孫鵬，趙長勝，王仁

(江蘇師范大學測繪學院，徐州 221116)

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一種新的精密星歷內(nèi)插方法

孫鵬，趙長勝，王仁

(江蘇師范大學測繪學院，徐州 221116)

摘要：GPS精密星歷插值是精密單點定位的基礎,本文將廣義重心有理插值應用于GPS精密星歷插值,同時驗證了滑動廣義重心有理插值算法在精密星歷插值中的可行性,實驗表明,滑動廣義重心有理插值具有較好的穩(wěn)定性及很高的內(nèi)插精度,可以滿足精密定位的需要。

關鍵詞：精密星歷;拉格朗日插值;重心拉格朗日插值;廣義重心有理插值

0引言

獲取GPS衛(wèi)星的在軌位置是GPS定位的關鍵問題,獲取衛(wèi)星坐標有兩種方式,一種是廣播星歷,一種是精密星歷。廣播星歷通過導航電文的數(shù)據(jù)塊Ⅱ直接發(fā)送給用戶接收機,精度較低,不能滿足精密定位需要。事后精密星歷通常通過IGS網(wǎng)站下載,衛(wèi)星坐標單位為km,精度已達2 cm,文件格式為sp3,每隔15 min給出一組星歷數(shù)據(jù)。而通常GPS接收機的實際采樣間隔為30 s、15 s甚至更密,因此我們需要對間隔15 min的精密星歷進行內(nèi)插或者擬合,以獲取所需時刻的精密星歷,目前最常用的方法是拉格朗日插值、Neville插值、切比雪夫多項式擬合等[1-3]。本文引入一種新的插值方法:廣義重心有理插值,實驗表明,該方法穩(wěn)定性較好,精度高。

1拉格朗日插值與重心拉格朗日插值

設有n+1個插值節(jié)點,xj,j=0,1,…n,對應實數(shù)fj,j=0,1,2,…n,可構造n次插值多項式p,使p(xj)=fj,j=0,1…,n.則拉格朗日插值公式可以記為

(xj-xk),j=0,1,…n,

(1)

式中: lj(x)稱為拉格朗日插值基函數(shù);使用拉格朗日插值內(nèi)插衛(wèi)星位置時,x為需要的內(nèi)插時刻; xj為插值節(jié)點的時刻; yj為插值節(jié)點三維坐標值。拉格朗日插值在節(jié)點較少時具有較高的插值精度,但計算量較大,且當插值節(jié)點增加時,容易出現(xiàn)振蕩或跳躍現(xiàn)象,即龍格現(xiàn)象[4],因此,使用精密星歷時通常采用低階滑動拉格朗日插值,使待求歷元位于插值節(jié)點中心區(qū)間以獲得較高精度的插值結果[5-8]。

若定義重心權

wj=1/∏j≠k(xj-xk),j=0,1,…n.

(2)

則可得拉格朗日插值的改進形式:重心拉格朗日插值[9]。

(3)

重心拉格朗日插值分子分母都包含插值權wj,其插值權依賴于插值節(jié)點的分布,但對于等距節(jié)點插值,重心拉格朗日插值仍是病態(tài)的。文獻[10]將重心拉格朗日插值用于精密星歷插值,并得到一些有益結論。

2廣義重心有理插值

重心有理插值可表示為

(4)

資助項目:國家自然科學基金(批準號:41174032); 江蘇師范大學研究生科研創(chuàng)新計劃重點項目(編號:2015YZD004)

聯(lián)系人： 趙長勝 E-mail: zhaocs1957@126.com其形式與重心拉格朗日插值相似,區(qū)別在于插值權的選取。

現(xiàn)給定插值節(jié)點xi,i=0,1,…n及其對應的函數(shù)值fj,選擇一個整數(shù)d,滿足0≤d≤n,對每個i=0,1,…,n-d,令pi為點對(xi,fi),(xi+1,fi+1),…,(xi+d,fi+d)的次數(shù)至多為d的多項式,則構造有理函數(shù)插值為

(5)

式中:

(6)

將多項式pi(x)寫成拉格朗日公式形式

(7)

將上式代入式(5),得

(8)

式中,

(9)

指標集Jk={i∈I:k-d≤i≤k}.根據(jù)常數(shù)1的拉格朗日插值公式有

(10)

可得:

(11)

將式(8)及式(11)代入式(5),得廣義重心有理插值公式[11]為

(12)

式中,插值權wj由式(9)決定。

3驗證與分析

選取由IGS提供的2015年4月4日精密星歷數(shù)據(jù)(文件名為igs18386.sp3),提取衛(wèi)星號為PG01的間隔為30min的衛(wèi)星坐標(0:00-23:30),用廣義重心有理插值(本文d取12)內(nèi)插其余各已知點,將精密星歷給出坐標作為真值,判斷內(nèi)插精度。內(nèi)插結果如圖1所示。

圖1　三方向內(nèi)插至15 min誤差

內(nèi)插結果顯示,廣義重心有理插值在最外側出現(xiàn)了一定的波動情況,其中X方向在23:15處出現(xiàn)了1dm的誤差,Y方向在0:15處出現(xiàn)了9cm的誤差,Z方向在0:15處出現(xiàn)了接近1dm的誤差。邊緣處的結果用于精密單點定位是不夠理想的,但1:00至22:00之間的插值精度可達1mm,而精密星歷自身精度為厘米級,故這一時間段內(nèi)的插值結果是可靠的。如果需要獲取0:00-0:45以及22:45-24:00之間的插值結果,可以拼接前后兩天的部分節(jié)點,即可獲取當天任意時刻高精度插值結果。

也可以采用滑動插值的方式獲取高精度插值結果。下面驗證最佳插值節(jié)點數(shù)量以及d的最佳取值。以4月4日11:45為插值中心向兩側拓展10、12、14、16、18個間隔30min插值節(jié)點,并內(nèi)插其間其余各已知歷元,插值穩(wěn)定性如圖2所示。

圖2　不同節(jié)點數(shù)量端點突變

結果顯示:采用10個節(jié)點的滑動廣義重心有理插值是不可靠的,采用12、14、16、18個節(jié)點插值,插值中心區(qū)間是高度穩(wěn)定的,且當增加節(jié)點數(shù)量時,邊緣也相對穩(wěn)定。

現(xiàn)使用上述數(shù)據(jù)不同節(jié)點數(shù)n內(nèi)插11:45歷元,求得插值誤差detX,detY,detZ.如表1所示。

結果表明,采用滑動廣義重心有理插值時,當取12個節(jié)點,d取10時插值精度可達毫米級,取14個節(jié)點,d=12或16個節(jié)點d=12或14時插值誤差可達亞毫米,當增加節(jié)點數(shù)量時,插值結果趨于穩(wěn)定,由于精密星歷自身精度為厘米級,故采取滑動廣義重心有理插值精度高,可靠性好,可以用于精密星歷內(nèi)插。

表1　不同節(jié)點數(shù)n內(nèi)插11:45歷元誤差

4結束語

1) 使用廣義重心有理插值內(nèi)插精密星歷,精度高,穩(wěn)定性好。

2) 給出了滑動廣義重心有理插值的最佳節(jié)點數(shù)以及d的可選取值,為實際應用提供了參考。

3) 插值權的確定依賴于d的取值,d的最佳取值有待進一步討論。

參考文獻

[1] 劉偉平,郝金明. 一種新的IGS精密星歷插值算法[J]. 武漢大學學報·信息科學版,2011,36(11):1320-1323.

[2] 陳鵬,陳正陽,李驍. 一種新的GPS精密星歷插值方法[J]. 大地測量與地球動力學,2009,29(2):111-114.

[3] 楊學鋒,程鵬飛,方愛平,等.利用切比雪夫多項式擬合衛(wèi)星軌道坐標的研究[J]. 測繪通報,2008(12):1-3.

[4] 吉長東,徐愛功,馮磊. GPS精密星歷擬合與插值中龍格現(xiàn)象的處理方法[J]. 測繪科學,2011,36(6):169-171.

[5] 何玉晶,楊力. 基于拉格朗日插值方法的GPS IGS精密星歷插值分析[J]. 測繪工程,2011(5):60-62，66.

[6] 雷雨,趙丹寧,高玉平. 基于滑動式Lagrange插值方法的GPS精密星歷內(nèi)插分析[J]. 測繪工程,2013,22(2):34-36.

[7] 宮厚誠,李全海. 基于IGS精密星歷的衛(wèi)星坐標和鐘差插值[J]. 全球定位系統(tǒng),2009(5):24-26,38.

[8] 吳偉,任超,王文杰,等. 基于滑動式算法的IGS精密星歷內(nèi)插與擬合精度[J]. 地理空間信息,2013，11(2):69-70.

[9] 王兆清,李淑萍,唐炳濤. 一維重心型插值:公式、算法和應用[J]. 山東建筑大學學報,2007,22(5):448-453.

[10]趙輝,張書畢,張秋昭,等. 基于質(zhì)心拉格朗日插值的GPS軌道標準化方法[J]. 全球定位系統(tǒng),2011,36(2):15-18.

[11]FLOATER M S, HORMANN K. Barycentric rational interpolation with no poles and high rates of approximations[J].Numberische Mathematik, 2007,107(2):315-331.

孫鵬(1991-),男,碩士生,主要研究方向為GNSS數(shù)據(jù)處理。

趙長勝(1957-),男,教授,研究方向為大地測量與測量數(shù)據(jù)處理。

王仁(1990-),男,碩士生,主要研究方向為GNSS數(shù)據(jù)處理。

A New Method for Precise Ephemeris Interpolation

SUN Peng,ZHAO Changsheng,WANG Ren

(SchoolofGeodesyandGeomatics,JiangSuNormalUniversity,Xuzhou221116,China)

Abstract:Precise Point Positioning(PPP) is based on GPS precise ephemeris interpolation. This article uses Generalized Barycentric Rational Interpolation for precise ephemeris interpolation, and verifies that Sliding Generalized Barycentric Rational Interpolation is also feasible. The experiment shows that, Generalized Barycentric Rational Interpolation is precise and highly stable and can meet the demands of PPP

Key words:Precise ephemeris; Lagrange interpolation; Barycentric Lagrange interpolation; Generalized Barycentric Rational Interpolation

作者簡介

收稿日期：2015-07-27

中圖分類號：P228.4

文獻標志碼：A

文章編號：1008-9268(2015)06-0089-03

doi:10.13442/j.gnss.1008-9268.2015.06.020