張浩龍,江 冕,朱雪瑩,胡文龍

(1.中國科學(xué)院空間信息處理與應(yīng)用系統(tǒng)技術(shù)重點實驗室,北京100190;2.中國科學(xué)院電子學(xué)研究所,北京100190;3.中國科學(xué)院大學(xué),北京100049)

0 引言

地球同步軌道合成孔徑雷達(Geosynchronous Synthetic Aperture Radar,GEOSAR)相位定標系統(tǒng)具有十分重要的應(yīng)用價值,它通過一個位置精確已知的地面站系統(tǒng)發(fā)射線性調(diào)頻信號,經(jīng)過運行于地球同步軌道的衛(wèi)星轉(zhuǎn)發(fā)后發(fā)回地面站,然后由地面站對其進行處理。而相位定標,即通過信號處理的方法從地面站接收到的信號中提取相位的過程,其重要意義在于可以為成像后期處理提供精確的相位基準參考。然而,信號經(jīng)過長距離的傳輸后,地面站接收到信號的信噪比可能并不能達到精確的相位定標要求。為了能夠?qū)Υ肆炕治?本文先考察一下目前主要的測軌系統(tǒng)接收機接收的信號信噪比。

目前主要的測軌系統(tǒng)(或者具備測軌功能)包括GPS系統(tǒng)、DORIS(Doppler Orbiting and Radiopositioning Integrated by Satellite)系統(tǒng)、CAPS(China Area Positioning System)系統(tǒng)等。CAPS系統(tǒng)是基于同步軌道(GEO)衛(wèi)星的轉(zhuǎn)發(fā)式衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)[1-2],根據(jù)文獻[3]可知信號到達CAPS系統(tǒng)接收機的信噪比大約為-26.7 d B。對于運行于近地軌道的GPS系統(tǒng)和DORIS系統(tǒng),根據(jù)文獻[4]和文獻[5]可以看出,在通常情況下,系統(tǒng)接收機的接收信噪比都在-10 dB左右。如果將GPS系統(tǒng)和DORIS系統(tǒng)都運行在地球同步軌道上,則根據(jù)衰減功率與距離的關(guān)系P∝1/R2(單程),很容易算出由于距離帶來的功率下降大約在-30 d B,那么最后接收到的信號功率顯然會低于-40 dB。而GEOSAR定標系統(tǒng)如果采用與上述系統(tǒng)類似的接收和發(fā)射設(shè)備,則必然也會存在弱信噪比的問題。而弱信噪比會給GEOSAR相位定標系統(tǒng)帶來影響,一個提高信噪比的有效方法就是對信號進行相干積累,但在長時間積累過程中會給信號帶來一個非線性的附加相位調(diào)制。

容積卡爾曼濾波器(Cubature Kalman Filter,CKF)[6-7]是Arasaratnam等人于2009年提出的一種新的濾波方法,其既不需要對函數(shù)進行線性化,也不需要計算Jacobin矩陣,因此在非線性條件下依然具有較好的估計精度。本文擬采用CKF方法來解決非線性較強條件下的附加相位估計問題,然后在此基礎(chǔ)上構(gòu)造匹配濾波器對信號進行匹配濾波,從而實現(xiàn)信號的相干積累。

1 影響GEOSAR相位定標系統(tǒng)相干積累的因素

由以上分析可以看出,在信噪比低于一定值的情況下,提取到的相位可能帶有較大的估計誤差。事實上,根據(jù)Shimon Peleg和Boaz Porat的研究成果[8],有以下關(guān)系成立:

從式(1)可以看出,相位估計的方差受制于信號的SNR大小。

為了能夠提高相位估計精度,根據(jù)式(1)可知,必然需要提高信噪比。根據(jù)吳順君和梅曉春在文獻[9]中所推導(dǎo)出的結(jié)果,脈沖壓縮輸出脈沖信號峰值功率與輸入脈沖信號功率之比為

式中,B為輸入信號帶寬,T為有效脈沖寬度。

在GEOSAR相位定標系統(tǒng)中,信號帶寬B為固定值,因此只能通過相干積累的方法去提高信號的信噪比。根據(jù)式(2)可以知道,如果想要將信噪比提高20 dB,則需要積累到原先時間長度的100倍,而要將信噪比提高30 dB,則需要積累到原先時間長度的1 000倍。下面分析一下在長時間相干積累條件下影響積累的因素。首先假設(shè)在N個連續(xù)PRT時間內(nèi)接收到了N個回波信號,如下所示:

在信噪比條件比較差的情況下,需要對上述N個信號進行相干積累,即需要將N個信號組織為一個新的信號,如下所示:

如果能夠?qū)accul進行匹配濾波,此時新的信號的脈沖寬度等效于Tobs,Tobs=NTr,因此根據(jù)式(2)可知,若能夠進行相干積累則顯然可以提高信噪比,從而根據(jù)式(1)可知,便可以得到一個更為準確的相位估計。然而由式(3)又可以看出,如果要進行相干積累,則必須要補償式(3)中由于軌道 運 動 帶 來 的 附 加 相 位 Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?N-1。為此,需要分析一下GEOSAR的運動情況。圖1為一軌道傾角為60°,近地點幅角為90°,升交點赤經(jīng)為120°的地球同步軌道的“8”字形星下點軌跡圖。

圖1 地球同步軌道“8”字形星下點軌跡圖

由圖1可以看出,衛(wèi)星從1運動到2時與由3運動到5時,明顯線性度是不一樣的,因此帶來的附加相位Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?N-1在1～2段和3～5段也是不一樣的。圖2為分別用線性函數(shù)對1～2段和3～5段進行模擬后的誤差對比。

圖2 1～2段和3～5段線性擬合誤差對比

由圖2的對比可以看出,在衛(wèi)星運動非線性比較強的區(qū)域,用線性擬合的誤差明顯大于衛(wèi)星運動的非線性區(qū)域。這說明當使用線性模型(比如擴展卡爾曼濾波,即EKF)對衛(wèi)星運動非線性區(qū)域進行處理時必然導(dǎo)致較大的誤差。為此,下文提出了利用容積卡爾曼濾波方法來解決長時間積累的非線性問題。

2 采用容積卡爾曼濾波方法解決長時間積累的非線性問題

容積卡爾曼濾波器的核心在于利用帶權(quán)重的采樣點近似概率分布,通過球面積分方法求隨機變量與函數(shù)乘積的積分,進而估計變量的均值和方差。與傳統(tǒng)應(yīng)用很廣的擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter,EKF)相比,CKF既不需要對函數(shù)進行線性化,也不需要計算Jacobin矩陣。所以,理論上來說,CKF具備更優(yōu)的非線性逼近性能、數(shù)值精度以及濾波穩(wěn)定性。在隨后的仿真實驗中可以發(fā)現(xiàn),在圖1的3～5段中如果采用EKF會帶來較大的誤差,而CKF對于圖1的3～5段較強的非線性依然具有較好的處理結(jié)果。

為了使用容積卡爾曼濾波估計上述Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?N-1,需要先建立狀態(tài)方程,事實上,地球同步軌道衛(wèi)星除了受到地球中心引力以外,在軌運行時還受到其他攝動力的作用?？紤]到其他攝動力,衛(wèi)星的運動方程可以寫成:

將式(6)離散化后便可以根據(jù)CKF算法估計軌道運動附加相位。

2)CKF首先根據(jù)Cubature變換得到2n個具有相同權(quán)值的Cubature點來近似積分:

式中:m表示容積點總數(shù),采用三階容積原則時容積點總數(shù)是狀態(tài)維數(shù)的2倍,即m=2n,n為系統(tǒng)的狀態(tài)維數(shù);[1]j表示容積點集中的第j個元素。

3)時間更新

① 計算容積點

式中,Sk-1=chol{Pk-1},Pk-1為協(xié)方差矩陣,chol{}表示對矩陣進行Cholesky分解,即

② 計算通過狀態(tài)方程傳播的容積點

③ 狀態(tài)預(yù)測

④ 協(xié)方差預(yù)測

4)量測更新

① 計算容積點

② 計算通過測量方程傳播的容積點以及量測預(yù)測

③ 估計新息協(xié)方差以及互協(xié)方差

④ 估計卡爾曼增益以及狀態(tài)更新

⑤ 估計協(xié)方差

得到Pk后,便可以按照上述流程遞歸地進行下去。值得一提的是,初始參數(shù)的選擇對濾波結(jié)果的影響也十分重要,比如初始狀態(tài)協(xié)方差的確定、系統(tǒng)噪聲矩陣的確定等,具體可以參照文獻[11]的研究結(jié)果。

在得到對軌道運動附加相位Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?N-1的估計之后,便可以根據(jù)此估計構(gòu)造參考函數(shù)如下:

接著即可利用式(20)對式(4)進行匹配濾波得到最終所需的?。

3 仿真與分析

3.1 仿真實驗處理

為了驗證上述算法的有效性,本文用STK生成了一組地球同步軌道數(shù)據(jù),軌道參數(shù)為:軌道傾角為60°,近地點幅角為90°,升交點赤經(jīng)為120°,偏心率為0,半長軸為42241 km,同時在仿真時加上了衛(wèi)星攝動的影響。在利用上述軌道數(shù)據(jù)生成SAR定標信號時,采用了文獻[12]所提出的星載SAR回波信號仿真方法,其中雷達參數(shù)如表1所示。

表1 雷達參數(shù)

本文針對圖1所示的1～2段(衛(wèi)星運行線性段)以及3～5段(衛(wèi)星運動非線性段)兩段數(shù)據(jù)分別使用EKF和CKF算法進行估計,EKF的具體實現(xiàn)參照文獻[13]。圖3為在衛(wèi)星軌道運行線性比較理想的情況下分別采用CKF與EKF去估計Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?N-1時的估計誤差對比圖,而圖4為在衛(wèi)星軌道運行非線性比較強的情況下分別采用 CKF與 EKF去估計 Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?N-1時的估計誤差對比圖。

圖3 在衛(wèi)星線性運動區(qū)域由CKF估計的相位誤差與由EKF估計的相位誤差對比

圖4 在衛(wèi)星非線性運動區(qū)域由CKF估計的相位誤差與由EKF估計的相位誤差對比

在得到對Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?N-1的估計之后,便可以根據(jù)式(7)對信號進行相干積累。為了看出CKF算法相對于EKF算法對于相干積累最后結(jié)果的優(yōu)越性,本文針對衛(wèi)星非線性運動比較強的地方,分別采用CKF與EKF進行相干積累之后,然后對比一下其對于相位定標的影響。其中信號信噪比為-36 dB,積累長度N為100,并分別作了以下3條曲線對比,一條曲線為不使用相干積累直接使用單脈沖壓縮后得到的相位?的誤差,一條曲線為采用CKF估計出Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?99之后采用相干積累得到的相位?的誤差,一條曲線為采用 EKF估計出 Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?99之后采用相干積累得到的相位?的誤差,如圖5所示。

圖5 CKF、EKF和單脈沖壓縮結(jié)果對比

3.2 結(jié)果分析

圖3和圖4對比表明:CKF與EKF方法在衛(wèi)星軌道運行線性度很好的時候?qū)Ζ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?N-1的估計誤差是相差不大的,但是當衛(wèi)星軌道運動非線性十分明顯的時候,兩種方法的差異便十分明顯,這實際上由于EKF忽略高階項所導(dǎo)致的誤差,由此可見,CKF在解決非線性問題時依然具有十分高的估計精度。在得到對Δ?1,Δ?2,Δ?3,…,Δ?N-1的估計后,便可以進行N個脈沖的相干積累了,圖5是在衛(wèi)星軌道運動非線性十分明顯的時候,利用CKF、EKF和單脈沖壓縮之后的結(jié)果對比圖,從圖中可以明顯看到CKF的優(yōu)勢,計算上述三種方法的均方誤差分別如下:E(?CKF-?real)2=0.387,E(?EKF-?real)2=5.318,E(?Single-?real)2=3.929。通過對比可以發(fā)現(xiàn),結(jié)合CKF的相干積累方法比之單脈沖壓縮方法可以顯著地降低估計方差,而結(jié)合EKF的相干積累方法的方差甚至比單脈沖壓縮方法的方差都大,這是由于EKF算法截去高階項引入的誤差。由圖5也可以看出,在非線性較強的區(qū)域,EKF對附加相位的估計偏差十分大,因此給最終的相位估計也帶來了估計誤差。通過以上對比可以發(fā)現(xiàn)基于CKF的相干積累方法是有效的。

4 結(jié)束語

CKF有效地避免了EKF中截去高階項所帶來的誤差,因此在長時間積累過程中的非線性較強的區(qū)域依然有很好的估計精度。仿真結(jié)果表明,在衛(wèi)星軌道運動線性程度比較好的區(qū)域,CKF算法與EKF算法對軌道運動附加相位的估計是相差不大的,但是在衛(wèi)星軌道運動非線性較強的區(qū)域CKF算法得到的估計尤其優(yōu)于EKF算法。利用上述結(jié)果,本文在衛(wèi)星軌道非線性較強的區(qū)域進行100個波形的相干積累,基于CKF的相干積累算法由于能夠?qū)Ω郊酉辔挥休^為準確的估計,因此利用此準確的附加相位構(gòu)造的匹配濾波器去壓縮信號時,可以較好地實現(xiàn)相干積累,從而得到了較為準確的相位估計值,而基于EKF的相干積累算法由于在非線性區(qū)域EKF對附加相位較大的估計偏差,導(dǎo)致相干積累后的結(jié)果并不理想。同時,與未采用相干積累方法即單個脈沖壓縮時比較,相干積累方法確實可以提高相位估計精度。

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