☉江蘇省如皋市磨頭鎮(zhèn)初級中學 馮建全

解法剖析：“小題大做”同樣精彩

☉江蘇省如皋市磨頭鎮(zhèn)初級中學 馮建全

題目在數(shù)-5，1，-3，5，-2中任取三個數(shù)相乘，最大的積是________，最小的積是____________.

簡析：本題是人教版七年級上冊第一章“1.4.1有理數(shù)乘法”（第2課時）的一道練習題，呈現(xiàn)這道練習時，學生已經(jīng)學完了多數(shù)連乘的解題方法，并歸納出了“多個不是0的數(shù)連乘，負因數(shù)個數(shù)為奇數(shù)時，積為負數(shù)；負因數(shù)個數(shù)為偶數(shù)時，積為正數(shù)”.教者將此題在一般方法歸納后呈現(xiàn)，主要是對已經(jīng)獲得的知識進行即時鞏固.

一、教學過程實錄

教師：請同學們認真審題，并試著給出答案.

學生審題并解題，教師巡視，并就學生中出現(xiàn)的問題加以指導.3分鐘后，教師組織學生開始全班交流.

教師：說說你的結(jié)果及解題思路吧！

學生1：我得到的最大的積是75，最小的積是-30.

教師：你是怎么得到的？

學生2：我將這里的數(shù)字三個一組組合，逐一相乘得出了15，-25，10，75，-30，50，-15，6，-10，30等10種結(jié)果.然后從中選出最大的積和最小的積填入相應的空格中.

教師：是10種結(jié)果嗎？

學生3：是的！

教師：何以見得？

學生4：我是按照一定順序?qū)@5個數(shù)字排序的.

教師：什么順序呢？

學生5：為了保證我的結(jié)果不重不漏，根據(jù)這些數(shù)字原先出現(xiàn)的順序，我先確定第1個數(shù)，然后再確定2，3兩個數(shù).比如，第1個數(shù)為-5時，第2個數(shù)取1時，第3個數(shù)可以是-3，5，-2，這樣就有“-5，1，-3；-5，1，5；-5，1，-2”3種情況了；第2個數(shù)取-3時，我們“往后看”，也就是不考慮1了，此時有“-5，-3，5；-5，-3，-2”2種；當?shù)?個數(shù)取5時，只有“-5，5，2”這一種情況了.接下來，按照向后看的原則，再討論第1個數(shù)為1、-3時候的情形.除了上面6種情況外，還有“1，-3，5；1，-3，2；1，5，-2；-3，5，-2”等4種情況.將這10種情況逐一連乘，就得出了我剛才的10種結(jié)果了！

教師：說得真棒！用逐一有序列舉的方法，不重不漏地呈現(xiàn)所有可能的結(jié)果，在對比中，最大（?。┑姆e也就自然出現(xiàn)了.還有其他方法嗎？

學生6：我覺得可以應用今天學的知識來解決本題！

教師：是嗎？

學生7：是的.這里給出了5個數(shù)，2個正數(shù)，3個負數(shù).很明顯，最大的積應該是正數(shù)，最小的積應該是負數(shù).所以，我們從3個因數(shù)入手進行分析.

教師：能說具體點嗎？

學生8：首先看符號，多個非0數(shù)連乘，要想積為正數(shù)，負因數(shù)的個數(shù)應該為偶數(shù).所以，本題中取最大積時，要么沒有負因數(shù)，要么就是兩個負因數(shù).

學生9（很激動）：不可能沒有負因數(shù)！

教師：為什么？

學生10：本題中沒有三個正數(shù)，所以三數(shù)相乘，至少有一個負因數(shù).

學生11：是的，所以，取最大積時，應該是兩個負因數(shù).

教師：那怎么確定是哪幾個因數(shù)呢？

學生12：這就是我接下來要說的.無論是最大的積，還是最小的積，都與這些因數(shù)的絕對值有關(guān)，絕對值越大，乘積的絕對值就越大.所以，想要得到最大積，就應該取絕對值最大的兩個負數(shù)和一個正數(shù)，也就是-5，-3和5.三數(shù)相乘，積為75.

教師：太好了！那我們該如何確定得到最小的積三個因數(shù)呢？

學生13：同樣的，我們還是先從符號入手！多個非0數(shù)連乘，要想積為負數(shù)，負因數(shù)的個數(shù)應該為奇數(shù).所以，積取最小值時，負因數(shù)要么是1個，要么是3個.

教師：看來，和剛才一樣也需要分類討論嘍！

學生14：是的！分兩種情況討論：當負因數(shù)為1個時，取絕對值最大的1個負數(shù)和絕對值大的2個正數(shù)，即-5，5，1，乘積為-25；當負因數(shù)為3個時，只有“-5，-3，-2”這種情形，積為-30.兩者相比，取-30填入題中.

教師：這種方法很不錯哦！從“多個非0數(shù)連乘”的法則入手，抓住因數(shù)的絕對值與最大（?。┓e之間的關(guān)系，通過對可能出現(xiàn)的情形分類討論，從而得到想要的最大（?。┑姆e.這一解法將本課所學知識與前面的知識融合在一起，現(xiàn)學活用，值得表揚！

二、實錄簡析

教學需求，是教師教學設(shè)計的動力.上面的片斷，顯然是經(jīng)過教者精心預設(shè)的.拋出這樣一道練習，學生的解法是可以預見的.“列舉法”或“法則法”，哪一種方法出現(xiàn)，抑或是兩種方法同時出現(xiàn)，都不意外.教者的教學期待，通過3分鐘學生的自主探究轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)實.一名學生首先展示了用“列舉法”探究結(jié)果的全過程，教者對學生如何“有序”呈現(xiàn)結(jié)果進行了追問，在這種一問一答中，個體思維的序被展露無余.雖然這種解法看似復雜，但作為化解問題的常用方法，還是得到了老師的肯定，這也為接下來的繼續(xù)交流營造了良好的氛圍.第2種方法緊扣法則和絕對值定義，讓學生將近期學習的知識通盤梳理.師生、生生的互動交流依然在解題的“序”上做文章，先是法則應用，以獲取“最大（小）的積”中負因數(shù)的個數(shù)，然后是分兩大類進行逐一討論，讓法則和絕對值的應用落在了實處.學生自始至終能感受到數(shù)學知識在問題解決中的巨大作用，充分體會到數(shù)學知識的應用價值.總的來說，兩種解法都在教師“掌控”之下進行了有序的交流，從交流的成效看，學生的求解是有序的，他們所呈現(xiàn)的解題思路和解題過程是有序的，這為其他學生化解此類問題提供了可以參照的“標準”.事實上，這道例題的價值并不在于問題解決本身，有序的解答和有序的交流會有力地推動學生有序思維習慣的形成.這一解題與交流方式的強化，會讓學生在今后的問題解決中有章可循，有序可依，成效顯著.

三、幾點啟示

1．“小題”剖析同樣精彩

在很多老師眼中，填空題、選擇題屬于小題，一般求解過程較為簡潔，不需要進行解法交流.筆者認為，這種觀點是不對的.在數(shù)學教學中，題越小，數(shù)學化程度越高，涉及的非數(shù)學的知識也就越少，認真利用便能很好地體現(xiàn)數(shù)學的價值.因此，在教學中，我們應抓住小題信息量小、涉及知識點少、思路分析簡潔等特點，展開“短、平、快”式的交流，以期實現(xiàn)“四兩撥千斤”的成效.以本文中這道小題為例，整題文本只有30個字，沒有生活情境的參與，數(shù)學化程度很高.這道題中給出的所有文本信息，幾乎都直接指向了近期學習的有理數(shù)的乘法.前階段（前幾課和這課的前半課），學生已經(jīng)獲得了有理數(shù)乘法的很多知識，具備了化解本題充足的知識基礎(chǔ)和技能基礎(chǔ).正是這樣的情形，此題的教學有了充足的鋪墊，加之題目本身融合了近階段的很多知識，如果在教學中進行剖析，將是一次極好的鞏固、回憶、提升的契機，因此，教師有意將此題設(shè)計為課堂例題，通過學生求解歷程的詳細交流，讓兩種截然不同的解法成為了教學的“生長點”，小題的獨特魅力在教學中得到了盡情展示.

2．教學交流應關(guān)注通法分享

共性解題方法，又稱通法，它是學生解題中最為常用的方法，也是對學生數(shù)學思維發(fā)展影響最大的方法.在解法剖析與解法交流中，應關(guān)注此類方法作為交流的重點加以呈現(xiàn)，讓它們走上教學前臺，成為課堂的“主角”.本文中，化解這道小題的兩種方法都是學生最為常用的解題方法.列舉法不僅是這道題目的解題方法之一，也是后面化解概率問題的常用方法，是學生后續(xù)學習中獲取知識和解決問題的重要工具，應該引起教師的重視；“法則法”，從近期教學出發(fā)，知識與技能都是“新鮮”的，交流在師生熟悉的氛圍中展開，知識的提取與應用都易于引發(fā)參與者的共鳴，這種基于課時教學需求的解法交流對課時目標的達成是十分有效的.我們再來看看教學交流的效果，學生的自主探究已經(jīng)經(jīng)歷了不同解法碰撞的過程，對這兩種解法有了一個初步的認識，教學交流中再度出現(xiàn)，他們是能夠接受的，在課后的訓練中，他們還對兩種方法在解題中都進行了簡單的再應用，取得了較好的解題效果，應該說，這樣的教學交流顯然是成功的.

3．解法剖析不能偏離初衷

教師的教學實施都是有“預謀”的，每一個問題、例題、活動沒有教師的預設(shè)，是無法進入課堂的.因此，在教學過程中，教師應時刻關(guān)注教學進程與教學設(shè)計初衷的吻合程度，要為預設(shè)目標的達成進行適時調(diào)整，一旦發(fā)現(xiàn)偏離“航向”就應及時矯正，使之回到預設(shè)的教學方向上來.據(jù)此，我們的例題教學也應遵循上述原則進行.由于例題的解法是多樣的，在不同教學時段呈現(xiàn)會有不同的解法出現(xiàn)，就算在同一時段也會由于學生的不同而產(chǎn)生異樣的解法，這就要求老師要對解法進行甄別，選出最貼近教學目標需求的解法進行交流，讓解法剖析不偏離設(shè)計初衷.本文中所出現(xiàn)的列舉法雖然不是本節(jié)課預設(shè)的方法，但由于列舉僅是解題中的一個小的環(huán)節(jié)，學生更多地是應用新學的多數(shù)連乘的法則在解題，所以，教者將此法先于應用法則解題的方法交流，既避免了后交流沖淡主題的尷尬，也有效防止了解法交流偏向的出現(xiàn).“還有其他方法嗎”，一句淡淡的追問，矯正了交流方向，基于法則之上的方法交流凸顯了課時主題，保證了教學目標的有序達成.應該說，教師的小結(jié)提升了交流的品味與質(zhì)量，實為解法剖析的點睛之筆，值得稱道.H