郭健， 劉闖， 李凱琪

(南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，江蘇南京210016)

0 引言

有限元法是計(jì)算永磁同步發(fā)電機(jī)鐵心損耗分布的有效途徑之一［1－2］。而鐵耗的計(jì)算又是以轉(zhuǎn)子對應(yīng)不同位置磁場分布(旋轉(zhuǎn)磁場分布)的計(jì)算為基礎(chǔ)，然后再根據(jù)電機(jī)求解區(qū)域磁密的時(shí)域波形和鐵耗模型，進(jìn)一步計(jì)算得到損耗分布及總損耗的大小。

目前，對于旋轉(zhuǎn)磁場分布的計(jì)算一般都是采用模型重構(gòu)的方法［3－6］，即通過建立轉(zhuǎn)子處于不同位置時(shí)的有限元磁場模型來實(shí)現(xiàn)，其基本的求解流程如圖1所示?？梢钥闯?，這種方法對于每一個(gè)轉(zhuǎn)子位置的磁場分析都需要重復(fù)經(jīng)歷建模－劃分網(wǎng)格－加載激勵(lì)和邊界－求解的過程，若所分析電機(jī)的結(jié)構(gòu)較復(fù)雜時(shí)，其反復(fù)的建模將使得整個(gè)分析過程效率低下。同時(shí)，由于定子鐵耗計(jì)算的基礎(chǔ)是單元磁密的時(shí)域波形，但是模型重構(gòu)法在計(jì)算每個(gè)時(shí)刻磁場時(shí)(即轉(zhuǎn)子處于不同位置)都要重新建模－網(wǎng)格劃分，這將導(dǎo)致單元的形狀、大小及節(jié)點(diǎn)信息都有可能發(fā)生變化，而每個(gè)時(shí)刻得到的磁場結(jié)果都會(huì)由于下一個(gè)時(shí)刻重構(gòu)模型后單元信息的變更而無法保存，這就給定子鐵耗的準(zhǔn)確計(jì)算帶來了困難［7－9］。

圖1 轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)過程中磁場計(jì)算流程Fig.1 Calculation flow in the process of rotor rotation

針對模型重構(gòu)法存在的問題，文獻(xiàn)［10－11］提出一種處理電磁場有限元運(yùn)動(dòng)問題的新方法－運(yùn)動(dòng)邊界法。在該方法中，沿電機(jī)氣隙的中心線畫兩條完全重合的圓弧，將氣隙一分為二，它們分別屬于定子和轉(zhuǎn)子。對定子和轉(zhuǎn)子采用兩套相對獨(dú)立的坐標(biāo)系，定子坐標(biāo)系固定在定子上，不轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系固定在轉(zhuǎn)子上，并將隨轉(zhuǎn)子同步轉(zhuǎn)動(dòng)。由于運(yùn)動(dòng)邊界法不需要在計(jì)算過程中不斷地對有限元網(wǎng)格進(jìn)行調(diào)整，因此，計(jì)算的效率得到了提高，同時(shí)也為鐵耗準(zhǔn)確計(jì)算提供了可能。本文將在文獻(xiàn)［10－11］的基礎(chǔ)上，將運(yùn)動(dòng)邊界法中轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系統(tǒng)一到定子的靜止坐標(biāo)下，進(jìn)一步簡化旋轉(zhuǎn)磁場計(jì)算的前處理過程。以靜態(tài)邊界取代動(dòng)態(tài)邊界的本質(zhì)是定子、轉(zhuǎn)子都固定不動(dòng)，轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)僅通過邊界節(jié)點(diǎn)磁位耦合的順序來等效，從而使得計(jì)算效率進(jìn)一步提高。通過對電機(jī)磁力線及磁密分布的計(jì)算，證明了本文方法的有效性和高效率。同時(shí)本文還對靜止邊界法在永磁同步發(fā)電機(jī)鐵耗計(jì)算中的應(yīng)用進(jìn)行了研究。

1 靜止邊界法

1.1 電機(jī)磁場計(jì)算的有限元模型

對于軸向?qū)ΨQ的永磁同步發(fā)電機(jī)，忽略定子鐵心渦流弱磁作用，電機(jī)內(nèi)的磁場可簡化為二維靜態(tài)磁場來分析。若采用矢量磁位法，求解電機(jī)二維靜磁場的邊值問題為:

式中:Az為矢量磁位;Jz為電流密度矢量;v為磁阻率。

1.2 靜止邊界條件引入

靜止邊界即將整個(gè)電機(jī)模型從定、轉(zhuǎn)子間氣隙中心線割成兩個(gè)獨(dú)立的部分進(jìn)行建模和劃分網(wǎng)格，定子部分的內(nèi)邊界與轉(zhuǎn)子部分的外邊界在分割線位置重合、但不共線，如圖2所示。模型建好后，定、轉(zhuǎn)子模型就固定不動(dòng)，轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)只要通過改變定子內(nèi)邊界與轉(zhuǎn)子外邊界上對應(yīng)節(jié)點(diǎn)的磁位耦合順序來等效，從而實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)子、定子坐標(biāo)系的統(tǒng)一。

在保證旋轉(zhuǎn)磁場及氣隙磁場準(zhǔn)確計(jì)算的前提下，邊界節(jié)點(diǎn)的數(shù)量需根據(jù)電機(jī)槽、齒的數(shù)量進(jìn)行調(diào)整。為了方便理解靜止邊界法，本文以360個(gè)節(jié)點(diǎn)為例進(jìn)行介紹，其它節(jié)點(diǎn)數(shù)量的處理方式以此類推。如圖3中，若轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)速度為V(度/秒)，靜止邊界線上的節(jié)點(diǎn)為360個(gè)(定子、轉(zhuǎn)子邊界線各360個(gè)節(jié)點(diǎn)，且相鄰節(jié)點(diǎn)間等間距，間距為1度。)，在t=0時(shí)刻，通過將(r0，s0)、(r1，s1)…(r359，s359)對應(yīng)節(jié)點(diǎn)的磁位Az進(jìn)行耦合即可得到轉(zhuǎn)子初始位置的磁場分布，耦合方程如式(2)。

圖2 靜止邊界模型Fig.2 The stationary boundary model

在 t=45°/V 時(shí)刻將(r45，s0)、(r46，s1)…(r89，s44)、(r90，s45)…(r44，s359)對應(yīng)節(jié)點(diǎn)的磁位進(jìn)行耦合(如圖3(b)所示)，即可得到轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)45°位置的磁場分布;在 t=90°/V 時(shí)刻，將(r90，s0)、(r91，s1)…(r359，s269)、(r0，s270)…(r89，s359)對應(yīng)節(jié)點(diǎn)的磁位進(jìn)行耦合即可得到轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)90°位置的磁場分布，耦合方程如式(3);以此類推即可得到轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周在電機(jī)中各位置產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場波形。

圖3 轉(zhuǎn)子不同位置時(shí)靜止邊界線上的節(jié)點(diǎn)耦合Fig.3 Stationary boundary node’s coupling order corresponding to the positions of rotor

靜止邊界法通過邊界節(jié)點(diǎn)的磁位耦合順序來等效轉(zhuǎn)子的位置及旋轉(zhuǎn)，磁場分析的效率大大提高，其對應(yīng)的求解流程如圖1所示;同時(shí)靜止邊界條件的引入因?yàn)椴恍枰貥?gòu)模型，從而保證了單元的標(biāo)號(hào)、形狀及位置都不會(huì)隨著轉(zhuǎn)子的等效旋轉(zhuǎn)而發(fā)生改變，這就為準(zhǔn)確計(jì)算鐵心單元磁場時(shí)域解提供可能，同時(shí)也為后續(xù)鐵心損耗分布的準(zhǔn)確計(jì)算及溫度場計(jì)算時(shí)候分布熱源的耦合加載提供了便利的條件。

2 靜止邊界法驗(yàn)證

2.1 驗(yàn)證模型

本文以一臺(tái)500 W/100 000 r/min的高轉(zhuǎn)速永磁發(fā)電機(jī)為例，進(jìn)行靜止邊界法的有效性驗(yàn)證，驗(yàn)證模型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2(a)所示，模型對應(yīng)的參數(shù)如表1所示。

表1 模型參數(shù)Table 1 Model parameters

2.2 靜止邊界法對轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的等效

針對表1模型參數(shù)，分別采用模型重構(gòu)法和靜止邊界法對電機(jī)空載狀態(tài)下的旋轉(zhuǎn)磁場分布進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯?，兩種方法得到的定子中磁場分布一致。對于靜止邊界法，定子中的磁場會(huì)隨著節(jié)點(diǎn)耦合順序的改變而發(fā)生旋轉(zhuǎn)，具有與模型重構(gòu)法同樣的效果，證明了靜止邊界法模擬轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)過程的有效性。

某一時(shí)刻電機(jī)空載磁場的分布主要取決于轉(zhuǎn)子的位置，其與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速并無直接的關(guān)系。即轉(zhuǎn)子處于某一位置時(shí)(如圖4所示的4個(gè)轉(zhuǎn)子位置)，無論轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速是多少，其空間磁場的分布應(yīng)該不變。按此思路可以計(jì)算得到轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)到不同位置角θ時(shí)的磁位 A(θ)和磁密 B(θ)的數(shù)值。

轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為n轉(zhuǎn)/分時(shí)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)θ角度所經(jīng)歷的時(shí)間為

圖4 兩種方法的磁力線分布比較Fig.4 Comparison of two methods on magnetie field distribution

由此可以變換得到不同時(shí)刻對應(yīng)的時(shí)間域磁位A(t)和磁密B(t)數(shù)值。

按照圖1所示的求解流程，轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)過程中磁場計(jì)算是實(shí)現(xiàn)不同位置角θ時(shí)的磁位A(θ)和磁密B(θ)的分布計(jì)算，而磁場計(jì)算的后處理階段，則根據(jù)電機(jī)的實(shí)際轉(zhuǎn)速，將磁位A(θ)和磁密B(θ)轉(zhuǎn)換為時(shí)間域磁位A(t)和磁密B(t)。然后再進(jìn)一步計(jì)算發(fā)電機(jī)的感應(yīng)電動(dòng)勢、損耗或者溫升等性能參數(shù)。

2.3 靜止邊界法磁密計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證

圖5為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)90°時(shí)對應(yīng)的磁密分布，可以看出兩種方法計(jì)算的結(jié)果一致，最大磁密出現(xiàn)在定子鐵心的軛部，證明了靜止邊界法對電機(jī)磁密分布計(jì)算的準(zhǔn)確性。

圖5 兩種方法的磁密分布比較Fig.5 Comparison of two methods on magnetic flux density distribution

2.4 靜止邊界法與模型重構(gòu)法計(jì)算效率比較

選擇ANSYS軟件，并采用參數(shù)化程序?qū)崿F(xiàn)圖1所示的兩種計(jì)算流程，對兩種方法針對轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周的計(jì)算時(shí)間進(jìn)行比較，見表2。可以看出靜止邊界法由于不需要重復(fù)建模、劃分網(wǎng)格，其計(jì)算效率要明顯高于模型重構(gòu)法。這里還需要說明的是步長的選擇會(huì)影響到模型的單元精度、求解自由度的數(shù)量以及單次求解的時(shí)長，因此不同步長與計(jì)算時(shí)長之間并不存在絕對的線性關(guān)系。

表2 計(jì)算時(shí)間比較Table 2 Comparison of computation time

3 靜止邊界法在電機(jī)鐵耗計(jì)算中的應(yīng)用

電機(jī)定子損耗計(jì)算的核心是鐵耗模型的選擇，但是無論采用哪種鐵耗模型都必須基于定子鐵心中任一單元的時(shí)域磁密波形。靜止邊界法的引入為任一單元時(shí)域磁密波形的計(jì)算提供了可能。如圖6所示，在模擬轉(zhuǎn)子不同位置的過程中，由于轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)只是通過節(jié)點(diǎn)耦合順序?qū)崿F(xiàn)，所以定、轉(zhuǎn)子中單元的形狀、編號(hào)、所對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)信息都不發(fā)生變化。

為了說明鐵耗計(jì)算的方法，分別選擇如圖6所示的E1、E2、E3、E4四個(gè)單元，圖7為空載狀態(tài)下轉(zhuǎn)子處于不同位置時(shí)，四個(gè)單元對應(yīng)的徑向磁密波形及諧波分析圖。圖8為四個(gè)單元對應(yīng)的周向磁密波形及諧波分析圖。針對本文所提的驗(yàn)證模型，盡管磁密最大值出現(xiàn)在定子的軛部，但是其諧波含量相對較少;而定子的齒部磁密波形近似方波，其諧波量值較大。

圖6 有限元模型Fig.6 Finite element model

圖7 徑向磁密Fig.7 The radial magnetic flux density

圖8 周向磁密Fig.8 The circumferential magnetic flux density

根據(jù)諧波分析原理，電機(jī)中任意單元的磁通密度波形都可以分解成一系列的諧波分量，任意磁場波形下產(chǎn)生的鐵耗等于其基波和各次諧波分量產(chǎn)生的鐵耗之和［12－14］。因此各損耗組分的計(jì)算公式如下:

a)渦流損耗:

式中:r為鐵心電導(dǎo)率;h為鐵心厚度;k為諧波次數(shù);f為基波頻率;BP為第k次諧波對應(yīng)的磁密幅值;ρ為鐵心密度。

b)磁滯損耗:

式中:Bm為單元磁密的最大值;η為磁滯損耗系數(shù)，η是進(jìn)行鐵耗計(jì)算的關(guān)鍵參數(shù)，通過文獻(xiàn)［15］中的方法求取。

利用靜止邊界有限元法進(jìn)行磁場分析，可以得到定子鐵心中各個(gè)單元磁通密度矢量隨轉(zhuǎn)子位置變化的波形，對其進(jìn)行傅立葉分解，求得磁密的基波及各次諧波;根據(jù)式(2)、(3)求得鐵心中的各損耗組成。在此基礎(chǔ)上總損耗可進(jìn)一步由下式求得:

式中:NE為單元總數(shù);Pj為各單元的單位質(zhì)量鐵心損耗;ΔVj為各單元面積。

圖9為定子鐵心中損耗分布(單位W/kg)?？梢钥闯龆ㄗ訐p耗主要集中在定子齒部，這與圖5得到磁密最大的區(qū)域并不一致，這是因?yàn)樵邶X部區(qū)域的磁密諧波含量較高，從而導(dǎo)致了過高的損耗密度。

圖9 定子鐵心損耗分布Fig.9 Core loss distribution

電機(jī)鐵耗的準(zhǔn)確計(jì)算一方面取決于電機(jī)旋轉(zhuǎn)磁場分布的準(zhǔn)確計(jì)算，另一方面就是基于材料特性的鐵耗模型。這里要說明的是本文研究的重點(diǎn)并不是鐵耗模型的建立及選擇，而是在于靜止邊界條件在鐵耗計(jì)算中的應(yīng)用，以及該方法對鐵耗分布準(zhǔn)確計(jì)算的意義。

4 結(jié)論

本文提出一種高效計(jì)算永磁同步發(fā)電機(jī)旋轉(zhuǎn)磁場分布的靜止邊界法，該方法通過改變邊界節(jié)點(diǎn)磁位的耦合順序來等效轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的位置，克服了模型重構(gòu)法電磁計(jì)算過程中需反復(fù)建立模型所導(dǎo)致的效率底下問題。通過比較兩種方法的計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證了靜止邊界法在電機(jī)旋轉(zhuǎn)磁場計(jì)算時(shí)的正確性和高效性。同時(shí)靜止邊界法保證了在轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周的整個(gè)計(jì)算過程中，定、轉(zhuǎn)子模型中有限元單元的形狀、位置及構(gòu)成節(jié)點(diǎn)信息的一致性，為永磁同步發(fā)電機(jī)定子鐵耗分布的準(zhǔn)確計(jì)算提供了可能。

［1］劉瑞芳，嚴(yán)登俊，胡敏強(qiáng).永磁無刷直流電動(dòng)機(jī)場路耦合運(yùn)動(dòng)時(shí)步有限元分析［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2007，27(12):59－64.LIU Ruifang，YAN Dengjun，HU Minqiang.Field circuit and movement coupled time stepping finite element analysis on permanent magnet brushless DC motors［J］.Proceedings of the CSEE，2007，27(12):59－64.

［2］謝德馨，閻秀恪，張奕黃，等.旋轉(zhuǎn)電機(jī)繞組磁鏈的三維有限元分析［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2006，26(21):143－148.XIE Dexin，YAN Xiuke，ZHANG Yihuang，et al.Three dimensional finite element analysis of winding magnetic flux linkage in rotary electric machines［J］.Proceedings of the CSEE，2006，26(21):143－148.

［3］王愛龍，熊光煜.無刷雙饋電機(jī)時(shí)步有限元分析［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2008，28(21):123 －127.WANG Ailong，XIONG Guangyu.Analysis of brushless doublyfed machine by time stepping finite element method［J］.Proceedings of the CSEE，2008，28(21):123－127.

［4］孫玉坤，吳建兵，項(xiàng)倩雯.基于有限元法的磁懸浮開關(guān)磁阻電機(jī)數(shù)學(xué)模型［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2007，27(12):33－40.SUN Yukun，WU Jianbing，XIANG Qianwen.The mathematic model of bearingless switched reluctance motor based on the finiteelement analysis［J］.Proceedings of the CSEE，2007，27(12):33－40.

［5］黃允凱，胡虔生，朱建國.顧及旋轉(zhuǎn)鐵耗的高速爪極電機(jī)三維磁熱耦合分析［J］.電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2010，25(5):54－60.HUANG Yunkai，HU Qiansheng，ZHU Jianguo.Magneto-thermal analysis of a high-speed claw pole motor considering rotational core loss［J］.Transactions of China Electrotechnical Sosiety，2010，25(5):54－60.

［6］沈建新，李鵬，郝鶴，等.高速永磁無刷電機(jī)電磁損耗的研究概況(英文)［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2013，33(3):62－74，14.SHEN Jianxin，LI Peng，HAO He，et al.Study on electromagnetic losses in high-speed permanent magnet brushless machinesthe state of the art［J］.Proceedings of the CSEE，2013，33(3):62－74，14.

［7］韓力，王華，馬南平，等.無刷雙饋電機(jī)諧波銅耗與鐵耗的分析與計(jì)算［J］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2012，16(3):22－29.HAN Li，WANG Hua，MA Nanping，et al.Calculation and analysis of harmonic copper losses and iron losses of brushless doublyfed machine［J］.Electric Machines and Control，2012，16(3):22－29.

［8］孔曉光，王鳳翔，徐云龍，等.高速永磁電機(jī)鐵耗的分析和計(jì)算［J］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2010，14(9):26 －30.KONG Xiaoguang，WANG Fengxiang，XU Yunlong，et al.Analysis and calculation of iron losses of high-speed permanent magnet machines［J］.Electric Machines and Control，2010，14(9):26－30.

［9］羅富強(qiáng)，夏長亮，喬照威，等.PWM激勵(lì)下異步電機(jī)鐵耗等值電阻模型［J］.電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2012，27(7):101 －108.LUO Fuqiang，XIA Changliang，QIAO Zhaowei，et al.Model of equivalent iron loss resistance of induction motor fed by PWM［J］.Transactions of China Electrotechnical Sosiety，2012，27(7):101－108.

［10］嚴(yán)登俊，劉瑞芳，胡敏強(qiáng)，等.處理電磁場有限元運(yùn)動(dòng)問題的新方法［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2003，23(8):164 －168.Yan Dengjun，LIU Ruifang，HU Minqiang，et al.A new method to deal with the motion problem in electromagnetic field finite element analysis［J］.Proceedings of the CSEE，2003，23(8):164－168.

［11］章躍進(jìn)，張東.旋轉(zhuǎn)電機(jī)磁場計(jì)算中轉(zhuǎn)子的自由轉(zhuǎn)動(dòng)［J］.電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2006，21(8):1 －4，30.ZHANG Yuejin，ZHANG Dong.Rotor free movement in magnetic field computation of electric machines［J］.Transactions of China Electrotechnical Sosiety，2006，21(8):1－4，30.

［12］郭健，林鶴云，徐子宏，等.變壓器階梯接縫鐵心的損耗計(jì)算［J］.東南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，37(1):60 －63.GUO Jian，LIN Heyun，XU Zihong，et al.Co mputation of losses in step-lap lam inated transformer cores［J］.Journal of Southeast University:Natural Science Edition，2007，37(1):60－63.

［13］張艷麗，孫小光，白保東，等.晶粒無取向硅鋼片取向特性分析［J］.電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2013，28(2增):99－104.ZHANG Yanli，SUN Xiaoguang，BAI Baodong，et al.Analysis on oriented characteristics for non-grain oriented silicon steel sheet［J］.Transactions of China Electrotechnical Sosiety，2013，28(2):99－104.

［14］TENYENHUIS E G.Other factors contributing to the core loss performance of power and distribution transformers［J］.IEEE Transactions on Power Delivery，2001，16(4):648－653.

［15］MECHLER G F.Calculation of spatial loss distribution in stacked power and distribution transformer cores［J］.IEEE Transactions on Power Delivery，1998，13(2):532－537.