☉江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 曹海燕
串珠成線選情境,漸次展開(kāi)求簡(jiǎn)約
——以“一元二次方程(第1課時(shí))”教學(xué)為例
☉江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 曹海燕
最近,南通市李庾南實(shí)驗(yàn)總校舉行首屆賽課活動(dòng),筆者有幸參加了初中數(shù)學(xué)賽課活動(dòng),執(zhí)教了“一元二次方程(第1課時(shí))”,得到評(píng)委老師的好評(píng),本文呈現(xiàn)該課的教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂生成,并給出教后反思,與同行交流.
1.教學(xué)目標(biāo)
(1)引導(dǎo)學(xué)生類比一元一次方程,定義一元二次方程的相關(guān)概念,并熟悉一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
(2)結(jié)合開(kāi)平方運(yùn)算,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)特殊形式的一元二次方程的“直接開(kāi)方法”,并進(jìn)一步探索出“配方法”.
(3)踐行“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法,使學(xué)生通過(guò)本課的學(xué)習(xí)知道一元二次方程全章學(xué)習(xí)的路徑,學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí).
2.重點(diǎn)、難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):類比定義出一元二次方程的相關(guān)概念;發(fā)現(xiàn)特殊形式的一元二次方程的配方解法.
教學(xué)難點(diǎn):特殊形式的一元二次方程的配方解法.
3.教學(xué)流程
活動(dòng)一:?jiǎn)栴}情境
引例:用一根長(zhǎng)為24m的繩子圍出一個(gè)長(zhǎng)方形.
(1)當(dāng)圍成一個(gè)正方形時(shí),它的面積是多少?
(2)當(dāng)長(zhǎng)是寬的2倍時(shí),長(zhǎng)和寬各是多少?此時(shí)面積是多少?
(3)當(dāng)它的面積是32m2時(shí),長(zhǎng)和寬各是多少?
預(yù)設(shè)意圖:第(1)問(wèn)學(xué)生會(huì)用小學(xué)階段熟悉的算術(shù)方法解答;第(2)問(wèn)可以引導(dǎo)學(xué)生用七年級(jí)的一元一次方程來(lái)解,目的是喚起學(xué)生回顧一元一次方程的相關(guān)概念,為后續(xù)類比定義一元二次方程奠定基礎(chǔ);第(3)問(wèn)是為安排學(xué)生列一元二次方程“x2-12x+32=0”服務(wù),從而引入新知.
活動(dòng)二:類比歸納
引導(dǎo)學(xué)生類比一元一次方程定義一元二次方程,即只含有一個(gè)未知數(shù),未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程稱一元二次方程.接著引導(dǎo)學(xué)生回顧一元一次方程的一般形式,定義一元二次方程的一般形式.
練習(xí):下列方程是一元二次方程嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)x2+2x=0;(2)3x+2=5y-3;(3)x(x+3)=5;(4)4x2=9.
活動(dòng)三:探究解法
回到引例:用一根長(zhǎng)為24m的繩子圍出一個(gè)長(zhǎng)方形.
(1)當(dāng)圍成一個(gè)正方形時(shí),它的面積是多少?
預(yù)設(shè)追問(wèn):能否用方程求解?設(shè)邊長(zhǎng)為xm,得x2=36;得出開(kāi)方法解方程.接著變式如下,解方程:(1)4x2-36=0;(2)(x-2)2=36;(3)x2-4x+4=36.然后回到開(kāi)課階段的方程x2-12x+32=0.師生共同探究解法,發(fā)現(xiàn)一元二次方程的配方解法.
1.開(kāi)課階段
師生研究情境問(wèn)題第(2)問(wèn).
生1:設(shè)寬為xm,則長(zhǎng)為2xm,2x+4x=24,6x=24,x=4,2x=8,所以長(zhǎng)是8m,寬是4m.
師:(板書)2x+4x=24,6x=24.
師:這是一個(gè)什么方程?
眾生:一元一次方程.
師:什么是一元一次方程?
生2:只含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的次數(shù)是1的方程.
師:(板書)一元一次方程的定義.
師生研究情境問(wèn)題第(3)問(wèn).
師:請(qǐng)用方程解.
生3:x(12-x)=32.
師:x表示什么?
生3:設(shè)長(zhǎng)為xm,則寬為(12-x)m.
師:我們一起來(lái)化簡(jiǎn)這個(gè)方程.
生4:12x-x2=32.
師:這個(gè)方程和一元二次方程相同嗎?
眾生:不同.
師:哪些地方不同?
生4:x的指數(shù)不同,一個(gè)是1,一個(gè)是2.
師:那它們有相同的地方嗎?
生5:都是等式.
師:對(duì),方程就是含有未知數(shù)的等式.還有需要補(bǔ)充的嗎?
生6:都含有未知數(shù).
師:都有幾個(gè)未知數(shù)?
眾生:1個(gè).
師:還有要補(bǔ)充的嗎?
生7:都是整式方程.
師:我們能給這樣的方程取一個(gè)名字嗎?
眾生:一元二次方程.
2.探究解法
師:(指著-x2+12x-32=0)解這道題現(xiàn)在有些困難,我們先回到引例第(1)問(wèn).請(qǐng)用方程解“(1)當(dāng)正方形的面積是36m2時(shí),它的邊長(zhǎng)是多少?”
生8:設(shè)邊長(zhǎng)為xm,則x2=36.
師:好,我們就從這個(gè)方程開(kāi)始研究一元二次方程的解法.
師:會(huì)解嗎?
生8:x=±6.
師:方程有兩個(gè)解,我們分別寫成x1=6,x2=-6,由x2=36到x=±6是根據(jù)我們之前學(xué)的什么知識(shí)?
生8:開(kāi)平方.
師:我們可以把這種解方程的方法叫做開(kāi)方法.現(xiàn)在老師改變一下方程.
師:(板書)4x2-36=0.(生獨(dú)立思考)
生9:4x2=36,x2=9,解得x=±3,所以x1=3,x2=-3.
師:繼續(xù)改變,(x-2)2=36.(生獨(dú)立思考)
生10:x-2=±6,x-2=6或x-2=-6,所以x1=8,x2=-4.
師:這個(gè)方程x2-4x+4=36,如何解呢?(生獨(dú)立思考)
生11:(x-2)2=36,x-2=±6,x-2=6或x-2=-6,所以x1= 8,x2=-4.
師:現(xiàn)在我們一起來(lái)看引例第(3)問(wèn)得到的方程-x2+12x-32=0,為了解題方便我們把二次項(xiàng)的系數(shù)寫成正的,方程化解成x2-12x+32=0.(生獨(dú)立思考)
師:現(xiàn)在進(jìn)行小組討論,找出這類方程的解法.(小組討論)
生12:x2-12x+36-4=0,x2-12x+36=4,(x-6)2=4,x-6=±2,x-6=2或x-6=-2,所以x1=8,x2=4.
師:你能講一下是怎么想的嗎?
生12:加36湊成平方的形式,原來(lái)是32,所以減4.
師:你能不能為這種方法取一個(gè)名字?
生12:就叫完全平方法吧!
師:好!就叫完全平方法,教材上稱之為配方法.
1.研究教材,優(yōu)選情境問(wèn)題
應(yīng)該承認(rèn),教材是眾多專家學(xué)者、名優(yōu)教師精心打磨出來(lái)的課程資源,值得每一位老師認(rèn)真研習(xí).但是教材編寫也有優(yōu)差之分,研讀教材時(shí),對(duì)教材實(shí)行橫挑鼻子豎挑眼的態(tài)度不能說(shuō)不對(duì).即對(duì)任何教材,在教學(xué)之前應(yīng)該懷有研究心.章建躍教授對(duì)時(shí)下流行的“情境引入”曾做出思辨,指出“對(duì)‘從現(xiàn)實(shí)引入’的更全面認(rèn)識(shí),應(yīng)從數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程需要來(lái)考慮,這個(gè)‘現(xiàn)實(shí)’既可以是‘生活的現(xiàn)實(shí)’,也可以是‘?dāng)?shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)’”.正是基于上述觀點(diǎn),我們沒(méi)有根據(jù)九年級(jí)教材上情境問(wèn)題(用長(zhǎng)為16cm,寬為12cm的長(zhǎng)方形紙做一個(gè)無(wú)蓋的方盒),而上溯到七年級(jí)上冊(cè)教材上一個(gè)圍長(zhǎng)方形問(wèn)題.事實(shí)上,這并不是簡(jiǎn)單的取舍,而是在試教階段,學(xué)生對(duì)九年級(jí)教材上兩個(gè)情境問(wèn)題感覺(jué)較為困難,列出的一元二次方程化簡(jiǎn)也有一定的難度,綜合考慮之后,決定選擇較為簡(jiǎn)單的圍長(zhǎng)方形問(wèn)題.
2.經(jīng)營(yíng)“轉(zhuǎn)場(chǎng)”,追求簡(jiǎn)約教學(xué)
文學(xué)、影視作品常常需要經(jīng)營(yíng)所謂的“轉(zhuǎn)場(chǎng)”,比如在兩個(gè)場(chǎng)景(即兩段素材)之間,采用一定的技巧實(shí)現(xiàn)場(chǎng)景或情節(jié)之間的平滑過(guò)渡,追求較好的轉(zhuǎn)場(chǎng)效果.可以發(fā)現(xiàn),由于我們選擇了圍長(zhǎng)方形這個(gè)情境問(wèn)題,使得全課的各個(gè)環(huán)節(jié)都找到一個(gè)主線,并圍繞這根主線漸次展開(kāi),自然生長(zhǎng),各個(gè)環(huán)節(jié)也實(shí)現(xiàn)了平滑過(guò)渡,一定意義上追求了課堂教學(xué)的簡(jiǎn)約化.當(dāng)然,“簡(jiǎn)約”不是簡(jiǎn)單的壓縮和簡(jiǎn)化,而是一種深廣的豐富,是寓豐富于簡(jiǎn)單之中.
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