☉安徽省碭山中學 胡云浩

2015年全國新課標I卷理科第20題的深度探究

☉安徽省碭山中學 胡云浩

一、問題提出

題目（2015年全國新課標Ⅰ理科第20題）在直角坐標系xOy中，曲線與直線y=kx+a（k>0）交于M、 N兩點.

（Ⅰ）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

本題的（Ⅱ）主要考查直線與拋物線的位置關系等基礎知識和運算求解的基本技能，考查推理論證及數形結合的思想.立意深刻、內蘊厚重.那么本題能否推廣為一般情況呢？即已知拋物線x2=2py（p>0），如果過定點（0，m）（m>0）且不與y軸垂直的直線l交拋物線C于M、N兩點，那么y軸上是否存在定點P，使得y軸是∠MPN的平分線呢？它的逆命題是否成立呢？對于橢圓與雙曲線是否具有類似的性質？還有什么變式嗎？本文將予以探究.

二、問題探究

探究1：已知拋物線C：x2=2py（p>0），如果過定點（0，m）（m>0）且不與y軸垂直的直線l與拋物線C交于M、N兩點，那么y軸上是否存在點P，使得y軸是∠MPN的平分線呢？

解析：假設存在點P（0，b），設直線l的方程為y=kx+ m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM、PN的斜率分別為k1、k2.將y=kx+m代入C，整理得x2-2pkx-2pm=0，則x1+x2= 2pk，x1x2=-2pm.所以k1+k2=.要使∠OPM=∠OPN，只需k1+k2=0即可.因為k≠0，故要使k1+k2恒等于0，只需m+ b=0，即b=-m即可.故y軸上存在點P（0，-m），使得y軸是∠MPN的平分線.

探究2：探究1的逆命題成立嗎？即已知拋物線C：x2= 2py（p>0），點P（0，-m）（m>0），設不與y軸垂直的直線l與拋物線C交于M、N兩點，如果y軸是∠MPN的平分線，那么直線l是否恒過一定點呢？

解析：設直線l的方程為y=kx+b（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM、PN的斜率分別為k1、k2.因為y軸是∠MPN的平分線，故有k1+k2=0.將y=kx+b代入C，整理得x2-2pkx-2pb=0，x1+x2=2pk，x1x2=-2pb.所以=0.因為k≠0，故有b=m，即直線l恒過定點（0，m）.

由探究1、2可得如下結論：

定理1：已知拋物線C：x2=2py（p>0），設不與y軸垂直的直線l交拋物線于M、N兩點，則直線l過定點（0，m）（m> 0）的充要條件為y軸上存在點P（0，-m），使得y軸是∠MPN的平分線.

解析：假設存在點P（n，0），設直線l的方程為x=ty+ m（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM、PN的斜率分別為k1、k2.將x=ty+m代入，整理得（b2t2+a2）y2+2b2tmy+ b2（m2-a2）=0，則要使∠OPM=∠OPN，只需k1+k2=0即可.所以，因為t≠0，所以mn-a2=0，即，故x軸上存在點），使得x軸是∠MPN的平分線.

解析：設直線l的方程為x=ty+n（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM、PN的斜率分別為k1、k2.將x=ty+n代入，整理得（b2t2+a2）y2+2b2tny+b（2n2-a2）=0，則y1+因為x軸平分∠MPN，所以k1+k2=0.

由探究3、4可得如下結論：

同理可得雙曲線類似性質：

三、定理變式

經探究發(fā)現(xiàn)，由定理1、2、3可以分別得到各自的變式.

對于拋物線C：x2=2py（p>0），由定理1可知，直線l恒過定點（0，m）（m>0）的充要條件為y軸上存在點P（0，-m），使得y軸是∠MPN的平分線.因為y軸平分∠MPN，故直線PM、PN一定關于y軸對稱.因為直線l不垂直y軸，所以M、N不關于y軸對稱.設直線PM與C交于另一點R，則R、N一定關于y軸對稱.這樣可得定理1的變式：

定理1的變式：已知拋物線C：x2=2py（p>0），點P（0，-m）（m>0），設不與y軸垂直的直線l交拋物線C于M、N兩點，直線PM與C交于另一點R，則R、N關于y軸對稱的充要條件為直線l恒過定點（0，m）.

推論1：已知拋物線C：x2=2py（p>0），點），設不與y軸垂直的直線l交拋物線C于M、N兩點，直線PM與C交于另一點R，則R、N關于y軸對稱的充要條件為直線l過焦點

注：對于焦點在y軸上的橢圓與雙曲線的標準方程、焦點在x軸上的拋物線標準方程類比探究，可得類似結論.

四、高考鏈接

例1（2013年陜西卷理科第20題）已知動圓過定點A（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長為8.

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡C的方程；

（Ⅱ）已知點B（-1，0），設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P、Q，若x軸是∠PBQ的平分線，證明直線l過定點.

解析：（Ⅰ）y2=8x.

（Ⅱ）類比定理1易得直線l過定點（1，0）.

例2（2010年全國卷I理科第21題）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點K（-1，0）的直線l與C相交于A、B兩點，點A關于x軸的對稱點為D．

（Ⅰ）證明：點F在直線BD上；

（Ⅱ）略.

解析：由條件知焦點F（1，0），點A、D關于x軸的對稱，直線BD不與x軸垂直，類比推論2可得直線BD過焦點F，即點F在直線BD上.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）如圖1，若AB為垂直于x軸的動弦，直線l：x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M.

（1）求證：M點恒在橢圓C上；

（2）略.