李紅菊，丁 健

(安徽新華學院公共課教學部，合肥230088)

0 引言

極限理論是微積分學說的基礎，求函數(shù)的極限也是學生學習中常見的一類題型，其方法是多樣的，而等價代換就是眾多方法中最有效的一種。1986年，鄒兆南［2］引入了無窮大階的概念，討論了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的無窮大的階，證明了無窮大的運算法則和在乘除運算中的等價替換定理，此后等價無窮大量的應用受到眾多學者的關注，尤其是利用等價無窮大量代換求極限［3-10］，這是因為一方面等價無窮大量代換可達到簡化極限運算的目的，但另一方面該方法也很容易導致出錯。2009年，鄭婕［6］系統(tǒng)的研究了等價無窮大量在極限運算中的四則運算和乘方運算的條件和結論，文中對于加法運算的結論為:設α(x)、α1(x)、β(x)、β1(x)皆為1時的無窮大量，且1，1，若1存在且不等于1，則α(x)-β(x)～ α1(x)-β1(x)?(x→x0)。展丙軍［7］等人討論了無窮大量的比較，定義了高階無窮大量、低階大量和(A≠1)階無窮大量等概念，并舉例討論了其在級數(shù)斂散性判定中的應用;李昌文［8］等人討論了等價無窮小量和等價無窮大量的一個誤區(qū);孫衛(wèi)衛(wèi)［1］等人闡述了等價無窮大量在(A≠1)、(A≠1)、(A≠1)、(A≠1)和(A≠1)型未定式的計算中等價代換的條件，并將文獻［6］中的減法運算推廣至在某個極限過程中(A≠1)(A≠1)或為無窮大的情形。大量的文章研究了極限運算中等價無窮大量的乘除運算，而加減運算研究的較少。本文主要研究在某個自變量的變化過程中時等價無窮大量的減法運算，得到了該條件下無窮大量等價代換的一個充分條件，豐富和完善了無窮大量的等價代換理論。

1 預備知識

定義1［7］設函數(shù)f(x)和g(x)是在自變量的某個變化過程中的無窮大量，且也是在這個變化過程中的極限。

注2:定義2中自變量的變化過程也可以為x→-∞和x→+∞。

為了敘述的方便，已以下皆假設x→x0是大于零的常數(shù)。

2 主要結論

由定義1和定義2易得性質1。

性質1若在x→x0時rank［f(x)］=k，則在x→x0時x→∞是關于x→∞的同階無窮大量;若在x→∞時rank［f(x)］=k，則在x→∞時xk是關于xk的同階無窮大量。

性質2若在自變量的同一變化過程中，rank［f1(x)］=k1＞0且 rank［f2(x)］=k2＞0，則rank［f1(x)f2(x)］=k1+k2。

證明:假設 x→ x0時 rank［f1(x)］=k1且 rank［f2(x)］=k2，則

rank［f1(x)f2(x)］，rank［f1(x)f2(x)］。

所以 rank［f1(x)f2(x)］，

即rank［f1(x)f2(x)］=k1+k2。在自變量的其它變化過程中的結論可類似證明。

性質3 若在自變量的同一變化過程中，rank［f1(x)］=k1＞0且 rank［f2(x)］=+∞，則rank［f1(x)f2(x)］=+ ∞。

性質6若f1(x)和f2(x)是在自變量的同一變化過程中的兩個無窮大量，則

證明:假設該極限過程為 x→x0.若rank［f1(x)］=+∞或rank［f2(x)］=+∞，結論顯然成立;現(xiàn)假設rank［f1(x)］=k1且 rank［f2(x)］=k2，則，則A必為常值，所以rank［f1(x)-f2(x)］≤k1.在自變量的其它變化過程中的結論可類似證明。

在文獻［1］和文獻［3］研究的基礎上，本文僅研究等價無窮大量在極限減法運算中的如下情形。

定理2設在自變量的某個變化過程中，函數(shù) γ(x)、γ(x)、γ(x)、γ(x)、γ(x)皆是無窮大量且rank［α(x)- α1(x)］ ＜ rank［γ(x)］。若 rank［α(x)- α1(x)］ ＜ rank［γ(x)］且 rank［β(x)- β1(x)］ ＜rank［γ(x)］，則

證明:若 rank［α(x)- α1(x)］＜ rank［γ(x)］且 rank［β(x)- β1(x)］＜ rank［γ(x)］，則由性質4 和性質5可知，所以由定理1可知結論成立。

3 應用舉例

4 結語

本文在無窮大量階的概念的基礎上，得到了極限運算中等價無窮大量加減運算的一個新的充分條件，豐富和完善了無窮大量的等價代換理論，但是如何確定無窮大等價代換后誤差的階，還沒有特別好的辦法，值得進一步的研究。

［1］ 孫衛(wèi)衛(wèi)，孫建英.等價無窮大在未定式計算中的應用［J］.哈爾濱師范大學自然科學學報，2014，30(3):69-72.

［2］ 鄒兆南.無窮大的階及其運算法則［J］.重慶交通學院學報，1986，2(17):114-120.

［3］ 甘以炎.等價無窮大及其漸近表示式［J］.葛洲壩水電工程學院學報，1996，18(4):83-85.

［4］ 常庚哲.關于無窮大量的等價［J］.高等數(shù)學研究，2000，3(3):13-15.

［5］ 王梅英，陸偉東.無窮小與無窮大的階在極限運算及判級數(shù)斂散性中的應用［J］.南京審計學院學報，2007，4(2):73-76.

［6］ 鄭婕.等價代換在極限求解中的應用［J］.中國教師.高等教育，2009(1):206-207.

［7］ 展丙軍，展銘望.無窮大量的性質及妙用［J］.大慶師范學院學報，2011，31(3):67-70.

［8］ 李昌文，潘亞麗.關于無窮小與無窮大的幾個教學誤區(qū)［J］.淮北師范大學學報(自然科學版)，2013，34(4):90-93.

［9］ 劉桂仙，劉慶升.求極限的等價無窮大代換［J］.高等數(shù)學研究，2014，1(1):51-52.

［10］ 馬志良.無窮大量與無窮大量的等價［J］.數(shù)學學習與研究，2014(7):74.