☉江蘇省豐縣宋樓中學(xué) 郭旭東

識(shí)圖觀圖作圖用圖
——談數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用

☉江蘇省豐縣宋樓中學(xué) 郭旭東

筆者在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，盡管數(shù)形結(jié)合思想學(xué)生早已耳熟能詳，也深諳其義，但對(duì)它“具體有哪些應(yīng)用？怎么用？”卻不甚了然，以至在面對(duì)具體問題時(shí)依舊難以入手.究其原因，筆者認(rèn)為是缺少對(duì)其應(yīng)用場合的歸納及操作層面的指導(dǎo).本文下面以近幾年的高考、?？荚囶}為例，談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用.

一、識(shí)圖

“識(shí)圖”是指在給出函數(shù)解析式時(shí)，如何利用函數(shù)的性質(zhì)匹配其圖像.函數(shù)的性質(zhì)有定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、極值、最值、極限等，根據(jù)它們，即可了解圖像的大致走勢與分布，再結(jié)合選擇支，不難找出正確答案.

例1（2013年福建卷（文））函數(shù)f（x）=ln（x2+1）的圖像大致是圖1中的（）.

解析：該題考查函數(shù)值域，因?yàn)閒（x）=ln（x2+1）≥ln1= 0（當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立），所以B、C、D均錯(cuò)，故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題也可根據(jù)：（1）f（x）為偶函數(shù)（圖像關(guān)于y軸對(duì)稱）；（2）f（0）=0（過原點(diǎn)），從而獲解.

二、觀圖

“觀圖”是指在給出函數(shù)圖像時(shí)，如何利用圖像提供的信息，推測函數(shù)的性質(zhì).其著眼點(diǎn)通常有：圖像與兩軸交點(diǎn)的位置、圖像在兩軸上的投影區(qū)間（體現(xiàn)函數(shù)的定義域和值域），以及單調(diào)性、對(duì)稱性、極值點(diǎn)、漸近線等.

例3（2015年安徽卷（文））函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖像如圖3所示，則下列結(jié)論成立的是（）.

A.a>0，b<0，c>0，d>0

B.a>0，b<0，c<0，d>0

C.a<0，b<0，c>0，d>0

D.a>0，b>0，c>0，d<0

解析：易知函數(shù)在y軸上的截距為正，所以d>0.因?yàn)閒′（x）=3ax2+2bx+c，且函數(shù)f（x）在區(qū)間（x1，x2）上單調(diào)遞減，在（-∞，x1）和（x2，+∞）上單調(diào)遞增，所以f′（x）<0的解集為（x1，x2），所以a>0.又極值點(diǎn)x1、x2均為正數(shù)，所以可得b<0，c>0，故選A.

點(diǎn)評(píng)：“觀圖識(shí)性”是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn).本題中，先由函數(shù)圖像與y軸相交點(diǎn)的坐標(biāo)確定d的正負(fù)，再由單調(diào)區(qū)間及x1，x2的正負(fù)確定a，b，c的正負(fù).

A.a>0，b>0，c<0

B.a<0，b>0，c>0

C.a<0，b>0，c<0

D.a<0，b<0，c<0

解析：觀察圖像可知，函數(shù)在y軸上的截距為正，且函數(shù)的豎直漸近線x=-c也為正，所以b>0，c<0.又當(dāng)x>-c時(shí)，f（x）<0，所以a<0，故選C.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)分式函數(shù)而言，使分母為零的x是函數(shù)的豎直漸近線；當(dāng)分母趨于無窮（正無窮或負(fù)無窮）時(shí)，若函數(shù)值趨于某一常數(shù)，則該常數(shù)為函數(shù)的水平漸近線.故此函數(shù)存在兩條漸近線：x=-c和y=0，由此也可確定a<0（例如，觀圖可知，當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→0+，又分母恒正，所以a只能小于零）.

三、作圖

“作圖”是指根據(jù)函數(shù)的解析式（若沒有解析式則根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)），而描出函數(shù)大致圖像的過程.作圖是數(shù)學(xué)的一項(xiàng)基本功，更是數(shù)形結(jié)合的前提.在某些函數(shù)問題中（如函數(shù)的零點(diǎn)相關(guān)問題），正確的作圖基本就意味著解題的成功.但如何進(jìn)行作圖？其步驟為：（1）根據(jù)函數(shù)的類型，先作其基本函數(shù)圖像；（2）再看原函數(shù)可由此基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的變換（平移、伸縮、對(duì)稱（包括翻折）等）而得到.因此，首先，要對(duì)十類基本初等函數(shù)（一次、二次、正比例、反比例、指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪、三角、“對(duì)勾”、“蝴蝶”）的圖像了然于胸；其次，還需熟悉函數(shù)圖像的種種變換.具備上述能力，方可稱為“能作圖”.

例5（2015年湖南卷（文））f（x）=|2x-2|-b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_________.

解析：由函數(shù)與方程思想知，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程b=|2x-2|有兩個(gè)解，也即直線y=b與函數(shù)y= |2x-2|的圖像（如圖5）有兩個(gè)交點(diǎn).觀察圖像即知，0

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)y=|2x-2|的作圖方法為：先作y=2x圖像，將其圖像向下平移2個(gè)單位（或圖像不動(dòng)，將坐標(biāo)系向上平移2個(gè)單位），再將所得圖像在x軸下方的部分關(guān)于x軸翻折即得.此題在作圖時(shí)極易忽略圖像存在漸近線（因?yàn)?，?dāng)x→-∞時(shí)，2x→0+，y=|2x-2|→2，所以圖像存在漸近線y= 2），從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

解析：由函數(shù)與方程思想知，函數(shù)y=f（x）-g（x）恰有4個(gè)零點(diǎn)，即方程b=f（x）+f（2-x）恰有4根，也即直線y=b與函數(shù)h（x）=f（x）+f（2-x）的圖像恰有4個(gè)交點(diǎn).易知h（x）= h（2-x）（關(guān)鍵點(diǎn)），所以h（x）的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱.故可先考慮h（x）在x>1時(shí)的圖像，然后由對(duì)稱性得到其整體圖像.易知當(dāng)x>1時(shí)，h（x）=所以h（x）的大致圖像如圖6，觀察圖像易知，當(dāng)2時(shí)，直線y=b與函數(shù)y=h（x）的圖像有4個(gè)不同的交點(diǎn)，故選D.

點(diǎn)評(píng)：上述解法在作h（x）的圖像時(shí)，首先考慮h（x）的性質(zhì)，然后作圖，此舉大大簡化了作圖的難度，值得細(xì)細(xì)體會(huì).

四、用圖

“用圖”是指如何利用函數(shù)的圖像進(jìn)行解題.通常體現(xiàn)在用圖像解不等式、用圖像判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及用圖像自身的性質(zhì)（如對(duì)稱性）進(jìn)行解題等方面.尤其在函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)問題中，“用圖”的具體方法常與函數(shù)與方程思想密切相關(guān)，常會(huì)用到如下結(jié)論：（1）函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)?方程（fx）=g（x）的解?方程組的解中的x值?同一坐標(biāo)系下，函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y= g（x）的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在x∈D上有n個(gè)零點(diǎn)?方程f（x）=g（x）在x∈D上有n個(gè)解?方程組在x∈D上有n組解?同一坐標(biāo)系下，函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像在x∈D上有n個(gè)交點(diǎn)（其中n∈N）.能將“數(shù)”與“形”對(duì)應(yīng)的意義搞清，并用之于解題，方可稱為“會(huì)用圖”.

例7（2015年北京卷（理））如圖7，函數(shù)f（x）的圖像為折線ACB，則不等式f（x）≥log2（x+1）的解集為（）.

A.（-1，0］B.［-1，1］

C.（-1，1］D.（-1，2］

解析：作出函數(shù)y=log2（x+1）的圖像（如圖7），觀察圖像易知，不等式f（x）≥log2（x+1）的解集為（-1，1］，故選C.

點(diǎn)評(píng)：不等式f（x）≥g（x）的解集為：同一坐標(biāo)系下，函數(shù)y=f（x）在y=g（x）上方的圖像在x軸上的投影區(qū)間（包括交點(diǎn)）.本題若用代數(shù)方法，需求出函數(shù)f（x）的解析式，然后解兩個(gè)不等式，最后求并集，這樣既麻煩又容易出錯(cuò).

A.無論a為何值，均有2個(gè)零點(diǎn)

B.無論a為何值，均有4個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)a>0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)

D.當(dāng)a>0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)

解析：令f（x）=t，則函數(shù)y= f（f（x））+1的零點(diǎn)即為方程組的解中的x值.先畫方程②兩邊函數(shù)y=f（t）與y=-1的圖像（如圖8），考查t的取值范圍：當(dāng)a>0時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程②有兩個(gè)t，不妨設(shè)t1，t2（t1< t2），其中t1<0，00時(shí)，函數(shù)y=f（f（x））+1有4個(gè)零點(diǎn)；同理可得，當(dāng)a<0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)，故選D.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于y=f［g（x）］這樣的復(fù)合函數(shù)而言，用數(shù)形結(jié)合法考慮其零點(diǎn)的方法為：（1）令t=g（x），將f［g（x）］=0轉(zhuǎn)化為（2）先作出方程②兩邊函數(shù)y=f（t）與y=0的圖像，觀察其交點(diǎn)橫坐標(biāo)t的值，將此t的值代入方程①，再作出方程①兩邊函數(shù)y=g（x）與y=t的圖像，觀察其交點(diǎn)情況，從而得出相應(yīng)結(jié)論.“對(duì)方程兩邊的函數(shù)分別作圖，并觀察其交點(diǎn)”，此舉在函數(shù)零點(diǎn)問題中至關(guān)重要，是函數(shù)與方程思想的精髓.

例9（2015年溫州質(zhì)檢卷（理））已知函數(shù)f（x）= |log2|x-1||，且關(guān)于x的方程［f（x）］2+af（x）+b=0有6個(gè)不同的解x1，x2，x3，…，x6，則x1+x2+x3+…+x6的值為_________.

解析：如圖9，先作出函數(shù)f（x）的圖像，易知圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱.令（fx）=t，由題意知，方程組的解中的x有6個(gè)，不妨設(shè)x10.由函數(shù)f（x）自身的對(duì)稱性知，x1+x6=x2+x5=x3+x4=2，故所求x1+x2+x3+…+x6的值為6.

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是：（1）能正確作出函數(shù)f（x）的圖像（利用對(duì)稱、平移、翻折）；（2）能通過換元，將復(fù)合函數(shù)的方程轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的方程組；（3）能理解并運(yùn)用上述函數(shù)與方程思想的相關(guān)結(jié)論.

解析：如圖10，先作出分段函數(shù)f（x）的圖像.由題意知，存在直線y=t與f（x）的圖像交于4點(diǎn)，所以|log3a|= |log3b|，即ab=1.又拋物線的對(duì)稱軸為x=5，所以c+d=10.令z=abcd，則z=cd=c（10-c），觀察圖像易知3

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是：（1）能正確作出分段函數(shù)f（x）的圖像（由每段上的函數(shù)圖像合并而得）；（2）能通過圖像看出a，b，c，d各自的取值范圍.

筆者常有這樣的體會(huì)：許多數(shù)學(xué)問題與“形”結(jié)合起來，問題就容易理解且印象深刻；借助“形”的形象思維，問題?？苫y為易、巧妙解決.然而，實(shí)踐證明，如果不能解決數(shù)形結(jié)合在操作層面的“技術(shù)”問題，那么盡管數(shù)形結(jié)合有諸多好處，它也不過是教師口中的“漂亮”詞藻，而學(xué)生卻難以真正的心領(lǐng)神會(huì)、運(yùn)用自如.本文通過“識(shí)圖、觀圖、作圖、用圖”四個(gè)方面闡述了數(shù)形結(jié)合思想在操作層面的具體應(yīng)用，希望能對(duì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題有所幫助.

1.王勇，李燃.點(diǎn)擊2011年高考數(shù)學(xué)中的圖像試題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2011（9）.F