(海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系,山東煙臺264001)

0 引言

現(xiàn)代高科技局部戰(zhàn)爭的經(jīng)驗表明,制空權(quán)和信息快速獲取能力已成為決定戰(zhàn)爭勝負最為關(guān)鍵的兩個因素,兩者密不可分。在這種背景下,多站尤其是運動多站無源定位跟蹤系統(tǒng)[1-2]因為具有信息融合能力、隱蔽性好、機動性強、探測距離遠等優(yōu)點,已成為獲取戰(zhàn)場信息的重要手段,獲取戰(zhàn)場中機動目標的狀態(tài)信息是一個難點。

目前對機動目標的跟蹤多采用交互式多模型結(jié)構(gòu),研究的重點在于模型集的選擇和與模型集對應(yīng)的濾波算法性能的改進[3-6]。本文對后者進行研究。

目前,非線性濾波算法主要有三類:一是基于局部線性化的擴展卡爾曼濾波(EKF)類算法[7]。當(dāng)系統(tǒng)方程非線性程度較高時EKF類算法線性化誤差大,跟蹤性能不穩(wěn)定。二是基于確定性采樣點的sigma點卡爾曼濾波算法,包括不敏卡爾曼濾波(UKF)[8-9]算法、容積卡爾曼濾波(CKF)算法[10]等。這類算法采用一組帶有權(quán)值的確定性采樣點來近似統(tǒng)計量的均值和方差信息,可視為EKF算法的改進,目前應(yīng)用比較廣泛,盡管跟蹤精度有所提高,不過仍未解決EKF類算法的缺點。三是基于隨機采樣點的粒子濾波類算法[11]。盡管理論上粒子濾波類算法能很好地近似后驗概率密度函數(shù),但這需要無窮多隨機采樣點,實際應(yīng)用中只能選擇有限的采樣點且存在粒子退化現(xiàn)象,導(dǎo)致粒子濾波算法計算量大且跟蹤性能不理想。

為了更好地利用sigma點卡爾曼濾波算法的確定采樣點,文獻[12]提出了一種新的變換即邊緣化變換(MT)來計算隨機變量的前兩階矩信息(均值和方差)。邊緣化變換采用與UKF算法或者CKF算法相同的sigma點,不過將非線性函數(shù)建模為隨機過程并進一步將其描述為一系列Hermite多項式的線性組合,從而可以得到均值和方差的解析閉式解,保證了協(xié)方差矩陣的半正定性。MT假設(shè)Hermite多項式的系數(shù)具有分級先驗分布,這些系數(shù)的后驗概率分布可以通過變換后的sigma點求出,對系數(shù)進行積分可以消除其影響從而解析計算出變換后的均值和方差信息。

本文將MT應(yīng)用于狀態(tài)更新過程,提出了基于MKF的新的運動多站無源跟蹤算法,將其與IMM結(jié)合來實現(xiàn)對機動目標的高精度跟蹤,并對其性能進行了仿真分析。

1 機動目標跟蹤模型

考慮具有如下Markov跳變線性系統(tǒng)的機動目標狀態(tài)估計問題。

式中,X k和Z k分別表示k時刻目標的狀態(tài)及運動觀測站獲得的觀測量(本文采用的觀測量為角度),表示k-1時刻目標按第i個模型運動時的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,h k為與目標狀態(tài)及觀測站狀態(tài)有關(guān)的非線性函數(shù),過程噪聲與測量噪聲w k～N(0,R)相互獨立。假設(shè)目標在N個模型之間依Markov鏈進行轉(zhuǎn)移,轉(zhuǎn)換概率已知且k-1時刻模型轉(zhuǎn)移到k時刻模型j(記為

2 IMM-MKF算法

2.1 MKF算法

假設(shè)已知N個模型的初始狀態(tài)估計都為E[X0],初始協(xié)方差矩陣估計P0=E[(X0-對k∈{1,…,∞},因為狀態(tài)方程為線性,在最小均方根誤差(MMSE)準則下卡爾曼濾波(KF)是最優(yōu)濾波器,因此對第i個模型而言狀態(tài)預(yù)測過程通過KF來實現(xiàn),即

量測方程為非線性,本文采用M T來實現(xiàn)狀態(tài)更新,具體步驟為:

1)選擇先驗分布矩陣Σ,該矩陣是p×p的對角矩陣(p≤5),對角元素至少兩個非零。先驗矩陣為對角矩陣是因為假設(shè)θj的各個元素服從高斯分布且相互獨立。p≤5是因為M T最多能夠準確積分直到5階的多項式。

2)產(chǎn)生2n+1個sigma點χ=[X0,X1,…,X2n],即

式中,w和C為Hermite基函數(shù)的均值和協(xié)方差矩陣,C為對角矩陣,其對角元素如式(7)所示,H(χ)為在各sigma點處計算的Hermite多項式,Pθ|z為加權(quán)矩陣θ的后驗分布。式(6)～式(9)在遞推過程中為常量,可以提前計算,從而大大減小算法計算量。

4)求解變換后的sigma點即根據(jù)χ計算的觀測量點集

5)計算k時刻觀測量的一步預(yù)測值^Z k|k-1

6)估計θi,j先驗分布中的比例因子αj,用眾數(shù)作為其估計值,即

7)計算觀測量一步預(yù)測值的協(xié)方差矩陣

權(quán)增益及狀態(tài)更新過程與KF相同

通過上面推導(dǎo)可知,與EKF算法、UKF算法及CKF算法相比,MKF算法也保持了KF算法的結(jié)構(gòu),不同的是在對均值及協(xié)方差矩陣的估計上。

2.2 IMM-MKF算法流程

令k-1時刻第i個模型的模型概率為狀態(tài)估計為狀態(tài)估計協(xié)方差矩陣為,則從k時刻起IM M-MKF算法的計算流程為:

2)對k-1時刻狀態(tài)及其協(xié)方差估計的混合。k-1時刻與第j個模型匹配的MKF算法的混合初始估計為

3)濾波。k時刻得到觀測量z k后,將和作為此時與第j個模型匹配的MKF算法的輸入,進行濾波得到k時刻狀態(tài)估計及其協(xié)方差估計計算模型似然概率

式中,c為歸一化常數(shù),且

5)狀態(tài)及協(xié)方差融合估計。按模型概率對N個模型輸出的狀態(tài)估計進行加權(quán)可得k時刻對目標的狀態(tài)估計為

需要注意的是,步驟5)只是輸出最終結(jié)果,不參與IMM算法的遞推過程。

3 算法仿真

以三機只測角跟蹤為例對IMM-MKF算法的性能進行仿真分析。3架飛機作勻速直線運動且初始狀態(tài)分別為(-15 km,0 km,0 m/s,300 m/s)、(0 km,0 km,0 m/s,300 m/s)和(15 km,0 km,0 m/s,300 m/s)。目標機動,初始狀態(tài)為(60 km,80 km,-200 m/s,-100 m/s),前90 s作帶有加速度擾動的勻速直線運動,加速度擾動噪聲標準差91～120 s作轉(zhuǎn)彎率為-0.1 rad/s的勻轉(zhuǎn)彎運動,加速度擾動噪聲標準差121～200 s重作帶有加速度擾動的勻速直線運動。三機測角標準差相同,都為0.5°;觀測時間間隔Ts=1s,連續(xù)觀測200s;兩個模型的初始模型概率相等,即μ1=μ2=0.5,模型概率轉(zhuǎn)移矩陣各算法初始化都假設(shè)目標相對第一個觀測站的徑向距離在0～400 km內(nèi)服從均勻分布,目標沿x軸和y軸的速度分量在-500～500 m/s內(nèi)服從均勻分布,結(jié)合第一個觀測站初始時刻角度測量值及均勻分布的統(tǒng)計特性可得目標的初始狀態(tài)估計。對各算法200次蒙特卡洛實驗結(jié)果進行統(tǒng)計可得位置RMSE及模型概率估計(以模型2為例)如圖1和圖2所示。

從圖1和圖2可以看出,將IMM結(jié)構(gòu)和MKF算法結(jié)合的思想是有效的。圖1中盡管各種算法跟蹤性能趨于一致,但IMM-MKF算法收斂速度快,在跟蹤初期就具有很高的跟蹤精度,從而能為指揮員提供快速、高精度的目標指示結(jié)果。從圖1還可以看出IMM-MKF算法在跟蹤初期就很平穩(wěn),說明MKF算法對模型交互的穩(wěn)定性。此外,從圖2可以看出IMM-MKF算法能夠更準確地估計出模型的概率。

需要說明的是,盡管推導(dǎo)過程復(fù)雜,MKF算法的最終形式很簡潔,很多矩陣可以事先計算并存儲,計算量較小,便于工程實現(xiàn)。

4 結(jié)束語

本文將邊緣化變換(MT)引入狀態(tài)更新過程,提出了新的跟蹤算法即MKF算法,并將其與交互式多模型結(jié)合,提出了用于跟蹤機動目標的IMMMKF算法。仿真結(jié)果表明,上述改進思想是有效的,在本文的仿真場景中取得了比已有典型IMM算法更好的跟蹤性能,為解決機動目標的穩(wěn)健跟蹤提供了新的解決思路。

圖1 不同機動目標跟蹤算法性能比較圖

圖2 模型估計概率示意圖

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