閆 浩 董春曦 趙國(guó)慶

(西安電子科技大學(xué) 電子信息攻防對(duì)抗與仿真技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西 西安 710071)

引 言

線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulation, LFM)信號(hào)廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納和通信等系統(tǒng)中,LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)是電子戰(zhàn)信號(hào)處理領(lǐng)域中一個(gè)重要的問(wèn)題.在傳統(tǒng)奈奎斯特采樣框架下,國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了很多LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)的方法,有基于最大似然[1]、短時(shí)Fourier變換和小波變換[2]、Wigner-Ville分布[3]、Radon-Wigner變換[4]、Randon-Ambiguity變換[5]和分?jǐn)?shù)階Fourier變換[6](Fractional Fourier Transform, FrFT)等方法.以上的方法都存在一個(gè)問(wèn)題,就是在奈奎斯特采樣框架下,隨著LFM信號(hào)帶寬不斷增大,對(duì)信號(hào)的采樣頻率也越來(lái)越高,這給戰(zhàn)場(chǎng)中用于信號(hào)采集、傳輸和處理的硬件系統(tǒng)造成極大壓力.雖然國(guó)內(nèi)學(xué)者提出的欠采樣結(jié)合解線性調(diào)頻的方法[7],對(duì)采樣頻率的要求降低了,但存在頻率模糊問(wèn)題,需要在后續(xù)進(jìn)行解模糊的處理[8].因此,如何尋找一種新的信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法來(lái)降低LFM信號(hào)帶寬過(guò)寬對(duì)采樣系統(tǒng)造成的壓力是目前亟待解決的問(wèn)題.

壓縮感知(Compressed Sensing, CS)[9-11]理論的提出給LFM信號(hào)處理問(wèn)題帶來(lái)了新的思路,以往在應(yīng)用CS理論進(jìn)行信號(hào)處理時(shí),大多是以精確重構(gòu)信號(hào)為目的,然而在應(yīng)用CS理論進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)時(shí),可以在不完全重構(gòu)信號(hào)的情況下,達(dá)到信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)的目的[12-15].文獻(xiàn)[16]構(gòu)造波形匹配字典,達(dá)到LFM信號(hào)檢測(cè)的目的,但是在沒(méi)有先驗(yàn)知識(shí)的情況下,構(gòu)造字典的參數(shù)不易選取,而且字典原子數(shù)目過(guò)于龐大,在利用優(yōu)化算法恢復(fù)信號(hào)時(shí),每次都要在所有原子中遍歷,算法計(jì)算量過(guò)大,并且在強(qiáng)窄帶干擾情況下,信號(hào)檢測(cè)成功率不高.文獻(xiàn)[17]提出的方法可以在強(qiáng)窄帶干擾下估計(jì)LFM信號(hào)調(diào)頻斜率,但同樣是根據(jù)信號(hào)波形構(gòu)造冗余字典,而且沒(méi)有考慮調(diào)頻斜率與起始頻率的聯(lián)合估計(jì)問(wèn)題.文獻(xiàn)[18]利用LFM信號(hào)在時(shí)頻域的稀疏性,通過(guò)重構(gòu)信號(hào)的短時(shí)Fourier變換,對(duì)信號(hào)調(diào)頻斜率進(jìn)行估計(jì),但同樣不能估計(jì)信號(hào)的起始頻率.

文中利用LFM信號(hào)在FrFT域的稀疏性,提出了一種基于CS的FrFT域LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法.首先構(gòu)造Fourier變換矩陣,作為信號(hào)稀疏分解的字典,對(duì)窄帶干擾信號(hào)進(jìn)行抑制;然后利用LFM信號(hào)在最佳FrFT域中具有能量聚集的特性,對(duì)變換階次p進(jìn)行搜索,構(gòu)造各個(gè)階次的FrFT矩陣,通過(guò)恢復(fù)算法得到信號(hào)在各個(gè)階次FrFT矩陣中的系數(shù)向量;最后通過(guò)二維搜索,得到最佳變換階次,進(jìn)而得到LFM信號(hào)的調(diào)頻斜率和起始頻率的估計(jì).該算法用于參數(shù)估計(jì)的壓縮采樣點(diǎn)數(shù)遠(yuǎn)低于奈奎斯特框架下的采樣點(diǎn)數(shù),能夠減輕戰(zhàn)場(chǎng)中信號(hào)采樣系統(tǒng)的負(fù)擔(dān),降低功耗和成本,緩解數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和傳輸?shù)膲毫?提高戰(zhàn)場(chǎng)信息傳輸?shù)膶?shí)時(shí)性.由于在低信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)情況下,LFM信號(hào)在FrFT域中仍然表現(xiàn)為稀疏信號(hào),相比利用信號(hào)波形構(gòu)造字典的算法,該算法能在更低的SNR情況下,獲得更高的信號(hào)參數(shù)估計(jì)成功概率.

1 壓縮感知理論

假設(shè)復(fù)信號(hào)x∈CN是N維的列向量,矩陣Ψ≡[ψ1,ψ2,…,ψZ]的列向量ψi(i=1,…,Z)構(gòu)成復(fù)向量空間CN的一個(gè)字典,該字典可以是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,也可以是一個(gè)冗余框架,其中Z為字典中原子的個(gè)數(shù).信號(hào)x可以由字典Ψ展開為

(1)

式中,Θ=[θ1,…,θZ]T為信號(hào)x在Ψ域中的Z×1維復(fù)系數(shù)向量,T表示向量轉(zhuǎn)置.若系數(shù)向量Θ中非零元素的個(gè)數(shù)K?N,或者當(dāng)將Θ中的元素按從大到小的順序排列,且其按照一定量級(jí)冪次速度衰減,若大系數(shù)[11]個(gè)數(shù)K?N,則認(rèn)為信號(hào)x在Ψ域中是稀疏信號(hào)或可壓縮信號(hào),且稀疏度為K.

CS理論的思想是如果N維信號(hào)x在某個(gè)變換基Ψ下是稀疏的或可壓縮的,且稀疏度為K,則可以利用一個(gè)與變換基Ψ不相關(guān)的M×N(K

y=Φx=ΦΨΘ.

(2)

利用信號(hào)x的少量觀測(cè)值y、變換基Ψ和觀測(cè)矩陣Φ,通過(guò)求解一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題,就能夠以高概率精確恢復(fù)原始信號(hào)x[9-10].

具體的壓縮采樣過(guò)程可以通過(guò)模擬信息轉(zhuǎn)換器(Analog to Information Converter, AIC)[19]來(lái)完成,典型的AIC如圖1所示.對(duì)信號(hào)的處理過(guò)程主要由信號(hào)調(diào)制、濾波和均勻采樣三個(gè)步驟完成.首先用偽隨機(jī)序列pc(t)對(duì)輸入信號(hào)x(t)進(jìn)行調(diào)制,它的取值必須滿足奈奎斯特采樣定理,調(diào)制的目的是為信號(hào)重構(gòu)提供必要的隨機(jī)性;然后用模擬低通濾波器h(t)對(duì)調(diào)制信號(hào)濾波,保證信號(hào)不失真;最后通過(guò)低速模數(shù)轉(zhuǎn)換器(Analog to Digital Converter, ADC)采樣得到壓縮采樣數(shù)據(jù)y[n].

圖1 AIC框架

最直觀的恢復(fù)信號(hào)的方法是在Ψ中找到信號(hào)x的稀疏表示,即找到系數(shù)向量Θ非零元素最少的解,也即求解復(fù)系數(shù)向量Θ的最小l0范數(shù)解:

min‖Θ‖0s.t.y=ΦΨΘ,

(3)

‖·‖0表示向量中非零元素的個(gè)數(shù).由于求解式(3)是一個(gè)NP-hard問(wèn)題,常用的解決方法是用l1范數(shù)代替l0范數(shù)對(duì)復(fù)系數(shù)向量Θ進(jìn)行約束,即

min‖Θ‖1s.t.y=ΦΨΘ.

(4)

在得到復(fù)系數(shù)向量Θ后,通過(guò)式(1)便可獲得原始信號(hào)x.

另外一種常用的算法是貪婪算法,典型的算法包括匹配追蹤(Matching Pursuit, MP)算法和改進(jìn)型的正交匹配追蹤[13](Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法.

2 LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)

2.1 FrFT的定義

從線性積分變換的角度給出FrFT的基本定義:函數(shù)f(t)的p階FrFT是一個(gè)線性積分運(yùn)算[6],且有

(5)

進(jìn)一步地,為計(jì)算方便,經(jīng)變量代換,fp(u)可以表示為

fp(u) ={Fp[f(t)]}(u)

0<|p|<2(0<|α|<π)

(6)

由式(6)看出,當(dāng)p=1時(shí),α=π/2,Aα=1,此時(shí)有

(7)

可見(jiàn)f1(u)就是f(t)的普通Fourier變換.同樣,可以看出f-1(u)是f(t)的普通Fourier逆變換.

2.2 基于FrFt的LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)

單分量LFM信號(hào)x(t)可表示為

x(t)=Aex p(j2πf0t+jπk0t2),

(8)

式中:A為信號(hào)幅度;k0為信號(hào)調(diào)頻斜率;f0為信號(hào)起始頻率; Δt為信號(hào)持續(xù)時(shí)間.將式(8)代入式(5),得

f0)t+(cotα+k0)t2]}dt.

(9)

當(dāng)cotα=-k0,即α=arccot(-k0)時(shí),式(9)變?yōu)?/p>

Xα(u)=AAαexp(jπu2cotα)·

δ[2π(ucscα-f0)].

(10)

即一個(gè)LFM信號(hào)在旋轉(zhuǎn)角度α=arccot(-k0)的FrFT域內(nèi)表現(xiàn)為一個(gè)沖擊函數(shù),具有能量聚集的特性,該FrFT域被稱為最佳FrFT域,相應(yīng)的階次p=α/(π/2)稱為最佳FrFT階次.

對(duì)上述信號(hào)的調(diào)頻斜率k0和起始頻率f0的估計(jì)過(guò)程可以描述為[20]:

(11)

(12)

實(shí)際工程中,需要計(jì)算離散FrFT,在經(jīng)過(guò)量綱歸一化[21]后信號(hào)的調(diào)頻斜率k0和起始頻率f0的估計(jì)式變?yōu)?/p>

(13)

式中:fs為采樣頻率;N為采樣點(diǎn)數(shù).

3 基于CS的LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)

高斯白噪聲中LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)的信號(hào)模型為

x=s+n.

(14)

式中:s為L(zhǎng)FM信號(hào);n為加性高斯白噪聲.利用CS對(duì)LFM信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的目標(biāo)是通過(guò)直接處理信號(hào)的壓縮采樣值,提取信號(hào)參數(shù)信息.由上節(jié)討論可知,對(duì)于一個(gè)給定的LFM信號(hào),存在一個(gè)最佳FrFT域?qū)υ揕FM信號(hào)具有最好的能量聚集特性,即在最佳FrFT域中LFM信號(hào)表現(xiàn)為一個(gè)沖擊函數(shù),也就是說(shuō)在最佳FrFT域中LFM信號(hào)是一個(gè)稀疏信號(hào),且稀疏度K=1.這恰好滿足CS理論對(duì)于信號(hào)在某個(gè)變換域是稀疏信號(hào)的要求,使利用CS理論在FrFT域內(nèi)對(duì)LFM信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)成為了可能.

受上節(jié)基于FrFT的LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法啟發(fā),根據(jù)參數(shù)估計(jì)精度要求對(duì)FrFT的變換階次p在[0,2)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行搜索,分別構(gòu)造各個(gè)階次p對(duì)應(yīng)的FrFT矩陣ΨFrFT_p作為信號(hào)的稀疏變換基,此時(shí)有s=ΨFrFT_pΘs_p.由于高斯白噪聲在變換域內(nèi)不稀疏[13],利用觀測(cè)矩陣Φ對(duì)信號(hào)x壓縮采樣,得

y=Φs+Φn=ΦΨFrFT_pΘs_p+Φn.

(15)

利用恢復(fù)算法求解信號(hào)在各個(gè)FrFT矩陣ΨFrFT_p中的系數(shù)向量Θs_p,即Θs(p,u).對(duì)Θs(p,u)進(jìn)行二維搜索,此時(shí)式(11)變?yōu)?/p>

(16)

實(shí)際中,LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題,接收到的信號(hào)中常常伴隨著噪聲與窄帶干擾的存在.此時(shí)信號(hào)模型為

x=s+J+n.

(17)

式中:s為L(zhǎng)FM信號(hào);J為復(fù)正弦信號(hào);n為加性高斯白噪聲.

對(duì)階次p在[0,2)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行搜索得到ΨFrFT_p,再利用觀測(cè)矩陣Φ對(duì)信號(hào)x壓縮采樣,此時(shí)將得到

y=Φ(s+J)+Φn

=ΦΨFrFT_pΘ(s+J)-p+Φn.

(18)

由式(18)看出,通過(guò)恢復(fù)算法得到的信號(hào)系數(shù)向量Θ(s+J)_p中的元素將會(huì)受到干擾信號(hào)J的影響,因此通過(guò)對(duì)Θ(s+J)(p,u)進(jìn)行二維搜索估計(jì)信號(hào)參數(shù)時(shí),將會(huì)造成錯(cuò)誤估計(jì).

在這里我們考慮強(qiáng)干擾的情況,即窄帶干擾信號(hào)功率與信號(hào)功率相近或遠(yuǎn)大于信號(hào)的功率.正弦信號(hào)在Fourier變換域是稀疏信號(hào),因此將文獻(xiàn)[16]中的形態(tài)學(xué)成分分析的思想引入算法中.首先構(gòu)造Fourier變換矩陣ΨFFT作為信號(hào)的稀疏變換基;然后利用OMP算法[13],控制算法迭代次數(shù),迭代次數(shù)由干擾信號(hào)數(shù)目確定,進(jìn)而得到信號(hào)x在ΨFFT中占主要成份的系數(shù)向量ΘJ,由于是在強(qiáng)干擾情況下,因此由OMP算法得到的系數(shù)即為干擾信號(hào)J對(duì)應(yīng)的成份,利用式(19)可以將干擾信號(hào)成份從y中剔除:

y=y-ΨFFTΘJ.

(19)

綜上所述,在高斯白噪聲和強(qiáng)窄帶干擾背景下,基于CS的LFM參數(shù)估計(jì)算法的步驟為:

1) 獲得信號(hào)壓縮采樣值y=Φx;

2) 構(gòu)造Fourier變換矩陣ΨFFT;

3) 利用OMP算法進(jìn)行有限次數(shù)迭代,求解信號(hào)在ΨFFT中的系數(shù)向量ΘFFT,利用式(19)去除窄帶干擾信號(hào);

4 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

實(shí)驗(yàn)中,設(shè)信號(hào)長(zhǎng)度N=512,幅度A=1,用fs=80 MHz的采樣頻率對(duì)信號(hào)進(jìn)行模擬.利用快速Fourier變換(Fast Fourier Transform,FFT)算法直接構(gòu)造N×N的Fourier變換矩陣ΨFFT作為窄帶干擾信號(hào)的稀疏基.對(duì)信號(hào)的壓縮采樣過(guò)程是通過(guò)一個(gè)M×N維隨機(jī)矩陣Φ完成的,其中Φ的元素滿足高斯分布.規(guī)定檢測(cè)成功率高于95%檢測(cè)有意義.

實(shí)驗(yàn)1 對(duì)單分量LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn).在信號(hào)中加入高斯白噪聲和強(qiáng)窄帶干擾信號(hào),假設(shè)有一個(gè)復(fù)正弦信號(hào)作為干擾信號(hào),信干比(Signal-to-Interference Ratio, SIR)為0 dB,頻率f=20 MHz,此時(shí)‖ΘJ‖0=1,因此步驟3中OMP算法執(zhí)行一次迭代.在SNR為5 dB的情況下,信號(hào)的調(diào)頻斜率k0與起始頻率f0分別取不同值時(shí),考察參數(shù)估計(jì)的相對(duì)誤差ER:

(20)

(21)

信號(hào)參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表1所示.

表1 LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)結(jié)果

三組實(shí)驗(yàn)中,窄帶干擾信號(hào)的頻率均在LFM信號(hào)帶寬內(nèi).由表1可以看出,在高斯白噪聲和強(qiáng)窄帶干擾條件下,當(dāng)信號(hào)調(diào)頻斜率與起始頻率分別取不同值時(shí),該算法的二次搜索過(guò)程可以準(zhǔn)確估計(jì)信號(hào)參數(shù),參數(shù)估計(jì)的相對(duì)誤差能達(dá)到10-3量級(jí),且算法不受干擾信號(hào)頻帶范圍影響.

實(shí)驗(yàn)2 考察文中算法在不同SNR條件下,參數(shù)估計(jì)成功概率隨壓縮采樣點(diǎn)的變化情況.設(shè)輸入信號(hào)起始頻率f0=10 MHz,調(diào)頻斜率k0=5×1012Hz/s.在信號(hào)中加入窄帶干擾信號(hào),信號(hào)參數(shù)同實(shí)驗(yàn)1,SIR為0 dB.壓縮采樣點(diǎn)數(shù)M從40到140以步進(jìn)20變化,在每個(gè)采樣點(diǎn)下,進(jìn)行200次實(shí)驗(yàn),參數(shù)估計(jì)成功率為參數(shù)估計(jì)成功次數(shù)在200次實(shí)驗(yàn)中所占的比例,參數(shù)估計(jì)成功標(biāo)準(zhǔn)為估計(jì)值與實(shí)際值的相對(duì)誤差小于0.01.在SNR為0、3、5和10 dB的情況下,分別考察信號(hào)參數(shù)估計(jì)的成功率.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示.

圖2 不同SNR下參數(shù)估計(jì)成功概率隨采樣點(diǎn)數(shù)變化曲線

由圖2可以看出,信號(hào)參數(shù)估計(jì)成功概率隨SNR和采樣點(diǎn)數(shù)的增大而提高.當(dāng)SNR為3 dB時(shí),采樣點(diǎn)數(shù)M達(dá)到80,信號(hào)檢測(cè)成功率即可以達(dá)到95%以上;而當(dāng)SNR逐漸提高時(shí),可以在更少的采樣點(diǎn)數(shù)時(shí),達(dá)到更高的檢測(cè)成功率,獲得更高的壓縮比.由實(shí)驗(yàn)2可以看到,當(dāng)SNR為3 dB,壓縮采樣點(diǎn)數(shù)低于奈奎斯特采樣點(diǎn)數(shù)1/4時(shí),信號(hào)參數(shù)估計(jì)成功率仍可以達(dá)到95%以上.

實(shí)驗(yàn)3 考察文中算法在不同SIR條件下,參數(shù)估計(jì)成功概率隨壓縮采樣點(diǎn)的變化情況.信號(hào)參數(shù)設(shè)置和參數(shù)估計(jì)成功概率準(zhǔn)則同實(shí)驗(yàn)2.假設(shè)有兩個(gè)復(fù)正弦信號(hào)作為干擾信號(hào),頻率分別取f1=15 MHz和f2=35 MHz,干擾信號(hào)和LFM信號(hào)頻帶重疊.此時(shí)滿足‖ΘJ‖0=2,即干擾信號(hào)J在ΨFFT中是稀疏度為K=2的稀疏信號(hào),因此步驟3中OMP算法執(zhí)行兩次迭代.在SNR為3 dB的情況下,SIR分別取0、-10和-20 dB,分別考察信號(hào)參數(shù)估計(jì)成功率隨壓縮采樣點(diǎn)數(shù)變換情況.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示.

由圖3可以看出,在強(qiáng)干擾條件下,即當(dāng)SIR遠(yuǎn)小于0 dB時(shí),信號(hào)參數(shù)估計(jì)成功率基本不變.當(dāng)壓縮采樣點(diǎn)數(shù)大于等于60時(shí),信號(hào)參數(shù)估計(jì)成功率能夠達(dá)到95%以上,當(dāng)壓縮采樣點(diǎn)數(shù)小于60時(shí),信號(hào)參數(shù)估計(jì)成功率迅速下降,同樣是由于壓縮采樣點(diǎn)數(shù)過(guò)少時(shí),采樣值中包含原信號(hào)的信息太少,對(duì)恢復(fù)算法影響較大的原因.實(shí)驗(yàn)3說(shuō)明文中算法對(duì)強(qiáng)窄帶干擾不敏感,可以在強(qiáng)窄帶干擾中準(zhǔn)確估計(jì)LFM信號(hào)參數(shù).

圖3 不同SIR下參數(shù)估計(jì)成功概率隨采樣點(diǎn)數(shù)變化曲線

實(shí)驗(yàn)4 通過(guò)蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)對(duì)文中算法與文獻(xiàn)[17]算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn),考察兩種算法參數(shù)估計(jì)成功率隨SNR和壓縮采樣點(diǎn)數(shù)M的變化情況.設(shè)信號(hào)的起始頻率f0=10 MHz,帶寬B=30 MHz,則此時(shí)對(duì)應(yīng)的信號(hào)持續(xù)時(shí)間Δt=6.39 μs,調(diào)頻斜率k0=4.696 7×1012Hz/s.

按照文獻(xiàn)[17]算法,根據(jù)調(diào)頻斜率k0和起始頻率f0構(gòu)造波形匹配字典,當(dāng)壓縮采樣點(diǎn)數(shù)M=150,SNR從-10 dB到10 dB步進(jìn)為2變化時(shí),蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)200次,兩種算法信號(hào)參數(shù)估計(jì)成功率比較如圖4所示.

圖4 參數(shù)估計(jì)成功概率隨SNR變化曲線

從圖4可以看出:在受到噪聲影響條件下,當(dāng)檢測(cè)成功率高于95%時(shí),與文獻(xiàn)[17]算法相比,由于LFM信號(hào)在FrFT域具有良好的稀疏性,相同參數(shù)估計(jì)成功概率下,文中算法允許的SNR低,抗噪聲能力較強(qiáng);在相同SNR條件下,文中算法能獲得更高的參數(shù)估計(jì)成功概率.

在SNR為-3 dB情況下,壓縮采樣點(diǎn)數(shù)從100到200步進(jìn)為20變化,蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)200次,考察兩種算法參數(shù)估計(jì)成功率,結(jié)果如圖5所示.

圖5 參數(shù)估計(jì)成功概率隨采樣點(diǎn)數(shù)變化曲線

由圖5可以看出:與文獻(xiàn)[17]算法相比,在低SNR條件下,參數(shù)估計(jì)成功概率相同時(shí),文中算法需要的壓縮采樣點(diǎn)數(shù)更少,具有更高的壓縮率;在相同采樣點(diǎn)數(shù)條件下,文中算法可以獲得更高的參數(shù)估計(jì)成功概率.

5 結(jié) 論

文中利用LFM信號(hào)在FrFT域具有稀疏性的特點(diǎn),提出一種基于CS的LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)新方法.在沒(méi)有LFM信號(hào)先驗(yàn)知識(shí)的情況下,該算法對(duì)高斯白噪聲和強(qiáng)窄帶干擾不敏感,可以對(duì)待估計(jì)LFM信號(hào)的調(diào)頻斜率和起始頻率準(zhǔn)確估計(jì).該方法將分?jǐn)?shù)階Fourier矩陣作為L(zhǎng)FM信號(hào)的稀疏變換基,在達(dá)到相同參數(shù)估計(jì)成功率條件下,較波形匹配字典的方法需要的SNR更低、壓縮采樣點(diǎn)數(shù)更少.文中算法需要對(duì)變換階次p搜索,計(jì)算量較大,如何尋找一種方法來(lái)降低搜索帶來(lái)的計(jì)算量,還有待深入研究.

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