒。

老師三問：對，寫15秒太慢不甘心，10秒太快不好意思寫，你覺得丁丁會填幾秒呢？

學生討論：12秒 偏快

14秒 偏慢

13秒 不快不慢

但沒有跑出來過

課堂討論進行至此，關(guān)于平均數(shù)的兩個理解要點已經(jīng)出來了。

要點一：13秒表示水平正好，不慢不快。

這是學生支持的理由，說明他們完全理解平均數(shù)用來代表一組數(shù)整體水平的內(nèi)涵了。

要點二：13秒，他從來沒有跑出來過，怎么能算呢？

這是學生反對的理由，說明他們尚未接納虛擬數(shù)。

由此，接下來的關(guān)鍵在于討論13秒，到底丁丁能不能填的問題了。

老師四問：13秒沒有跑出來過，那13秒怎么來的？

學生討論：①13秒在14和12的中間。

②13秒在15和10的中間。

這里已經(jīng)有了平均數(shù)的算術(shù)意義上的理解了，它是最大數(shù)與最小數(shù)之間的中間數(shù)。

老師五問：13秒最能表示丁丁的一般水平，可是卻沒有跑出來過，能填嗎？

學生討論：也許第六次就能跑出13秒??！

課堂進行到這里，小朋友都有此體會了。對啊，可以跑第六次??！同學們開始接受13秒了，意味著學生們開始接受虛擬數(shù)了。

老師六問：同學們，那么13和15、14、12、10、14這組數(shù)間有內(nèi)在聯(lián)系嗎？

學生討論：可以用移動法，移出一個“13”。

可以計算出一個“13”。

②（15+14+12+10+14）÷5=13

老師七問：剛才我們認識了平均數(shù)，那么平均數(shù)有什么用呢？能幫助我們解決什么問題呢？

接著采用教材中的例題繼續(xù)教學。

（責任編輯：林靜）