☉江蘇省石莊高級(jí)中學(xué) 劉小明

課堂探究三項(xiàng)遞推數(shù)列求通項(xiàng)

☉江蘇省石莊高級(jí)中學(xué) 劉小明

由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)既是數(shù)列一章的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，難就難在類型多，技巧性強(qiáng).其實(shí)處理遞推數(shù)列問題的基本思想就是對(duì)遞推式進(jìn)行變換，通過變換把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或者等比數(shù)列.本文以一道課本習(xí)題為例展開探究，就其中所涉及的解題思想及常見變化進(jìn)行歸納梳理，供讀者參考.

一、題目探究

題目（人教A版必修5第77頁習(xí)題6）已知數(shù)列{an}，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），對(duì)于這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式作一研究，能否寫出它的通項(xiàng)公式.

師：前面我們講述了由前后兩項(xiàng)遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式問題，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下相關(guān)的題型和方法.

生1：（1）an＋1-an＝f（n）型，采用累加法求解.

（3）an+1=pan+q（p、q為常數(shù)），利用待定系數(shù)法，構(gòu)造等比數(shù)列{an+1+λ}求解.

（4）a＝p·a＋An＋B等價(jià)轉(zhuǎn)化為a＋A（n＋1）＋B＝（a＋n＋1nn＋1nAn＋B），利用待定系數(shù)法求出A，B后，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．

（5）an+1=pan+rqn（p、q為常數(shù)，p≠0，p≠1，q≠1，r≠0），此類問題常見的解法是兩邊同除以qn+1，轉(zhuǎn)化為類型（3）.

師：給出遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式問題的處理基本原則是什么？

生眾：構(gòu)造特殊數(shù)列，即等差或等比數(shù)列.

師：本題所給的遞推關(guān)系是相鄰三項(xiàng)之間的關(guān)系，如何處理？

生2：本題也可以采用構(gòu)造法：將式an=2an-1+3an-2（n≥3）兩邊同時(shí)減3an-1，得an-3an-1=-an-1+3an-2，即得an-3an-1= -（an-1-3an-2），進(jìn)而得新數(shù)列{an-3an-1}為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為-13，公比為-1，所以an+1-3an=-13·（-1）n-1.①

將式①兩邊同時(shí)除以（-1）n+1，得-13，即，設(shè)，所以b=-3bnn-113，利用待定系數(shù)法可得，所以數(shù)列｝是以為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，故即所以，所以

師：構(gòu)思巧妙、過程嚴(yán)謹(jǐn)，非常好！還有沒有其他解法？

生3：將等式an=2an-1+3an-2（n≥3）兩邊同時(shí)加an-1，得an+an-1=3an-1+3an-2，即得an+an-1=3（an-1+an-2），進(jìn)而得新數(shù)列{an+an-1}為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a1+a2=7，公比為3，所以an+1+ an=7·3n-1.②

和我們處理過的問題類型不相符……

解題無法繼續(xù).

師：解題中斷于此，有些可惜，能否轉(zhuǎn)化解決？

生4：可以將生2、生3的解法結(jié)合起來.

將等式an=2an-1+3an-2（n≥3）兩邊同時(shí)減3an-1，得an-3an-1=-an-1+3an-2，即得an-3an-1=-（an-1-3an-2），進(jìn)而得新數(shù)列{an-3an-1}為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為-13，公比為-1，所以an+1-3an=-13·（-1）n-1.②

二、探究解題通法

師：通過上面兩種構(gòu)造方法，請(qǐng)總結(jié)一下此類問題的通法.

生5：有些問題不易直接觀察出構(gòu)造方法，可借助待定系數(shù)法求解.

由已知所給遞推關(guān)系，可設(shè)an+xan-1=y（an-1+xan-2），整理得an=（y-x）an-1+xyan-2，對(duì)照已知遞推關(guān)系得解得或以下同上.

待定系數(shù)法的原理其實(shí)是構(gòu)造法，即將所給遞推關(guān)系構(gòu)造為特殊的等差或等比數(shù)列，進(jìn)而利用等差或等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解.形如an+2=pan+1+qan（其中p，q為非零常數(shù)）型，可直接構(gòu)造新數(shù)列求解.有些問題通過移項(xiàng)、重新組合即可構(gòu)造出特殊數(shù)列，如數(shù)列{an}中，a1=8，a4=1，且滿足an+2-2an+1+an=0，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

由an+2-2an+1+an=0，得an+2-an+1=an+1-an，所以{an+1-an}為常數(shù)列，即{an}是以a1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，設(shè)an=a1+（n-1）d， a4=a1+3d，所以，即a=10-2n．n

三、變換問題背景

變式1（2015年廣東）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn， n∈N*．已知，且當(dāng)n≥2時(shí)，4S+5S=n+2n8Sn+1+Sn-1．

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

生6：由4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1得4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn（n≥2），即4an+2+an=4an+1，移項(xiàng)得4an+2-2an+1=2an+1-an，即又因?yàn)?，所以｝是?為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

師：利用an=Sn-Sn-1（n≥2）將已知式轉(zhuǎn)化為4an+2-2an+1= 2an+1-an，此式為數(shù)列相鄰三項(xiàng)之間的關(guān)系，通過兩兩組合構(gòu)造出等比數(shù)列再將該等比數(shù)列兩邊同時(shí)除以將其構(gòu)造為等差數(shù)列，進(jìn)而將問題求解.

四、變換問題形式

變式2已知p，q（q≠0）為實(shí)數(shù)，方程x2-px+q=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α，β，數(shù)列{an}滿足a1=p，a2=p2-q，an=pan-1-qan-2（n=3，4，…），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

生7：由根與系數(shù)的關(guān)系得α+β=p，αβ=q≠0，則由an= pan-1-qan-2，得an=（α+β）an-1-αβan-2，即an-βan-1=α（an-1-βan-2）.

又因?yàn)閍2-βa1=（p2-q）-βp=（α+β）2-αβ-β（α+β）=α2，則an+1-βan=（a2-βa1）αn-1=αn+1.①

同理an+1-αan=βn+1.②當(dāng)Δ=p2-4q=（α-β）2=0時(shí)，α=β，則，則數(shù)列｝是等差數(shù)列，則，則an=（n+1）βn.

當(dāng)Δ=p2-4q=（α-β）2≠0時(shí)，α≠β，①-②得（α-β）an= αn+1-βn+1，則

師：本題以二次方程為背景，融數(shù)列運(yùn)算于方程運(yùn)算之中，體現(xiàn)了知識(shí)的交會(huì)與整合.如果一個(gè)一元二次方程有兩個(gè)根，可能是兩個(gè)不相等的根，也可能是兩個(gè)相等的根，故求解過程中應(yīng)對(duì)此進(jìn)行分類討論，從而使問題的解答更加完整.對(duì)三項(xiàng)遞推關(guān)系進(jìn)行重新、構(gòu)造，是本題得解的關(guān)鍵步驟.

五、變換求解方法

變式3已知數(shù)列{an}中，Sn是其前項(xiàng)n和，若a1=1，a2= 2，anan+1an+2=an+an+1+an+2，且an+1an+2≠1，則a1+a2+a3=_______，S2015=________.

師：本題遞推關(guān)系中含三項(xiàng)乘積形式，不宜采用構(gòu)造法求解，需另辟途徑.

生8：將a1=1，a2=2，代入anan+1an+2=an+an+1+an+2中，得1× 2a3=1+2+a3，解得a3=3.所以a1+a2+a3=6.

同理2×3a4=2+3+a4，a4=1，a5=2，a6=3，……

即數(shù)列{an}的周期為3，所以S2015=671（a1+a2+a3）+（a1+ a2）=671×6+1+2=4029.

師：將a1，a2的值代入遞推關(guān)系后，依次可得出a3，a4，a5，…，進(jìn)而得出數(shù)列的周期，是問題順利得解的關(guān)鍵.在處理一些陌生的數(shù)列問題時(shí)，開始沒有任何思路的情況下，可利用遞推關(guān)系順次求出部分項(xiàng)后，尋找各項(xiàng)之間的關(guān)系，大多能找到解題思路.F