☉重慶幼兒師范高等專(zhuān)科學(xué)校 張平奎

構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，解決初等數(shù)學(xué)的最值問(wèn)題

☉重慶幼兒師范高等專(zhuān)科學(xué)校 張平奎

在初等數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)和函數(shù)教學(xué)中，我們時(shí)常見(jiàn)到關(guān)于求復(fù)數(shù)和函數(shù)最值的問(wèn)題.如果我們對(duì)復(fù)數(shù)的絕對(duì)值不等式性質(zhì)熟悉，構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，即||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|，則可簡(jiǎn)捷、明快地解決這一類(lèi)復(fù)數(shù)和函數(shù)的最值問(wèn)題.利用它來(lái)求解十分方便，現(xiàn)舉例來(lái)說(shuō)明.

解：由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可知：||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤ |z1|+|z2|，而|z+i|≤1，則i|-1|≤|z|≤i|+1，即|2-1|≤|z|≤|2+1|，即1≤|z|≤3.由此可知：|z|的最大值是3，最小值是1.

推廣：對(duì)于數(shù)學(xué)模型Ⅰ，若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z±z0|≤a（a為非負(fù)實(shí)常數(shù)，z∈C），則|z|的最大值和最小值分別為：|z|max= |z0|+a，|z|min=||z0|-a|.

例2 設(shè)|z|=3，則|z-3+4i|的最大值和最小值各是多少？

解：同樣利用不等式||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|，由|z|= 3，得||z|-|3-4i||≤|z-（3-4i）|≤|z|+|3-4i|，即|3-5|≤|z-（3-4i）|≤|3+5|.

即2≤|z-3+4i|≤8.

即|z-3+4i|的最大值和最小值分別為8和2.

推廣：對(duì)于數(shù)學(xué)模型Ⅱ，若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|=a（a為非負(fù)實(shí)常數(shù)），則|z±z0|的最大值和最小值分別為|z0|+a、||z0|-a|.

解：設(shè)z1=（2-x）+4i，z2=（x-3）+3i.

由|z1|+|z2|≥|z1+z2|，得

則ymin=5

解：設(shè)z1=x+2i，z2=（3-x）+4i，則z1+z2=3+（2+4）i.

由|z1|+|z2|≥|z1+z2|， 得

當(dāng)z1、z2同向，即，即x=時(shí)，取得最小值，為

推廣：對(duì)于數(shù)學(xué)模型Ⅳ，若a、b、c均為正數(shù)，函數(shù)y滿(mǎn)足y=，則|a+bi|+|c+di|≥|（a+bi）+（c+ di）|，當(dāng)且僅當(dāng)a∶b=c∶d，即z1、z2同向，即，即x=時(shí)，取得最小值，為

解：設(shè)z1=x+3i，z2=（x-1）+2i.

|y|=||z1|-|z2||≤|z1-z2|=|1+i|=即-≤y≤，則ymax=

總之，利用絕對(duì)值數(shù)學(xué)模型研究初等數(shù)學(xué)最值問(wèn)題的好處是不需要畫(huà)圖，也不需要過(guò)多的計(jì)算，可很方便地解決這類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題，是一種值得推廣的解法，大家不妨試一試.A