☉上海市七寶中學(xué) 文衛(wèi)星

立足基礎(chǔ)，客觀靈活，突出能力
——基于2015年高考上海數(shù)學(xué)試卷評(píng)析

☉上海市七寶中學(xué) 文衛(wèi)星

2015年高考上海數(shù)學(xué)試卷部分題目較新，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法考查也較全面，因總體計(jì)算量偏大，證明題偏多（有5小題），對(duì)代數(shù)推理的要求偏高，所以感覺(jué)難度比2014年大，理科尤甚，主要體現(xiàn)在解答題.學(xué)生感到“無(wú)從下手”或?qū)懥艘淮安恢獙?duì)不對(duì)”.總體而言，試卷具有如下一些特點(diǎn).

一、立足基礎(chǔ)，知識(shí)點(diǎn)分布合理

填空題（14題）、選擇題（4題）除少數(shù)2-3個(gè)具有壓軸意義有點(diǎn)兒難，其余側(cè)重基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查，難度不大，但幾乎每題都要算.計(jì)算能力是數(shù)學(xué)的首要能力，這樣考查是合情合理的.知識(shí)點(diǎn)分布也相對(duì)合理，文科解答題依次是立體幾何、函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性、解三角形與二次函數(shù)應(yīng)用題、解析幾何、數(shù)列；理科解答題依次是立體幾何、解三角形與二次函數(shù)應(yīng)用題、解析幾何、數(shù)列、函數(shù)綜合應(yīng)用.

文科能力題約占30分，比較合理，理科能力題約占40分，稍微有點(diǎn)兒多.這提醒我們?cè)诟呷龔?fù)習(xí)中仍要強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的覆蓋面，基本概念教學(xué)不能放松，不僅要學(xué)生聽(tīng)懂，更要求規(guī)范書(shū)寫(xiě)，馬虎不得.

二、客觀試題考查思維的靈活性

雖然客觀試題整體難度比前兩年小，但對(duì)思維靈活性的考查力度沒(méi)有減小.比如，文、理科共同的第18題：設(shè)P（nxn，yn）是直線與圓x2+y2=2在第一象限的交點(diǎn)，則極限

本題若采取直接推理（定量的方法）的方法，則容易掉進(jìn)命題設(shè)置的陷阱，即直接解方程求交點(diǎn)坐標(biāo)再求極限，即使求出坐標(biāo)再求極限也非易事.若先對(duì)問(wèn)題整體考慮，容易發(fā)現(xiàn)，再求極限只需將分子有理化，就會(huì)“化腐朽為神奇”.

因點(diǎn)P（nxn，yn）在圓x2+y2=2上，所以，即yn=.又點(diǎn)P（nxn，yn）在直線（n∈N*）上，而，因直線2x-y=1與圓x2+y2=2在第一象限的交點(diǎn)為（1，1），所以

以上解法雖然完整寫(xiě)出看似有點(diǎn)兒長(zhǎng)，實(shí)際上只要解一個(gè)簡(jiǎn)單的方程組，至于分子有理化幾乎可以口算.

本題壓軸意圖明顯，但破解之道在于掌握恰當(dāng)?shù)乃季S方法，而非不講策略地蠻干.這啟發(fā)我們?cè)趲ьI(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)時(shí)，要結(jié)合具體問(wèn)題向?qū)W生傳授思考問(wèn)題的思維方法，而不是羅列各種策略（技巧）.因?yàn)樗季S方法可以應(yīng)用于各種場(chǎng)合，形成能力，而離散的策略在復(fù)雜的新環(huán)境中一時(shí)很難找到用武之地.

再如文科第14題（理科第13題）：已知函數(shù)f（x）= sinx，若存在x1、x2、…、xm滿(mǎn)足0≤x1

夏天想說(shuō)：曉曉，你有什么都可以跟我說(shuō)，你可以信任我，但是他終究不敢說(shuō)出口。在葉曉曉面前，他的自卑更深更深，他的缺陷像一把劍一樣刺在他的心口?！澳呛冒?，你好就好。這是我的手機(jī)號(hào)，你有事可以給我打電話(huà)。有什么事情，可以想辦法溝通啊……”

首先，考生要準(zhǔn)確理解題意：正弦函數(shù)f（x）=sinx依次相鄰兩點(diǎn)函數(shù)值差的絕對(duì)值之和等于12，最少需要幾個(gè)點(diǎn)？對(duì)正弦函數(shù)而言，兩個(gè)函數(shù)值差的絕對(duì)值的最大值是最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差，因此只要取相鄰最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，兩端點(diǎn)取零點(diǎn)，結(jié)合圖像即可知m的最小值為8.

以上解法可以說(shuō)是數(shù)形結(jié)合，但數(shù)形結(jié)合太籠統(tǒng)，學(xué)生面臨具體問(wèn)題難以操作.教學(xué)中面對(duì)較難問(wèn)題，指導(dǎo)學(xué)生先宏觀（即定性，找出正確大方向）再微觀（具體有什么方法），有理論，有實(shí)踐，便于學(xué)生內(nèi)化形成能力，把培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性落到實(shí)處.

三、突出能力，體現(xiàn)選拔功能

2015年高考上海數(shù)學(xué)試題難度大主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面.其一是計(jì)算量較大，雖然第20題以前的題目大多數(shù)不難，但由于計(jì)算量較大，耗時(shí)較多，無(wú)形中增加了學(xué)生的壓力；其二是證明題多，證明題一般是字母運(yùn)算，不僅對(duì)邏輯思維能力要求高，對(duì)書(shū)寫(xiě)表達(dá)能力要求也高.

比如理科第23題：對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)g（x），若存在正常數(shù)T，使得cosg（x）是以T為周期的函數(shù)，則稱(chēng)g（x）為余弦周期函數(shù)，且稱(chēng)T為其余弦周期.已知f（x）是以T為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域?yàn)镽.設(shè)f（x）單調(diào)遞增，f（0）=0，f（T）=4π.

（2）設(shè)a

（3）證明：“u0為方程cosf（x）=1在［0，T］上的解”的充要條件是“u0+T為方程cosf（x）=1在［T，2T］上的解”，并證明對(duì)任意x∈［0，T］都有f（x+T）=f（x）+f（T）.

本題是新定義問(wèn)題（上海每年都有此類(lèi)問(wèn)題），題目較長(zhǎng)，讀懂題目有一定難度，意在考查學(xué)生獲取和利用信息的能力.第二問(wèn)的結(jié)論感覺(jué)就非常自然，好像不需要證明，實(shí)際上由于不知道f（x）的連續(xù)性，要用反證法.這里既有“任意”，又有“存在”，反證法通常要否定結(jié)論，怎么否定？這是學(xué)生不熟悉的方法.

對(duì)任意c∈［f（a），f（b）］，由于f（x）單調(diào)遞增，所以一定存在x0，使得f（x0）=c.

當(dāng)x0

上述證明看似寥寥數(shù)語(yǔ)，但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)書(shū)寫(xiě)表達(dá)相當(dāng)困難.甚至有些學(xué)生問(wèn)：“為什么當(dāng)x0

四、試題啟示：來(lái)年復(fù)習(xí)怎么做

2015年高考上海數(shù)學(xué)試題對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有哪些啟示，以后又怎么指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)？

1.怎樣做才算抓基礎(chǔ)

2015年高考上海數(shù)學(xué)試題強(qiáng)調(diào)考基礎(chǔ)、考能力，何為基礎(chǔ)？何為能力？這些都比較抽象.筆者以為，根據(jù)已知條件，能運(yùn)用定義、定理、公式直接得到結(jié)論，或經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的等價(jià)轉(zhuǎn)化可得到結(jié)論，屬于考查基礎(chǔ)，而把基礎(chǔ)知識(shí)適當(dāng)串聯(lián)起來(lái)，需要多次轉(zhuǎn)化，且字母運(yùn)算相對(duì)復(fù)雜，可以稱(chēng)為考查能力.題目較長(zhǎng)、題意隱晦、解答技巧強(qiáng)、運(yùn)算繁雜的題目宜少講或不講.

2.怎樣才算依綱據(jù)本

高三復(fù)習(xí)要依據(jù)課本，在課本例題、習(xí)題的基礎(chǔ)上適當(dāng)加寬拓深，意在把基礎(chǔ)知識(shí)以一定的思想方法或某一知識(shí)鏈條串聯(lián)起來(lái)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).重在培養(yǎng)學(xué)生透徹理解基本概念、靈活運(yùn)用相關(guān)定理和公式解決問(wèn)題的能力，達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通之效.表現(xiàn)在課堂上往往是首先重視通性、通法的教學(xué)，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生追求簡(jiǎn)捷解法，發(fā)展思維能力.比如，第18題如果對(duì)極限定義有透徹理解，則可知其值就是過(guò)點(diǎn)（1，1）的切線的斜率（其實(shí)就是導(dǎo)數(shù)，但上海教材沒(méi)有導(dǎo)數(shù)，學(xué)生無(wú)法從這一角度理解）.不同的解法反映不同的能力水平.

這啟發(fā)我們，要根據(jù)不同的教學(xué)對(duì)象，講最適合你的學(xué)生的方法.基本方法一定要講，巧妙方法不一定都要講！如果你的學(xué)生達(dá)不到那個(gè)水平，講了也白講，白講為何要講？！

3.重視代數(shù)推理教學(xué)

2015年高考上海數(shù)學(xué)卷中代數(shù)推理的分量重啟示我們要加強(qiáng)此方面的教學(xué)，因?yàn)榇鷶?shù)推理可以比較準(zhǔn)確地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和文字表達(dá)能力，以及行為習(xí)慣的好壞.教學(xué)中經(jīng)常看到有些學(xué)生能很快得到正確答案（上海數(shù)學(xué)高考可以攜帶計(jì)算器），而不能規(guī)范書(shū)寫(xiě)的情況，尤其是智力好的學(xué)生只求結(jié)果，不問(wèn)過(guò)程.有時(shí)老師也會(huì)趕進(jìn)度，只講思路，不規(guī)范板書(shū)（或放ppt），這樣遇到今年的試卷學(xué)生很難發(fā)揮出實(shí)際水平，即便是優(yōu)等生，也會(huì)感到有勁兒無(wú)法使.這提醒我們教學(xué)中不要盲目追求數(shù)量，而要追求質(zhì)量.要知道，學(xué)生從自己感覺(jué)懂了到能規(guī)范書(shū)寫(xiě)出來(lái)之間還有很大一段距離.規(guī)范書(shū)寫(xiě)就是把細(xì)節(jié)落到實(shí)處，不僅現(xiàn)在做數(shù)學(xué)題是這樣，將來(lái)到社會(huì)上做事也是同樣.特別需要老師的引導(dǎo)、示范，馬虎不得，急躁不得.

4.重視思維規(guī)律教學(xué)

對(duì)起到壓軸作用的客觀題，要善于先宏觀（定性）分析，后微觀（定量）落實(shí)，通過(guò)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、排除法等方法，盡量避免直接求解；解答題力爭(zhēng)化大為小、化難為易、化繁為簡(jiǎn)，把一道難題分解為若干個(gè)小題，或分解為若干步完成，或即使不能完整做出，也能多得部分分?jǐn)?shù)，使學(xué)生的實(shí)際水平得以充分發(fā)揮.A