何 漫,張亞璇,解洪文,胡進峰,李會勇,謝菊蘭

(1.中國運載火箭技術(shù)研究院研發(fā)中心,北京100076;2.電子科技大學電子工程學院,四川成都611731)

0 引言

OTHR中艦船等慢速海面目標的檢測是當前研究難點和熱點之一,受到廣泛關(guān)注[1-5]。慢速目標檢測的關(guān)鍵在于抑制海雜波從而顯出目標信號。由于慢速目標回波信號靠近強大的海雜波頻譜,容易被海雜波譜峰掩蓋,使海雜波抑制非常困難[1-3];此外,從理論上看,長相干積累時間(Coherent Integration Time,CIT)可以提高多普勒譜分辨率,有利于慢速目標的檢測。然而,實際工程中,長CIT會導致雷達探測范圍和數(shù)據(jù)率降低,同時會加劇電離層的不平穩(wěn)性引起的譜展寬效應,從而嚴重制約雷達對慢速海面目標的檢測,因此,目前天波雷達多采用短CIT[4-5]。而短CIT情況下多普勒分辨率較低,使得海雜波和目標信號更加難以區(qū)分,進一步加大了抑制海雜波的難度。

目前天波雷達的海雜波抑制方法主要有海雜波對消類方法[6-7]和子空間類方法[8-10]。海雜波對消類方法包括循環(huán)對消算法及其改進算法[6-7]等。這類方法在頻域上對雜波分量的參數(shù)進行估計,在時域上對信號進行處理,采用多次迭代將海雜波逐次消去,顯出目標。子空間類方法包括奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)的方法及其改進算法[8-9]、特征子空間(Feature Subspace,FS)法及其改進算法[10]等。此類方法利用相鄰參考距離單元的海雜波的相關(guān)性來構(gòu)建協(xié)方差矩陣,將其進行特征分解得到雜波子空間和信號子空間,把需要檢測的目標單元的回波信號投影到信號子空間中,從而抑制海雜波,留下目標信號。

上述方法主要是利用海雜波與目標信號的時頻特征不同來抑制海雜波,在目標速度較高時很有效。然而在短CIT、慢速目標情況下,目標與海雜波信號的時頻特征的區(qū)分度很小,上述方法易引起目標信號發(fā)生頻譜偏移,或者誤將目標當成海雜波對消而降低回波的信雜噪比。前者會造成較大的目標檢測誤差,后者使目標淹沒在海雜波中。

針對上述問題,本文注意到海雜波與目標信號有著不同的物理本質(zhì)特征:天波雷達中的海雜波是一種混沌信號[11-13],而目標信號不是混沌信號?；谠撍枷?本文提出一種基于回聲狀態(tài)網(wǎng)絡的海雜波抑制方法。該方法首先通過分析得出天波雷達海雜波具有混沌特性,然后根據(jù)海雜波與目標信號不同的動力學特征,對混沌海雜波進行重構(gòu)和抑制?？紤]到回聲狀態(tài)網(wǎng)絡具有非常強大的非線性映射能力,本文用該神經(jīng)網(wǎng)絡重構(gòu)和抑制海雜波:首先用海雜波參考信號來訓練該網(wǎng)絡,把海雜波的混沌動態(tài)特征映射到網(wǎng)絡;在此基礎上,進一步用訓練好的網(wǎng)絡重構(gòu)和預測天波雷達回波中的海雜波,雷達回波減去該重構(gòu)的海雜波,實現(xiàn)海雜波的抑制。對實測低速目標數(shù)據(jù)的處理結(jié)果表明,經(jīng)本文方法后的目標信號的頻譜比周圍雜波頻譜高了6.84 d B以上,而使用傳統(tǒng)的循環(huán)對消法以及SVD方法后目標信號的頻譜只比周圍雜波頻譜分別高1.53 dB和0.8 d B,因此本文方法具有更好的海雜波抑制效果。

1 回聲狀態(tài)網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)模型

回聲狀態(tài)網(wǎng)絡(Echo State Network,ESN)作為一種新型的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡,其隱含層是一個包含大量神經(jīng)元的稀疏網(wǎng)絡,神經(jīng)元個數(shù)遠遠多于其他神經(jīng)網(wǎng)絡,因而具有更強大的非線性映射能力;神經(jīng)元之間的稀疏連接(稀疏度為0.01～0.05)保證了網(wǎng)絡對信號的包容性,使網(wǎng)絡具有非常強的學習能力;同時,ESN又克服了傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)難確定、收斂速度慢以及訓練算法過于復雜等缺點,因而廣泛應用于非線性信號預測、模式識別及非線性系統(tǒng)建模等諸多領域[14-15]。

圖1是回聲狀態(tài)網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)模型,與傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡模型一樣,回聲狀態(tài)網(wǎng)絡也由輸入層、隱含層和輸出層構(gòu)成。但相比其他神經(jīng)網(wǎng)絡,ESN的隱含層是一個包含大量神經(jīng)元的稀疏網(wǎng)絡,具有動態(tài)特性以及短時記憶功能。隱含層中通常包含20～500個神經(jīng)元,神經(jīng)元之間采用稀疏連接的方式,且連接權(quán)Wres隨機產(chǎn)生。輸入信號u(n)通過輸入連接權(quán)Win與隱含層連接,輸入節(jié)點為K,輸出信號y(n)通過反饋連接權(quán)Wfb反饋給隱含層,輸入信號、隱含層的內(nèi)部狀態(tài)以及輸出信號的上一狀態(tài)共同通過輸出連接權(quán)Wout連接至輸出層。隱含層的內(nèi)部狀態(tài)更新方程為

式中,z(n)為隱含層的內(nèi)部狀態(tài)向量,v(n)為維持網(wǎng)絡穩(wěn)定的噪聲向量,f1為sigmoid函數(shù),記為

輸出方程為

式中,f2取恒等函數(shù),這樣輸出節(jié)點是線性的。

2 本文所提海雜波抑制方法

圖1 回聲狀態(tài)網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)模型

傳統(tǒng)的海雜波抑制方法基本上都是從海雜波與目標信號的時頻特征的不同來區(qū)分這兩類信號,從而達到抑制海雜波的目的。在高速目標情況下,這些方法能取得很好的效果;對于短CIT情況下的低速目標,這種區(qū)分度其實很小,造成海雜波抑制效果不理想。

本文直接從海雜波和目標信號不同動力學特征的角度來對兩類信號進行區(qū)分,具有更大的區(qū)分度。所以,在短CIT、低速目標情況下,本文方法對海雜波具有更好的抑制效果。

本節(jié)首先計算天波雷達海雜波的相空間參數(shù),并通過分析證明海雜波是一種混沌信號,在此基礎上,進一步提出使用回聲狀態(tài)網(wǎng)絡來對混沌海雜波進行重構(gòu)和抑制。首先用回聲狀態(tài)網(wǎng)絡獲得海雜波的內(nèi)在動力學特征;然后根據(jù)雜波信號和目標信號的動力學特征不同,繼續(xù)使用回聲狀態(tài)網(wǎng)絡對回波信號中的雜波成分進行重構(gòu)和對消,實現(xiàn)天波雷達海雜波抑制。

2.1 海雜波混沌性質(zhì)分析

傳統(tǒng)的天波雷達海雜波建模中,通常把海雜波近似成正弦信號疊加[1-5]。本節(jié)則首先研究天波雷達海雜波信號的物理特征,在此基礎上,將天波雷達海雜波建模成混沌信號,從而找出海雜波與目標信號在物理本質(zhì)特征上的不同。

下面首先計算海雜波信號的相空間重構(gòu)參數(shù),通過嵌入維數(shù)中穩(wěn)定性判斷準則判斷得出天波雷達海雜波信號是一種確定信號;然后進一步計算其最大Lyapunov指數(shù),最大Lyapunov指數(shù)為正表明海雜波信號是一種混沌信號。

2.1.1 海雜波的相空間參數(shù)

本節(jié)將一組不含目標信息的天波雷達回波作為參考單元來重構(gòu)海雜波的原始動力系統(tǒng),即對于海雜波序列{x(i),i=1,2,…,N},利用延遲時間τ構(gòu)造K維相空間矢量:

這里使用Cao氏法計算嵌入維數(shù)。計算過程如下:

首先計算海雜波K維相空間與K+1維相空間最近鄰點距離比值:

對于一個確定時間序列,存在某個K0,使E1(K)的值在K＞K0后不再變化,此時K0+1就是所求的最小嵌入維數(shù)。由于天波雷達海雜波數(shù)據(jù)是有限長序列,很難判斷E1(K)是在緩慢變化還是趨于穩(wěn)定,故補充判斷準則:

對于隨機序列,數(shù)據(jù)間沒有關(guān)聯(lián)性,所以無論K如何變化,E2(K)≡1。而對于確定序列,數(shù)據(jù)間的相關(guān)性隨嵌入維數(shù)K的變化而變化,故總存在K,使E2(K)≠1。通過所求E2(K)的值可以判斷海雜波信號確實是一種確定序列,不是隨機序列。

2.1.2 海雜波的最大Lyapunov指數(shù)

上述計算說明了天波雷達海雜波信號是一種確定信號,確定信號又分為混沌信號和非混沌信號。下面通過最大Lyapunov指數(shù)進一步驗證海雜波信號是一種混沌信號。

系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)反映了相空間中兩個相鄰軌跡之間的收斂和發(fā)散率,如果系統(tǒng)中至少有一個Lyapunov指數(shù)為正,則系統(tǒng)具有混沌特性[16]。

這里使用所需數(shù)據(jù)量較小以及計算復雜度低的Rosenstein小數(shù)據(jù)量法[17]計算天波雷達海雜波信號的最大Lyapunov指數(shù),具體計算過程如下:

式中,|j-j′|＞p,p為海雜波信號的平均周期。于是,海雜波信號的最大Lyapunov指數(shù)的計算式為

式中,i為相點j沿軌道的步長序數(shù),Δt為海雜波信號樣本周期,M為對海雜波進行相空間重構(gòu)的相點的個數(shù),dj(i)有如下近似關(guān)系:

對式(12)兩邊取對數(shù),得

通過對式(13)的斜率進行最小二乘逼近即可求得海雜波的最大Lyapunov指數(shù),即

式中,<·>表示按相空間點j求平均。

根據(jù)上述方法,可計算出海雜波的最大Lyapunov指數(shù)大于零,這就證明了天波雷達海雜波信號是一種天然的混沌信號。

2.2 基于混沌海雜波重構(gòu)的雜波抑制

上節(jié)的分析表明,天波雷達海雜波是一種混沌信號,而混沌信號在短時間內(nèi)是可以精確預測的。本文根據(jù)海雜波和目標不同的動力學特征,提出一種基于回聲狀態(tài)網(wǎng)絡的天波雷達雜波抑制方法。

該方法包括兩個階段:海雜波混沌特征提取階段以及海雜波預測和對消階段。在海雜波混沌特征提取階段,使用一組不包含目標信息的海雜波參考信號訓練回聲狀態(tài)網(wǎng)絡,使網(wǎng)絡“記住”海雜波內(nèi)部的動力學特征;在海雜波預測和對消階段,用前述訓練好的網(wǎng)絡,對需要檢測目標單元的回波信號中的海雜波進行一步預測。由于回波信號中雜波和目標的動力學特征不同,而回聲狀態(tài)網(wǎng)絡只記住了雜波的動力學特性,因此只能有效預測雜波,但不能有效預測目標信號,這樣目標信號成為預測誤差中的主要成分,從而實現(xiàn)海雜波抑制。

2.2.1 海雜波混沌特征提取

本文將一段海雜波參考信號作為輸入信號樣本訓練ESN系統(tǒng)獲得海雜波的內(nèi)在動力學特征。通常該參考信號是復信號,需要對信號的實部和虛部(I、Q通道)分別進行訓練來提取其混沌特征。這里以I通道的訓練為例。

如圖2所示,用于訓練的海雜波I通道數(shù)據(jù)為{ur(n),n=1,2,…,M},其中M為海雜波樣本個數(shù);在n時刻回聲狀態(tài)網(wǎng)絡的輸入向量ur(n)記為

圖2 海雜波混沌特征提取的示意圖

神經(jīng)元的內(nèi)部狀態(tài)向量完全反映了天波雷達海雜波信號的演化規(guī)律,在對ESN網(wǎng)絡訓練過程中,需要不斷更新隱含層內(nèi)部神經(jīng)元的狀態(tài)向量,使ESN“記住”海雜波內(nèi)部的混沌特征。這里內(nèi)部神經(jīng)元的初始狀態(tài)zr(0)=0。神經(jīng)元狀態(tài)更新方程可以表示為

式中:z(n)為神經(jīng)元的內(nèi)部狀態(tài)向量;v(n)為維持網(wǎng)絡穩(wěn)定的噪聲向量;Win,Wres和Wfb分別為回聲狀態(tài)網(wǎng)絡的輸入連接權(quán)值矩陣、神經(jīng)元內(nèi)部連接權(quán)值矩陣和反饋連接權(quán)值矩陣,這三個權(quán)值矩陣經(jīng)初始隨機生成后便不再改變。

在求出zr(n)后,通過如下輸出方程得到最優(yōu)輸出權(quán)值矩陣Woutr:該式是一個線性方程,其最優(yōu)權(quán)值可以使用最小均方(LMS)算法和遞歸最小二乘(RLS)算法等線性自適應算法求得。相比其他采用非線性方程求解最優(yōu)權(quán)值的神經(jīng)網(wǎng)絡而言,大大簡化了計算的復雜程度,提高了運算速度和權(quán)值收斂率。

2.2.2 海雜波預測和對消

回聲狀態(tài)網(wǎng)絡提取海雜波的混沌特征后,用其對海雜波進行預測和對消。在該階段,回聲狀態(tài)網(wǎng)絡的狀態(tài)更新函數(shù)以及輸出函數(shù)與海雜波特征提取階段保持一致,且網(wǎng)絡中的各個參數(shù)不再變化,此時ESN系統(tǒng)相當于一個內(nèi)部封閉的系統(tǒng)。

海雜波預測和對消過程如圖3所示,圖中以I通道數(shù)據(jù)ur(n)為例,將需要檢測目標單元的回波信號作為ESN的輸入信號,當通過經(jīng)海雜波訓練后的ESN系統(tǒng)時,系統(tǒng)輸出的信號是的一步預測信號。即在n時刻,輸入向量為

圖3 海雜波預測和對消示意圖

Q通道預測誤差～ei(n)的求解與I通道相同,在求得兩個通道的預測誤差序列后可求出總的預測誤差序列:

3 仿真結(jié)果分析

仿真采用某天波雷達的實測數(shù)據(jù),其部分參數(shù)如下:天波雷達工作頻率f0=14.34 M Hz,采樣脈沖數(shù)M=512,脈沖周期T=12 ms,相干積累時間CIT=6.14 s。

首先通過仿真計算出天波雷達海雜波的嵌入維數(shù),并證明海雜波信號是一種確定信號,然后計算其最大Lyapunov指數(shù)進一步證明海雜波是一種混沌信號。在此基礎上,用回聲狀態(tài)網(wǎng)絡提取海雜波的混沌動力特性,然后根據(jù)目標信號與海雜波的動力學特征不同,將輸入信號與回聲狀態(tài)網(wǎng)絡輸出的雜波預測值相減,從而顯出回波信號中的低速目標。實驗結(jié)果驗證了本文方法的有效性以及與其他傳統(tǒng)方法相比的優(yōu)越性。

3.1 海雜波混沌性質(zhì)分析

3.1.1 海雜波相空間參數(shù)

圖4是用2.1.1節(jié)的算法對某距離單元的實測海雜波的嵌入維數(shù)的計算結(jié)果。圖中,4條曲線分別是I通道的E1和E2曲線以及Q通道的E1和E2曲線。從圖中看出,I通道和Q通道的E2都不是一條恒等于1的曲線,而是在1附近上下波動,由此得出天波雷達海雜波不是一個完全的隨機信號,而是包含很多確定特征的確定信號;同時,I通道和Q通道的E1都在K=7之后基本保持不變,因此得出所求天波雷達海雜波的嵌入維數(shù)為7。

圖4 Cao氏法求最小嵌入維數(shù)

3.1.2 最大Lyapunov指數(shù)的計算

這里用上述仿真得出的嵌入維數(shù)進一步計算海雜波的Lyapunov指數(shù)。仿真使用與上節(jié)同樣的海雜波數(shù)據(jù),序列的平均周期通過計算海雜波能量光譜平均頻率的倒數(shù)獲得。

圖5是用2.1.2節(jié)小數(shù)據(jù)量法求最大Lyapunov指數(shù)的計算結(jié)果。從圖中可以看出,I通道和Q通道的平均分離率隨著i的演化都具有一個線性上升的區(qū)間。將此區(qū)間內(nèi)的曲線進行最小二乘逼近,得到的斜率即為海雜波的最大Lyapunov指數(shù)。由圖計算出I、Q兩個通道的斜率分別為λI=0.1125,λQ=0.1089,即兩個通道的最大Lyapunov指數(shù)都大于零。這就證明了天波雷達海雜波信號是一種天然的混沌信號。

圖5 小數(shù)據(jù)量法求最大Lyapunov指數(shù)

3.2 回聲狀態(tài)網(wǎng)絡的海雜波抑制過程

3.1節(jié)的仿真分析表明天波雷達海雜波具有混沌特性。下面利用回聲狀態(tài)網(wǎng)絡提取海雜波的混沌動力特性,實現(xiàn)海雜波抑制。

仿真選取兩組相鄰的實測海雜波信號:一組作為參考信號訓練回聲狀態(tài)網(wǎng)絡;另一組中添加一個艦船目標作為待檢測目標單元的回波信號。仿真時先初始化回聲狀態(tài)網(wǎng)絡中各個參數(shù),取內(nèi)部神經(jīng)元個數(shù)N為80,隨機產(chǎn)生一個連接率為0.03、譜半徑為0.9的系數(shù)矩陣Wres,矩陣Win和Wfb的權(quán)值服從(-1,1)的均勻分布。

3.2.1 海雜波特征提取階段的預測性能分析

這里使用一組實測海雜波參考信號訓練回聲狀態(tài)網(wǎng)絡。以I通道海雜波數(shù)據(jù)為例,仿真結(jié)果如圖6所示。圖6(a)是輸入信號與回聲狀態(tài)網(wǎng)絡的預測輸出信號曲線圖,從圖上看兩條曲線基本重合。繼續(xù)對其預測誤差進行分析,將兩信號相減后得到圖6(b)的預測均方誤差曲線圖,圖中預測均方誤差一直很小,即使在采樣點為220～228處信號變化比較劇烈的地方,預測均方誤差也在0.074以下。表明回聲狀態(tài)網(wǎng)絡對天波雷達海雜波信號具有很好的預測性能。

3.2.2 海雜波預測和對消階段雜波抑制性能分析

實測數(shù)據(jù)中沒有低速艦船目標,因此本文在與上節(jié)臨近的一組海雜波距離單元內(nèi)添加一個速度v=15 m/s的艦船目標,目標對應的多普勒頻率fd=1.0 Hz。由此得到的天波雷達回波譜如圖7所示。從圖中看出,海雜波能量占整個信號的主體部分,且主要分布在低頻區(qū)域,而艦船目標的多普勒頻率已經(jīng)非常接近海雜波譜,使目標很難在強大的海雜波頻譜中分離出來。

圖6 I通道海雜波數(shù)據(jù)的預測結(jié)果

圖7 天波雷達回波譜

圖8(a)為式(17)得到的總的預測誤差序列的頻譜圖。圖中預測誤差序列的頻譜在有艦船目標的地方明顯高于其他地方,表明輸入信號中的雜波成分得到良好的抑制。后續(xù)工作只需設置合適的檢測門限即可得出艦船目標的信息。圖8(b)為經(jīng)文獻[6]所提循環(huán)對消法抑制海雜波后的頻譜圖。本仿真試驗中,海雜波對消迭代次數(shù)取29次,獲得該方法的最佳效果。從圖上看,雖然艦船目標頻譜在整個頻譜軸上最高,但效果并不明顯,目標譜線周圍仍有很強的雜波殘留,后續(xù)對艦船目標的檢測仍然十分困難。圖8(c)為經(jīng)文獻[8]所提SVD算法的目標回波頻譜圖。本仿真試驗中去掉兩個最大奇異值能得到最佳的海雜波抑制效果。由圖看出,艦船目標基本淹沒在殘留的雜波中,使目標信號與雜波難以區(qū)分。

圖8 幾種海雜波抑制方法比較結(jié)果

為了進一步比較上述幾種海雜波抑制方法的處理結(jié)果,將圖8分別進行局部放大,得到的結(jié)果如圖9所示。從圖中看出,使用傳統(tǒng)的循環(huán)對消法以及SVD方法后,艦船目標周圍仍然有很強的雜波殘留,目標信號的頻譜只比周圍雜波頻譜分別高1.53 dB和0.8 dB,檢測起來非常困難。而使用本文方法后,目標信號的頻譜比周圍雜波頻譜高了6.84 dB以上,從圖中看出目標信號在頻譜中出現(xiàn)一個很高的尖峰,容易從雜波中識別出來,這就證明了本文方法對實測數(shù)據(jù)低速目標中的海雜波具有更好的抑制效果。

圖9 幾種海雜波抑制方法比較的局部放大圖

4 結(jié)束語

考慮到海雜波與目標信號具有不同的動力學特征,本文提出一種基于回聲狀態(tài)網(wǎng)絡的天波雷達海雜波抑制方法。該方法首先用海雜波參考信號訓練回聲狀態(tài)網(wǎng)絡,使該神經(jīng)網(wǎng)絡“記住”海雜波的混沌動態(tài)特征;然后用前述訓練好的網(wǎng)絡重構(gòu)和預測天波雷達回波中的海雜波,雷達回波減去該重構(gòu)的海雜波,實現(xiàn)海雜波的抑制。實測數(shù)據(jù)處理結(jié)果證明了與傳統(tǒng)的循環(huán)對消法以及SVD方法相比,本文方法在短CIT和低速目標情況下,具有更好的海雜波抑制效果。

[1]FABRIZIO G A.High Frequency Over-the-Horizon Radar[M].NY,USA:McGraw-Hill,2013.

[2]李萬閣,胡進峰,李強,等.OTHR低信噪比下的機動目標檢測算法[J].雷達科學與技術(shù),2014,12(4):373-378.LI Wan-ge,HU Jin-feng,LI Qiang,et al.Maneu-vering Target Detection Algorithm with Low Signal-to-Noise Ratio in OT H Radar[J].Radar Science and Technology,2014,12(4):373-378.(in Chinese)

[3]游偉,何子述,胡進峰.基于匹配場處理的天波雷達高度估計算法[J].電子與信息學報,2013,35(2):401-405.

[4]胡進峰,艾慧,李強,等.基于連接層的天波雷達高度估計算法研究[J].雷達科學與技術(shù),2014,12(4):343-349.HU Jin-feng,AI Hui,LI Qiang,et al.Skywave Radar Altitude Estimation Algorithm Based on Joining Layer Model[J].Radar Science and Technology,2014,12(4):343-349.(in Chinese)

[5]SAVERINO A L,CAPRIA A,BERIZZI F,et al.Frequency Management in HF-OTH Skywave Radar:Ionospheric Propagation Channel Representation[J].Progress In Electromagnetics Research B,2013,50(1):97-111.

[6]ROOT B T.HF-Over-the-Horizon Radar Ship Detection with Short Dwells Using Clutter Cancellation[J].Radio Science,1998,33(4):1095-1111.

[7]CANDAN C.Analysis and Further Improvement of Fine Resolution Frequency Estimation Method from Three DFT Samples[J].IEEE Signal Processing Letters,2013,20(9):913-916.

[8]KHAN R H,LE-NGOC S.A Singular Value Decomposition(SVD)Based Method for Suppressing Ocean Clutter in High Frequency Radar[J].IEEE Trans on Signal Processing,1993,41(3):1421-1425.

[9]薄超,顧紅,蘇衛(wèi)民.基于高階奇異值分解的OTHR海雜波抑制算法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2014,36(5):872-878.

[10]WANG G,XIA X,ROOT B T,et al.Moving Target Detection in Over-the-Horizon Radar Using Adaptive Chirplet Transform[J].Radio Science,2003,38(4):1-24.

[11]盛文,任吉.天波超視距雷達海雜波的混沌動態(tài)特性分析[J].電波科學學報,2012,27(2):350-358.

[12]董華春,宗成閣,權(quán)太范.高頻雷達海洋回波信號的混沌特性研究[J].電子學報,2000,28(3):25-28.DONG Hua-chun,ZONG Cheng-ge,QUAN Taifan.Chaotic Characteristics in HF Radar Backscatter from the Ocean Surface[J].Acta Electronica Sinica,2000,28(3):25-28.(in Chinese)

[13]劉建廠.混沌理論在海雜波研究中的應用[J].雷達科學與技術(shù),2004,2(4):206-210.LIU Jian-chang.Application of Chaos Theory to Sea Clutter Research[J].Radar Science and Technology,2004,2(4):206-210.(in Chinese)

[14]宋彤,李菡.基于小波回聲狀態(tài)網(wǎng)絡的混沌時間序列預測[J].物理學報,2012,61(8):90-96.

[15]JAEGER H,HAAS H.Harnessing Nonlinearity:Predicting Chaotic Systems and Saving Energy in Wireless Communication[J].Science,2004,304(5667):78-80.

[16]徐紅梅,郭樹旭.基于符號相對熵的Logistic混沌系統(tǒng)時間不可逆性分析[J].電子與信息學報,2014,36(5):1242-1296.

[17]ROSENSTEIN M T,COLLINS J J,DE LUCA C J.A Practical Method for Calculating Largest Lyapunov Exponents from Small Data Sets[J].Physica D,1993,65(12):117-134.