薛建陽(yáng)，黃小剛，高衛(wèi)欣，韓 琛，翟 磊

（西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院， 陜西 西安 710055）

近年來(lái)鋼結(jié)構(gòu)在我國(guó)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛．在多高層鋼結(jié)構(gòu)中，鋼框架體系(包括鋼框架-支撐結(jié)構(gòu)與純鋼框架結(jié)構(gòu))大量出現(xiàn)在鋼結(jié)構(gòu)住宅和鋼結(jié)構(gòu)廠房中，已經(jīng)成為一種常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)體系．鋼框架有良好的綜合經(jīng)濟(jì)性能，包括施工速度快，可以減少基礎(chǔ)造價(jià)和增加建筑面積等，發(fā)展建筑鋼結(jié)構(gòu)產(chǎn)業(yè)將成為國(guó)家的宏觀政策，傳統(tǒng)的鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法得到的計(jì)算結(jié)果較為保守，因此有必要對(duì)鋼框架體系進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，這對(duì)我國(guó)鋼結(jié)構(gòu)的推廣有很大的促進(jìn)作用．國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者[1-3]已經(jīng)做了一些優(yōu)化設(shè)計(jì)研究，取得了顯著的經(jīng)濟(jì)效益，但仍是基于以用鋼量最小為目標(biāo)函數(shù)的單目標(biāo)優(yōu)化，在受動(dòng)力荷載作用時(shí)動(dòng)力響應(yīng)一般較大．目前遺傳算法[4]等現(xiàn)代技術(shù)也被用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化，但其在優(yōu)化中常常出現(xiàn)“早熟”現(xiàn)象，需要采用編程語(yǔ)言對(duì)其改進(jìn)后實(shí)現(xiàn)在結(jié)構(gòu)工程中的應(yīng)用．由于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)變量常常不止一個(gè)，Ali[5]等以建筑物工程初始成本和全壽命周期震害成本為目標(biāo)變量，對(duì)鋼框架進(jìn)行基于性能的多目標(biāo)優(yōu)化，并提出采用NSGA-II算法來(lái)解決這類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題．在分析中如果能使結(jié)構(gòu)地震作用產(chǎn)生的應(yīng)變能減小也可降低震害成本．因此本文的優(yōu)化綜合考慮了結(jié)構(gòu)耗鋼量和地震作用產(chǎn)生的應(yīng)變能，以體積和應(yīng)變能最小為目標(biāo)函數(shù)對(duì)鋼框架進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化．

1 算例基本參數(shù)

圖1為單榀兩跨五層的鋼框架，抗震設(shè)防烈度為8度，抗震等級(jí)為三級(jí)，場(chǎng)地特征周期Tg=0.4 s，豎向荷載的取值原則如下：主梁自重(折算為均布荷載)和主梁上的墻體荷載按均布荷載計(jì)算，作用在主梁上，次梁傳遞的荷載為集中荷載，作用于主次梁連接處．表1列出了該框架梁柱采用的H型鋼截面，材質(zhì)為Q345B鋼，節(jié)點(diǎn)采用現(xiàn)場(chǎng)焊接，分析時(shí)假定為剛性連接．梁、柱的單元模型均選取單元BEAM188，并采用OPT模塊在材料彈性范圍內(nèi)進(jìn)行優(yōu)化，根據(jù)規(guī)范分四種工況進(jìn)行優(yōu)化分析，工況1：1.35恒載+0.7（1.4左風(fēng)+1.4活載），工況2：1.35恒載+0.7（1.4右風(fēng)+1.4活載），工況3：1.2重力荷載代表值+1.3左地震作用，工況4：1.2重力荷載代表值+1.3右地震作用[6-7]．

圖1 原框架結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖(mm)Fig.1 Diagram of frame structure

表1 原框架構(gòu)件截面Tab.1 Original frame components section

抗震鋼框架的總應(yīng)變能(Strain Energy)計(jì)算公式為：

其中：n為總層數(shù)；m為參與組合的振型數(shù)．Pij為第j振型下第i層的地震力，δi為相應(yīng)的側(cè)移，在ANSYS中通常把把結(jié)構(gòu)的重力荷載代表值換算為質(zhì)量元(MASS21)的實(shí)常數(shù)進(jìn)行模態(tài)分析后計(jì)算結(jié)構(gòu)的地震作用，經(jīng)計(jì)算可不考慮二階效應(yīng)．

2 多目標(biāo)優(yōu)化算法的選擇

2.1 約束法及TOPSIS法

多目標(biāo)優(yōu)化一般得不到同時(shí)滿足各個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解，只能從非劣解集中找到最適宜的均衡解來(lái)最大程度地逼近每個(gè)目標(biāo)的要求[8]．因此處理多目標(biāo)優(yōu)化需要解決非劣解的生成方法，多目標(biāo)決策技術(shù)和優(yōu)化方法等多個(gè)問(wèn)題來(lái)完成數(shù)學(xué)模型的建模．

約束法是一種傳統(tǒng)的生成非劣解的方法，其基本思路是在所有目標(biāo)中選擇一個(gè)作為主目標(biāo)，把其他目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為主目標(biāo)的約束條件來(lái)建立單目標(biāo)優(yōu)化模型，一般形式記為：

其中，εi為第i個(gè)目標(biāo)的上限值(i=1,2,…,m且i≠k)．

本文通過(guò)以體積最小作為優(yōu)化的主目標(biāo)，應(yīng)變能最小作為主目標(biāo)的約束條件，將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)數(shù)學(xué)模型來(lái)求解，可以簡(jiǎn)單有效的得到多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果的非劣解集，從非劣解集中找到一個(gè)最佳的均衡解有很多方法，為了便于編寫(xiě)成APDL參數(shù)化語(yǔ)言，同時(shí)計(jì)算簡(jiǎn)單直觀，決策原則采用基于理想點(diǎn)的決策方法（TOPSIS法）．

TOPSIS方法首先需要確定問(wèn)題的理想解和最不理想解，然后在非劣解集中找到一個(gè)方案，使其距離理想解最近，又距離最不理想解最遠(yuǎn)，在度量前首先要將多目標(biāo)問(wèn)題規(guī)范化：

其中，fij為第j個(gè)目標(biāo)對(duì)于第i個(gè)可行方案的優(yōu)化結(jié)果，并假設(shè)Z*為規(guī)范化后的理想點(diǎn)，Z-為最不理想解．容易算出，某一非劣解對(duì)于理想解的相對(duì)接近度Ci為：

2.2 優(yōu)化采用的數(shù)學(xué)模型

工程應(yīng)用中需要把實(shí)際工程問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)楹线m的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化問(wèn)題使用三類(lèi)變量來(lái)描述結(jié)構(gòu)參數(shù)，即設(shè)計(jì)變量，狀態(tài)變量和目標(biāo)函數(shù)[9]．結(jié)構(gòu)的跨度，層高等參數(shù)由建筑要求確定，因此我們只選擇梁、柱的截面尺寸作為優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量．在數(shù)學(xué)模型中狀態(tài)變量為目標(biāo)函數(shù)的約束條件，對(duì)鋼結(jié)構(gòu)優(yōu)化而言包括強(qiáng)度條件，柱的穩(wěn)定性驗(yàn)算，位移條件，受壓構(gòu)件長(zhǎng)細(xì)比，翼緣外伸部分寬厚比和腹板高厚比等．

梁、柱的截面尺寸包括H型鋼的高，寬，翼緣厚度和腹板厚度，當(dāng)設(shè)計(jì)變量較多時(shí)，如果設(shè)計(jì)初值離最優(yōu)值的差距較大，直接使用ANSYS優(yōu)化模塊中的一階尋優(yōu)法耗時(shí)會(huì)很長(zhǎng)，還有可能不收斂得不到最優(yōu)解，但得到的優(yōu)化曲線較為光滑，其一次迭代等價(jià)于多次循環(huán)分析，精度較高．函數(shù)逼近法獲得的優(yōu)化結(jié)果比較離散，對(duì)于較多的設(shè)計(jì)變量，其得到的優(yōu)化結(jié)果經(jīng)常不能滿足所有的約束條件．因此通常將函數(shù)逼近法和一階尋優(yōu)法搭配使用．

3 無(wú)支撐鋼框架多目標(biāo)優(yōu)化

為了將約束法及TOPSIS法運(yùn)用到鋼框架多目標(biāo)優(yōu)化中，本節(jié)基于ANSYS平臺(tái)對(duì)上述鋼框架進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)．在此以工況1的計(jì)算為例進(jìn)行說(shuō)明，分別把體積V最小和應(yīng)變能SE最小作為鋼結(jié)構(gòu)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化，結(jié)果如表2所示：

表2 不同目標(biāo)函數(shù)下的優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Optimizing results under different objective function

通過(guò)表2確定εi的變化范圍，，i=0,1,…,n-1，在以體積最?。╒olume）為目標(biāo)函數(shù)的單目標(biāo)優(yōu)化中增加約束條件（OPVAR, SE, SV,εi,εi+1），便可產(chǎn)生n個(gè)非劣解，表3為n=6時(shí)的優(yōu)化結(jié)果．

表3 約束法生成的非劣解Tab.3 Pareto solutions by constraint method

表4 優(yōu)化后構(gòu)件截面Tab.4 Optimized components section

表5 優(yōu)化后部分狀態(tài)變量Tab.5 The optimized partial state variables

根據(jù)表3可知當(dāng)i=2時(shí)為工況1下的均衡解，通過(guò)同樣的方法可得到其他工況下的均衡解，并將四種工況求得的每個(gè)設(shè)計(jì)變量的最大值列于表4，作為多目標(biāo)優(yōu)化后的最終截面，由于優(yōu)化中將決策變量假定為連續(xù)值，故需對(duì)結(jié)果進(jìn)行取整處理．另外提取優(yōu)化后結(jié)構(gòu)在各工況下的部分狀態(tài)變量，如表5所示，可以看出梁、柱各截面的應(yīng)力值均低于限值，柱長(zhǎng)細(xì)比和最大層間位移角對(duì)優(yōu)化結(jié)果起控制作用．

4 帶支撐鋼框架拓?fù)鋬?yōu)化

在單目標(biāo)優(yōu)化時(shí)以體積最小為目標(biāo)函數(shù)得到的鋼框架中梁、柱的強(qiáng)度均未達(dá)到規(guī)范限值，但其層間位移角接近1/250，導(dǎo)致算得的應(yīng)變能較大．為增大結(jié)構(gòu)的抗側(cè)向剛度，在此鋼框架的基礎(chǔ)上增加支撐，并對(duì)擬采用的支撐體系進(jìn)行多工況載荷下的靜力拓?fù)鋬?yōu)化，ANSYS采用變密度法通過(guò)改變單元偽密度來(lái)確定支撐桿件的最佳布置位置．鋼框架模型的網(wǎng)格尺寸為H/300，其中H為結(jié)構(gòu)總高度，梁、柱所在區(qū)域的網(wǎng)格不進(jìn)行優(yōu)化．拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)變量為豎向荷載+向左的地震力組成的工況1和豎向荷載+向右的地震力組成的工況2兩者分別作用下的柔度組合量，加權(quán)系數(shù)均為0.5，體積減小最高限為75%．圖2(a)為迭代25次后拓?fù)鋬?yōu)化得到的“桁架”型結(jié)果，將支撐的拓?fù)湫螤钷D(zhuǎn)化為相應(yīng)的支撐桿件，一～三層支撐取H175×175×8×12 mm，四、五層支撐取H175×150×6×8 mm，如圖2(b)所示，增加支撐后的框架梁、柱的截面應(yīng)力在8度多遇地震作用下也小于規(guī)范規(guī)定的限值．

圖2 鋼框架—支撐拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程Fig.2 Topology optimization of braced steel frame

5 不同優(yōu)化模型的地震反應(yīng)對(duì)比

表6為四種不同優(yōu)化工況下得出的結(jié)構(gòu)體積對(duì)比．為了評(píng)價(jià)和對(duì)比不同優(yōu)化模型的抗震性能，有必要對(duì)四種工況下的結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行推覆分析和彈塑性時(shí)程分析[10-11]．

表6 優(yōu)化后結(jié)構(gòu)體積對(duì)比Tab.6 Comparison of the volume of optimized structures

5.1 推覆分析

取優(yōu)化后的梁、柱截面分別建立有限元模型，為了評(píng)價(jià)優(yōu)化結(jié)構(gòu)的性能，采用振型加載法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行推覆分析，控制位移的最大值取為結(jié)構(gòu)高度的1/50，根據(jù)各構(gòu)件的受力特點(diǎn)，分別在梁、柱和支撐的相應(yīng)位置設(shè)置集中塑性鉸，塑性鉸采用基于FEMA356規(guī)范的默認(rèn)鉸屬性，圖3為優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)基底剪力隨頂點(diǎn)位移的變化情況，從圖可以看出，帶支撐鋼框架的頂點(diǎn)位移在達(dá)到控制位移后曲線剛達(dá)到平臺(tái)區(qū)，說(shuō)明支撐作為結(jié)構(gòu)的第一道抗震防線，有效避免了框架梁、柱過(guò)早進(jìn)入塑性狀態(tài)，其基底剪力峰值比原結(jié)構(gòu)高約7.2%．而單目標(biāo)優(yōu)化后的純框架基底剪力峰值比多目標(biāo)優(yōu)化后降低了約14.3%．

圖3 Pushover結(jié)果Fig.3 Pushover results

在側(cè)向力逐步施加的過(guò)程中，加支撐鋼框架結(jié)構(gòu)的出鉸順序大致為：上層支撐—三四層梁與柱變截面處—一二層梁與底部支撐．經(jīng)過(guò)多目標(biāo)優(yōu)化后的鋼框架的出鉸順序大致為：下部梁—下部柱—柱變截面處，說(shuō)明設(shè)計(jì)均符合規(guī)范中“強(qiáng)柱弱梁”的原則．圖中曲線近似由三段折線形成，第一段為彈性階段；第二段由于塑性鉸造成內(nèi)力重分配，曲線突然變緩；第三段曲線斜率再次放緩，塑性鉸逐步向極限狀態(tài)發(fā)展．

5.2 結(jié)構(gòu)層間位移

根據(jù)建筑場(chǎng)地類(lèi)別和設(shè)計(jì)地震分組選用EL Centro波和Taft波對(duì)原結(jié)構(gòu)和優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行彈塑性時(shí)程分析，塑性鉸的布置位置與推覆分析時(shí)相同，假定結(jié)構(gòu)剛接于剛性基礎(chǔ)上，結(jié)構(gòu)在峰值加速度分別為70 gal和400 gal時(shí)對(duì)應(yīng)的層間位移角如圖4和圖5所示：

圖4 峰值加速度分別為70gal時(shí)的結(jié)構(gòu)層間位移角Fig.4 Drift ratio of the structure when the maximum input acceleration is 70gal

圖5 峰值加速度分別為400 gal時(shí)的結(jié)構(gòu)層間位移角Fig.5 Drift ratio of the structure when the maximum input acceleration is 400 gal

從圖中可以看出，原結(jié)構(gòu)和優(yōu)化后結(jié)構(gòu)在峰值加速度為70 gal的EL Centro波和Taft波作用下的最大層間位移角小于《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》[7]多遇地震下彈性層間位移角限值1/250，在峰值加速度為400 gal的EL Centro波和Taft波作用下的最大層間位移角小于罕遇地震下彈塑性層間位移角限值1/50，但是單目標(biāo)優(yōu)化工況下鋼框架在不同地震波作用下的層間位移角大小變化較大．在峰值加速度為70 gal的EL Centro波作用下，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的層間位移角與原結(jié)構(gòu)差異不大；在峰值加速度為70 gal的Taft波作用下，多目標(biāo)優(yōu)化和加支撐優(yōu)化下結(jié)構(gòu)的層間位移角大于原結(jié)構(gòu)，但小于單目標(biāo)優(yōu)化后結(jié)構(gòu)．輸入峰值加速度分別為400 gal的EL Centro波和Taft波作用后原結(jié)構(gòu)不同位置均未出現(xiàn)塑性鉸，表明其設(shè)計(jì)過(guò)于保守，由于在Taft波作用下，采用優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞比在EL Centro波作用下嚴(yán)重，因此在圖6中給出了峰值加速度為400 gal的Taft波作用下鋼框架的出鉸位置．

圖6 峰值加速度為400 gal的Taft波作用下結(jié)構(gòu)的出鉸位置Fig.6 Plastic hinge position of different optimized structures when the maximum input acceleration of Taft wave is 400 gal

可以看出，增加支撐后單目標(biāo)優(yōu)化工況下，結(jié)構(gòu)的梁和柱沒(méi)有出現(xiàn)塑性鉸，塑性鉸基本集中在上層支撐上，而多目標(biāo)優(yōu)化工況下，鋼框架僅在一、二層梁端局部出現(xiàn)塑性鉸．

6 結(jié)論

(1) 合理選擇設(shè)計(jì)變量的范圍是優(yōu)化結(jié)果是否準(zhǔn)確的關(guān)鍵，為了實(shí)現(xiàn)“強(qiáng)柱弱梁”，規(guī)定梁截面的取值范圍均不大于柱截面．

(2) 本文采用約束法用生成非劣解直觀簡(jiǎn)單，易于使用，一般需要取較大的n值才能得到最佳均衡解，但是n值越大計(jì)算量也越大．

(3) 多目標(biāo)優(yōu)化后結(jié)構(gòu)體積減小了16.7%，但在70 gal和400 gal的EL Centro波和Taft波分別作用下各層的層間位移角滿足規(guī)范要求，其出鉸數(shù)量和位置比單目標(biāo)優(yōu)化后的鋼框架更為合理．

(4) 經(jīng)拓?fù)浞治鲈黾又魏螅瑔文繕?biāo)優(yōu)化得到的鋼框架體積較原結(jié)構(gòu)減小13.1%，框架—支撐體系在400 gal地震波作用下，上層支撐出現(xiàn)了大量塑性鉸，造成上層的層間位移角較大，但從Pushover分析得到的結(jié)果可以看出其抗側(cè)向荷載能力強(qiáng)于原結(jié)構(gòu)．

(5) 單目標(biāo)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)體積比原結(jié)構(gòu)減小了26.3%，但是在不同地震波作用下的層間位移角大小波動(dòng)較大，推覆分析中得到的基底剪力峰值比其他優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)都小，輸入峰值加速度為400 gal的地震波后結(jié)構(gòu)的大部分梁和底部柱上均出現(xiàn)了塑性鉸．

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