范欣玙 錢(qián)曉祺

今天的數(shù)學(xué)課老師與我們一起進(jìn)行了從“將軍飲馬問(wèn)題”到許瓦茲三角形的實(shí)驗(yàn)探究，下課鈴聲響時(shí)，我們還是意猶未盡.我不禁感嘆：數(shù)學(xué)真是奧妙無(wú)窮！

老師先用PPT播放唐朝詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題.我們把這兩句詩(shī)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述如下，并畫(huà)出相應(yīng)圖形如圖1：

將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河旁邊的C點(diǎn)飲馬，后再到B點(diǎn)宿營(yíng).請(qǐng)問(wèn)：怎樣走才能使總的路程最短？

【解決方案】只要從B出發(fā)向河岸引垂線(xiàn)，在垂線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上，取B關(guān)于河岸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接B′A，與河岸線(xiàn)相交于C，則C點(diǎn)就是飲馬的地方.將軍只要從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線(xiàn)走到C，飲馬之后，再由C沿直線(xiàn)走到B，所走的路程就是最短的.即AC+BC=AC+B′C=B′A.此題的本質(zhì)是利用軸對(duì)稱(chēng)的有關(guān)知識(shí)把線(xiàn)段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”來(lái)解決問(wèn)題.

這使我聯(lián)想到前天做過(guò)的一個(gè)思考題：如圖2，P為馬廄，牧馬人某一天從馬廄牽出馬，先到草地邊OA的某處牧馬，再到河邊OB某處飲馬，然后回到馬廄.請(qǐng)幫他確定這一天的最短路線(xiàn).這道題的解題思路其實(shí)跟上面問(wèn)題的本質(zhì)是一樣的（只是本題需用兩次軸對(duì)稱(chēng)），就是利用軸對(duì)稱(chēng)這一數(shù)學(xué)原理.只要分別作P關(guān)于兩邊的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′、P″并連接P′P″，交兩邊于M、N，此時(shí)PM+MN+PN最短.這時(shí)得到了一個(gè)數(shù)學(xué)模型：P為定點(diǎn)，在銳角∠AOB內(nèi)作一個(gè)周長(zhǎng)最短的△PMN的作法如圖3.

這時(shí)老師提出問(wèn)題2：當(dāng)點(diǎn)P為銳角∠ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，PM+MN+NP與哪些量有關(guān)呢？即其大小由哪些量決定？我的猜想是：可能與點(diǎn)P到角兩邊的距離、點(diǎn)P到角頂點(diǎn)的距離、∠AOB的大小有關(guān).于是，我們?cè)O(shè)計(jì)了幾張表格，設(shè)PB=r，以B為圓心，BP長(zhǎng)為半徑作圓，分別交BA、BC于D、E，如圖4.

在老師的幫助下，我們利用幾何畫(huà)板對(duì)一些相關(guān)數(shù)量進(jìn)行了測(cè)量，如表1～3.

表1 r不變，∠ABC不變，

點(diǎn)P在弧DPE上運(yùn)動(dòng)

表2 r變化，∠ABC不變

表3 r不變，∠ABC變化

在實(shí)驗(yàn)探究中，我們記錄并整理數(shù)據(jù)，再進(jìn)行合理的推測(cè)和猜想，我們得到了如下結(jié)論：

（1） 當(dāng)r為定值，∠ABC為銳角時(shí)，隨著角度的增加，PM+MN+NP變大.

（2） 當(dāng)銳角∠ABC為定值時(shí)，隨著r的增加，PM+MN+NP變大.

老師肯定了上述結(jié)論的正確性.接著老師又提出了問(wèn)題3：在已知銳角三角形ABC中求作一個(gè)內(nèi)接三角形（即頂點(diǎn)分別在△ABC三邊上的三角形），使所作的三角形的周長(zhǎng)最短.

我嘗試畫(huà)出圖形（如圖5），我把頂點(diǎn)D、E、F看成動(dòng)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)一時(shí)無(wú)從下手.老師提示：如果我們把所作三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都看成是動(dòng)點(diǎn)不好推理，我們是否可以考慮把其中某個(gè)點(diǎn)看成定點(diǎn)來(lái)尋找思路.老師的話(huà)讓我豁然開(kāi)朗：我先只把圖中的E、F看作是動(dòng)點(diǎn)，那么立刻轉(zhuǎn)化成問(wèn)題2，把D看作是定點(diǎn). 分別作點(diǎn)D關(guān)于AB、AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D1、D2，連接D1D2，分別交AB、AC于點(diǎn)F、E，如此一來(lái)，E、F就定了.問(wèn)題的下一步就是要讓點(diǎn)D動(dòng)起來(lái)，看點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到哪，和通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換得到其他兩點(diǎn)所圍成的△DEF周長(zhǎng)最短，于是問(wèn)題得解.

接下來(lái)我再次反思，又有不小收獲：由于∠A是定值，那么△DEF的周長(zhǎng)就與r（也就是AD）有關(guān)，要AD最短，就變成了“點(diǎn)到直線(xiàn)垂線(xiàn)段最短”的模型，那么我們就從點(diǎn)A出發(fā)，作AD垂直BC于D.進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，若以∠B為考察對(duì)象，則當(dāng)E為AC邊上的高與AC的交點(diǎn)，點(diǎn)F、D分別是點(diǎn)E關(guān)于BA、BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線(xiàn)與BA、BC的交點(diǎn)，此時(shí)△DEF的周長(zhǎng)最小.若以∠A、∠C為考察對(duì)象，也能得出同樣的結(jié)果. 即當(dāng)內(nèi)接三角形是△ABC的三條高的垂足所成的垂足三角形時(shí)，周長(zhǎng)最短.

在看到我們的探究成果后，老師嘖嘖贊嘆：你們剛才探究的這個(gè)問(wèn)題就是著名的“許瓦茲三角形”問(wèn)題，你們真是太棒了！在數(shù)學(xué)的世界里有許多奧秘等待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)、探索、猜想、證明，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是一把打開(kāi)數(shù)學(xué)殿堂大門(mén)的金鑰匙. 在這樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究中，我們受益匪淺.

教師點(diǎn)評(píng)：這是借助數(shù)學(xué)軟件展開(kāi)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一節(jié)實(shí)踐探究課. 兩位學(xué)生以課上的動(dòng)腦思考、動(dòng)手探究、口頭交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)為主線(xiàn)，細(xì)致而獨(dú)到地闡釋了自己的思考和收獲.正是在這樣的探索與反思中，學(xué)生收獲了解決問(wèn)題的方法，使得自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)得愈加完善.對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)更進(jìn)了一步.

（指導(dǎo)教師：陶建石）