蔡美娟
全等三角形對(duì)于平面幾何的學(xué)習(xí)有著十分重要的奠基價(jià)值,因?yàn)楹罄m(xù)很多圖形性質(zhì)(如角平分線、垂直平分線、等腰三角形、平行四邊形、圓等)都需要全等三角形的參與,類似代數(shù)中一元一次方程,也是后續(xù)很多數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).然而很多同學(xué)初學(xué)全等時(shí),常常感覺(jué)非常困難,主要障礙往往出在“對(duì)應(yīng)”上!如圖1,△ABC≌△A′B′C′,對(duì)應(yīng)關(guān)系很容易明確.
但是,很多幾何問(wèn)題的難點(diǎn)并不在于這種“標(biāo)準(zhǔn)圖形”的理解上,而是在“標(biāo)準(zhǔn)圖形”經(jīng)過(guò)恰當(dāng)?shù)淖儞Q成為“變式圖形”之后(如圖2~8),你是否還能準(zhǔn)確、快速地識(shí)別對(duì)應(yīng)關(guān)系呢?
下面我們來(lái)看兩個(gè)例題,了解非標(biāo)準(zhǔn)圖形下的三角形全等問(wèn)題.
例1 如圖9,點(diǎn)C、D在線段AB上,AC=DB,AE=BF,∠A=∠B.求證△CBF≌△DAE.
【分析】本題從已知條件看,很容易就聯(lián)想到應(yīng)該首先推導(dǎo)相等的這個(gè)內(nèi)角的另一條邊也是對(duì)應(yīng)相等的,也就是AD=BC,然后再證明三角形全等.
證明:因?yàn)锳C=DB(已知),
所以AC+CD=BD+CD,即AD=BC.
在△CBF和△DAE中,
AE=BF,
∠A=∠B,
AD=BC.
∴△CBF≌△DAE(SAS).
例2 如圖10所示,AD∥BC,AD=CB,求證:△ADC≌△CBA.
【分析】本題是在兩個(gè)三角形有公共邊AC的情況下進(jìn)行考慮的,也就是有兩組邊對(duì)應(yīng)相等.若要根據(jù)SAS來(lái)判斷兩個(gè)三角形全等,應(yīng)該首先推導(dǎo)以AC和AD的夾角∠2與CA和CB的夾角∠1也是對(duì)應(yīng)相等的,然后再證明三角形全等.
證明:因?yàn)锳D∥BC,
所以∠1=∠2.
在△ADC和△CBA中,
AD=CB,
∠1=∠2,
AC=CA.
所以△ADC≌△CBA(SAS).
【解后反思】如果再由證得的全等三角形出發(fā),同學(xué)們還能得出該四邊形ABCD中對(duì)邊AB、CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系嗎?
(作者單位:江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué))