☉江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級中學(xué) 曹海燕
串珠成線選情境,漸次展開求簡約
——以“一元二次方程(第1課時)”教學(xué)為例
☉江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級中學(xué) 曹海燕
最近,南通市李庾南實驗總校舉行首屆賽課活動,筆者有幸參加了初中數(shù)學(xué)賽課活動,執(zhí)教了“一元二次方程(第1課時)”,得到評委老師的好評,本文呈現(xiàn)該課的教學(xué)設(shè)計和課堂生成,并給出教后反思,與同行交流.
1.教學(xué)目標(biāo)
(1)引導(dǎo)學(xué)生類比一元一次方程,定義一元二次方程的相關(guān)概念,并熟悉一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
(2)結(jié)合開平方運算,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)特殊形式的一元二次方程的“直接開方法”,并進(jìn)一步探索出“配方法”.
(3)踐行“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法,使學(xué)生通過本課的學(xué)習(xí)知道一元二次方程全章學(xué)習(xí)的路徑,學(xué)會自主學(xué)習(xí).
2.重點、難點
教學(xué)重點:類比定義出一元二次方程的相關(guān)概念;發(fā)現(xiàn)特殊形式的一元二次方程的配方解法.
教學(xué)難點:特殊形式的一元二次方程的配方解法.
3.教學(xué)流程
活動一:問題情境
引例:用一根長為24m的繩子圍出一個長方形.
(1)當(dāng)圍成一個正方形時,它的面積是多少?
(2)當(dāng)長是寬的2倍時,長和寬各是多少?此時面積是多少?
(3)當(dāng)它的面積是32m2時,長和寬各是多少?
預(yù)設(shè)意圖:第(1)問學(xué)生會用小學(xué)階段熟悉的算術(shù)方法解答;第(2)問可以引導(dǎo)學(xué)生用七年級的一元一次方程來解,目的是喚起學(xué)生回顧一元一次方程的相關(guān)概念,為后續(xù)類比定義一元二次方程奠定基礎(chǔ);第(3)問是為安排學(xué)生列一元二次方程“x2-12x+32=0”服務(wù),從而引入新知.
活動二:類比歸納
引導(dǎo)學(xué)生類比一元一次方程定義一元二次方程,即只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程稱一元二次方程.接著引導(dǎo)學(xué)生回顧一元一次方程的一般形式,定義一元二次方程的一般形式.
練習(xí):下列方程是一元二次方程嗎?請說明理由.
(1)x2+2x=0;(2)3x+2=5y-3;(3)x(x+3)=5;(4)4x2=9.
活動三:探究解法
回到引例:用一根長為24m的繩子圍出一個長方形.
(1)當(dāng)圍成一個正方形時,它的面積是多少?
預(yù)設(shè)追問:能否用方程求解?設(shè)邊長為xm,得x2=36;得出開方法解方程.接著變式如下,解方程:(1)4x2-36=0;(2)(x-2)2=36;(3)x2-4x+4=36.然后回到開課階段的方程x2-12x+32=0.師生共同探究解法,發(fā)現(xiàn)一元二次方程的配方解法.
1.開課階段
師生研究情境問題第(2)問.
生1:設(shè)寬為xm,則長為2xm,2x+4x=24,6x=24,x=4,2x=8,所以長是8m,寬是4m.
師:(板書)2x+4x=24,6x=24.
師:這是一個什么方程?
眾生:一元一次方程.
師:什么是一元一次方程?
生2:只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的次數(shù)是1的方程.
師:(板書)一元一次方程的定義.
師生研究情境問題第(3)問.
師:請用方程解.
生3:x(12-x)=32.
師:x表示什么?
生3:設(shè)長為xm,則寬為(12-x)m.
師:我們一起來化簡這個方程.
生4:12x-x2=32.
師:這個方程和一元二次方程相同嗎?
眾生:不同.
師:哪些地方不同?
生4:x的指數(shù)不同,一個是1,一個是2.
師:那它們有相同的地方嗎?
生5:都是等式.
師:對,方程就是含有未知數(shù)的等式.還有需要補充的嗎?
生6:都含有未知數(shù).
師:都有幾個未知數(shù)?
眾生:1個.
師:還有要補充的嗎?
生7:都是整式方程.
師:我們能給這樣的方程取一個名字嗎?
眾生:一元二次方程.
2.探究解法
師:(指著-x2+12x-32=0)解這道題現(xiàn)在有些困難,我們先回到引例第(1)問.請用方程解“(1)當(dāng)正方形的面積是36m2時,它的邊長是多少?”
生8:設(shè)邊長為xm,則x2=36.
師:好,我們就從這個方程開始研究一元二次方程的解法.
師:會解嗎?
生8:x=±6.
師:方程有兩個解,我們分別寫成x1=6,x2=-6,由x2=36到x=±6是根據(jù)我們之前學(xué)的什么知識?
生8:開平方.
師:我們可以把這種解方程的方法叫做開方法.現(xiàn)在老師改變一下方程.
師:(板書)4x2-36=0.(生獨立思考)
生9:4x2=36,x2=9,解得x=±3,所以x1=3,x2=-3.
師:繼續(xù)改變,(x-2)2=36.(生獨立思考)
生10:x-2=±6,x-2=6或x-2=-6,所以x1=8,x2=-4.
師:這個方程x2-4x+4=36,如何解呢?(生獨立思考)
生11:(x-2)2=36,x-2=±6,x-2=6或x-2=-6,所以x1= 8,x2=-4.
師:現(xiàn)在我們一起來看引例第(3)問得到的方程-x2+12x-32=0,為了解題方便我們把二次項的系數(shù)寫成正的,方程化解成x2-12x+32=0.(生獨立思考)
師:現(xiàn)在進(jìn)行小組討論,找出這類方程的解法.(小組討論)
生12:x2-12x+36-4=0,x2-12x+36=4,(x-6)2=4,x-6=±2,x-6=2或x-6=-2,所以x1=8,x2=4.
師:你能講一下是怎么想的嗎?
生12:加36湊成平方的形式,原來是32,所以減4.
師:你能不能為這種方法取一個名字?
生12:就叫完全平方法吧!
師:好!就叫完全平方法,教材上稱之為配方法.
1.研究教材,優(yōu)選情境問題
應(yīng)該承認(rèn),教材是眾多專家學(xué)者、名優(yōu)教師精心打磨出來的課程資源,值得每一位老師認(rèn)真研習(xí).但是教材編寫也有優(yōu)差之分,研讀教材時,對教材實行橫挑鼻子豎挑眼的態(tài)度不能說不對.即對任何教材,在教學(xué)之前應(yīng)該懷有研究心.章建躍教授對時下流行的“情境引入”曾做出思辨,指出“對‘從現(xiàn)實引入’的更全面認(rèn)識,應(yīng)從數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程需要來考慮,這個‘現(xiàn)實’既可以是‘生活的現(xiàn)實’,也可以是‘?dāng)?shù)學(xué)的現(xiàn)實’”.正是基于上述觀點,我們沒有根據(jù)九年級教材上情境問題(用長為16cm,寬為12cm的長方形紙做一個無蓋的方盒),而上溯到七年級上冊教材上一個圍長方形問題.事實上,這并不是簡單的取舍,而是在試教階段,學(xué)生對九年級教材上兩個情境問題感覺較為困難,列出的一元二次方程化簡也有一定的難度,綜合考慮之后,決定選擇較為簡單的圍長方形問題.
2.經(jīng)營“轉(zhuǎn)場”,追求簡約教學(xué)
文學(xué)、影視作品常常需要經(jīng)營所謂的“轉(zhuǎn)場”,比如在兩個場景(即兩段素材)之間,采用一定的技巧實現(xiàn)場景或情節(jié)之間的平滑過渡,追求較好的轉(zhuǎn)場效果.可以發(fā)現(xiàn),由于我們選擇了圍長方形這個情境問題,使得全課的各個環(huán)節(jié)都找到一個主線,并圍繞這根主線漸次展開,自然生長,各個環(huán)節(jié)也實現(xiàn)了平滑過渡,一定意義上追求了課堂教學(xué)的簡約化.當(dāng)然,“簡約”不是簡單的壓縮和簡化,而是一種深廣的豐富,是寓豐富于簡單之中.
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3.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會思考[J].數(shù)學(xué)通報,2013(6).
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