于金倩，明清河

(棗莊學(xué)院a.信息科學(xué)與工程學(xué)院;b.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東棗莊277160)

(3+1)維YTSF方程的對(duì)稱約化、精確解和守恒律

于金倩a，明清河b

(棗莊學(xué)院a.信息科學(xué)與工程學(xué)院;b.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東棗莊277160)

在本文中通過直接對(duì)稱法，得到了(3+1)維YTSF方程的對(duì)稱，群不變解，相似約化和新精確解，其中新解包括有理解，雙曲函數(shù)解和三角函數(shù)周期解.最后運(yùn)用共軛方程得到了(3+1)維YTSF方程的無窮守恒定律.

YTSF方程;直接對(duì)稱法;相似約化;精確解;守恒律①

0 引言

因?yàn)檎嬲奈锢頃r(shí)空是(3+1)維的并且有關(guān)(3+1)維可積模型的理論還沒有很充分，所以，尋找(3+1)維可積或非可積模型，并研究它們是非常重要并且有意義的.

近期，Yu et a1把Bogoyavlenskii Schif方程

擴(kuò)展成一個(gè)新的(3+1)維非線性發(fā)展方程

方程(2)被叫做(3+1)維YTSF方程，為了方便研究方程(2)，在本文中，我們做如下變換，令w=ux，可得如下方程

其中u=u(x，y，z，t)，ux=.對(duì)于方程(3)已經(jīng)有幾位作者研究過，并求得了一些行波解或精確解［1-4］.

本文的結(jié)構(gòu)如下:在第二部分列出的是方程的對(duì)稱和直接對(duì)稱方法得到的方程的群不變解.在第三部分，我們利用對(duì)稱對(duì)YTSF方程進(jìn)行約化，使其降為更低維的偏微分方程.方程的一些新的精確解在第四部分給出.第五我們給出了YTSF方程的無窮守恒律.最后部分是一個(gè)簡(jiǎn)短的總結(jié).

1 YTSF方程的對(duì)稱群和群不變解

對(duì)于一個(gè)非線性發(fā)展方程

F(t，x，y，z，u，ux，....)=0，(4)

如果函數(shù)σ滿足

F'(u)σ=0，(5)

則稱函數(shù)σ為方程(4)的一個(gè)對(duì)稱.對(duì)于方程(4)的所有解u，滿足下式

由方程(5)可得方程(3)的對(duì)稱滿足下式

-σtx+σxxxz+4σxuxz+4uxσxz+2σxxuz+2uxxσz+3σyy=0.(6)

令σ=aut+bux+cuy+duz+eu+k，(7)

其中a，b，c，d，e和k是x，y，z和t的函數(shù).

把(7)代入(6)，我們可以得到一些決定方程，解這些決定方程我們可得到

由方程(8)，我們可得到方程(3)的對(duì)稱如下:

其中ci(i=1，2，3)是任意常數(shù)，F(xiàn)i(i=1，2，3，4，5)是關(guān)于t的任意函數(shù).

為了能從已知解得到新解，我們需要從相關(guān)的對(duì)稱中找到李對(duì)稱群，由微分方程組

得到李對(duì)稱群，其中ε是一個(gè)參數(shù).這樣我們就可以得到由Vi所產(chǎn)生的一組參數(shù)群Gi形式如下:

根據(jù)參數(shù)群，我們可以得到方程(3)的不變?nèi)喝缦?

其中ε是一個(gè)參數(shù)，f(t，x，y，z)是方程(3)的解.

2 YTSF方程的對(duì)稱約化

為了求出方程(3)的相似約化和精確解，利用方程(3)和σ=0的相容性，可得方程(3)的對(duì)稱所對(duì)應(yīng)的特征方程如下:

運(yùn)用方程(10)，我們可尋求方程(3)的對(duì)稱約化和相似解，考慮如下情況:

情況(1)c1=1，ci=0，F(xiàn)j=0，(i=2，3，j=1，..5)

則σ=tut-xux+3zuz-u，解偏微分方程σ=0，得

u=U(ξ，η，τ)t，其中ξ=xt，η=y，τ=zt-3，

將其代入方程(3)，得到約化方程如下:

3τUξτ-ξUξξ-2Uξ+Uξξξτ+2UξξUτ+4UξUξτ+3Uηη=0(11)

情況(2)c3=1，ci=0，F(xiàn)j=0，(i=1，3，j=1，..5)

在這種情況下，得到方程(3)的解u如下

u=U(ξ，η，τ)y-2，ξ=xy-2，η=zy4，τ=t且U(ξ，η，τ)滿足

Uξξξη-Uξτ+4UξUξη+2UξξUη+12ξUξξ-48ξηUξη+42ξUξ+48η2Uηη-12ηUη+18U=0 (12)

情況(3)F1≠0，F(xiàn)i=0，cj=0，(i=2，3，4，5，i=1，2，3)

得到解u的表達(dá)式如下:

情況(4)F2≠0，F(xiàn)i=0，cj=0，(i=1，3，4，5，i=1，2，3)

由σ=0，得到方程(3)的相似解如下:

其中ξ=x，η=y，τ=t，將其代入方程(3)，可得約化方程為

情況(5)F3≠0，F(xiàn)i=0，cj=0，(i=1，2，4，5，i=1，2，3)

在這種情況下，可得

情況(6)c2≠0，F(xiàn)3≠0，F(xiàn)4≠0，F(xiàn)5≠0，c1=c3=F1=F2=0

在這種情況下，可得群不變解ξ，η，τ和解u的形式如下:

代入方程(3)，可得約化方程

Uξξξτ+4UξUξτ+2UξξUτ+3Uηη=0(16)

情況(7)c1≠0，F(xiàn)4≠0，F(xiàn)5≠0，c2=c3=F1=F2=F3=0

在這種情況下，可得群不變解ξ，η，τ和解u的形式如下:

代入方程(3)，可得約化方程

2Uξ-ξUξξ+3τUξτ+UUξξξτ+4UξUξτ+2UξξUτ+3Uηη=0(17)

情況(8)c2≠0，c3≠0，c1=Fi=0，(i=1，...，5)

在這種情況下，可得群不變解ξ，η，τ和解u的形式如下:

代入方程(3)，可得約化方程

4c3Uξ+2c3ξUξξ+c3ηUξη-4c3τUξτ+c2Uξξξτ+4c2UξUξτ+2c2UξξUτ+3c2Uηη=0 (18)

情況(9)F1(t)=b，F(xiàn)2(t)=c，F(xiàn)3(t)=a，F(xiàn)5(t)≠0，c1=c2=c3=0

在這種情況下，可得群不變解ξ，η，τ和解u的形式如下:

代入方程(3)，可得約化方程

3 YTSF方程的精確解

由于求解(3+1)維偏微分方程是很困難的，我們可以通過尋求約化方程的解來求得原方程的解.在這一部分，我們考慮情況(6)和(9)，通過求解情況(6)和(9)的約化方程，得到原方程的新精確解.

3.1約化方程為Uξξξτ+4UξUξτ+2UξξUτ+3Uηη=0時(shí).

作變換δ=kξ+lη+mτ，其中k，l，m是任意常數(shù)，通過對(duì)δ積分兩次方程(16)可寫成如下形式:

令U'=f，則方程(20)變?yōu)?/p>

其中k3=-，k2=-，k1和k0是可積常數(shù).

(I)當(dāng)k0=k1=0，k2＞0時(shí)，方程(21)有種鐘形孤立子解

f=-，于是可得U=-+C0，

則方程(3)的解為

其中k3=-，k2=-，C0為可積常數(shù).

(II)當(dāng)k0=k1=0，k2＜0時(shí)，方程(21)有種三角函數(shù)解

此時(shí)方程(3)的解為

其中k3=-，k2=-，C1是一個(gè)可積常數(shù).

(III)當(dāng)k0=k1=k2=0時(shí)，方程(21)有種有理解

可得方程(3)的解如下

其中k3=-，C2是一個(gè)可積常數(shù).

(IV)當(dāng)k2=0，k3＞0時(shí)，方程(21)有Weierstrass橢圓函數(shù)雙周期解f=(δ，g2，g3)，可得U=(δ，g2，g3)dδ+C3，

可得方程(3)的解如下

其中δ=kξ+lη+mτ，g2=-，g

3=-，C3為可積常數(shù).

1.因此方程(22)具有下述形式的解，

其中G(δ)滿足下面的二階線性常微分方程

G″(δ)+λG'(δ)+μG(δ)=0，(24)

a1=2k，其中a0為任意常數(shù).

通過方程(19)和(23)，我們可以得到方程(3)的三種類型的行波解

4 YTSF方程的守恒律

在本節(jié)，我們將通過YTSF方程的共軛方程和對(duì)稱來研究它的守恒律，共軛方程有下述形式

F=2vxxuz+4vxuxz-vxt+4vxzux+2vzuxx+3vyy+vxxxz=0(25)

拉氏量函數(shù)L=v(-uxt+uxxxz+4uxuxz+2uxxuz+3uyy)

=vxut-vzuxxx-4vxuxuz-2vuxxuz+3vuyy

定理1每個(gè)李點(diǎn)對(duì)稱，李貝克隆變換和方程(3)的對(duì)稱都給出了(3)和共軛方程的一個(gè)守恒律.并且守恒向量(C1，C2，C3，C4)由下式表達(dá)式確定

利用定理1和公式(26)，計(jì)算方程的守恒律可得

C1=3vtuyy-tvzuxxx-4tvxuxuz-2tvuxxuz-uvx-xuxvx-yuyvx+zuzvy

C2=(u+tut+xux+yuy-zuz)(2vxuz-2vuxz+vxxz)+vz(3uxx+tuxxt+xuxxx+yuxxy-zuxxz)-(vxz-2vuz)(2ux+tuxt+xuxx+yuxy-zuxz)+(v-tvt-xvx-yvy+zvz)(ut-4uxuz)

C3=3vy(u+tut+xux+yuy-zuz)-3v(2uy+tuty+xuxy+yuyy-zuzy)

C4=(4vxux+2vuxx)(u+tut+xux+yuy-zuz)+uxxx(v+tvt+xvx+yvy-zvz)

其中Dt(C1)+Dx(C2)+Dy(C3)+Dz(C4)=0.

5 結(jié)論

本文通過直接對(duì)稱法，得到了YTSF方程的對(duì)稱，同時(shí)獲得了群不變解，相似約化.并通過求解約化方程，得到原方程的一些新的精確解.最后利用對(duì)稱和共軛方程得到Y(jié)TSF方程的無窮多守恒律.

［1］Wazwaz.A.M.Multiple-soliton solutions for the Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff，Jimbo-Miwa and YTSFequations［J］，Applied Mathematics and Computation，2008，203:592-597.

［2］Zhang T.X，Xuan H.N，Zhang D.F.Non-travelling solutions to a(3+1)-dimensional potential-YTSF equation and a simplified model for reacting mixturea［J］.Chaos.Solitions and Fractals，2007，34:1006-1013.

［3］趙展輝，何曉瑩，韓松.(3+1)維YTSF方程的對(duì)稱約化及精確非行波解［J］.西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，48(6):36-43.

［4］an.Z.Y.New families of non-travelling wave solutions to a new(3+1)-dimensional potential-YTSF equation［J］.PhysICS.Letters A.2003，318:78-83.

［責(zé)任編輯:閆昕］

Symmetry Reductions，Exact Solutions and Conservation Laws to (3+1)-Dimensional YTSF Equation

YU Jin-qiana，MING Qing-heb
(a.College of Information Science and Engineering，b.School of Mathematics and Statistics，Zaozhuang University，Zaozhuang 277160，China)

In this paper，we obtain symmetries，group invariant solutions，similarity reductions and new exact solutions to the (3+1)-dimensional YTSF equation by using direct symmetry method，including rational solutions，hyperbolic function solutions，and triangular periodic solutions.We also find infinite conservation laws of the(3+1)-dimensional YTSF equation by applied adjoint equation.

YTSF equation;direct symmetry method;similarity reductions;exact solutions;conservation laws

O175.29

A

1004-7077(2015)02-0049-06

2015-01-10

國家自然科學(xué)基金(項(xiàng)目編號(hào):11101357);山東省自然科學(xué)基金(項(xiàng)目編號(hào):ZR2011AL006).

于金倩(1985-)，女，山東聊城人，棗莊學(xué)院信息科學(xué)與工程學(xué)院助教，理學(xué)碩士，主要從事偏微分方程發(fā)展及應(yīng)用的研究.明清河(1964-)，男，山東滕州人，棗莊學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授，主要從事數(shù)學(xué)方法論、非線性規(guī)劃的研究.