史雪輝,朱 偉,鄭 禹

(1.中國人民解放軍海軍駐合肥地區(qū)軍事代表室,安徽合肥230088;2.中國電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所,安徽合肥230088;3.安徽建筑大學(xué),安徽合肥230601)

0 引言

壓縮感知(Compressed Sensing,CS)理論[1]與Nyquist采樣定理不同,它指出只要信號是可壓縮的或在某個變換域是稀疏的,那么就可以用一個與變換基不相關(guān)的觀測矩陣將高維信號投影到一個低維空間上,將信號的采樣變成信息的采樣,然后通過求解一個優(yōu)化問題就可以從這些少量的投影中高概率重構(gòu)出原信號,可以證明這樣的投影包含重構(gòu)信號的足夠信息。在CS理論框架下,采樣速率不決定于信號的帶寬,而決定于信息在信號中的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容[2],突破了Nyquist采樣定理的限制,為信號的采集和處理提供了新的思路。

實際中,被測目標(biāo)在空域內(nèi)是稀疏的,因此可以將目標(biāo)DOA估計問題看成是一個稀疏向量的重構(gòu)問題,該稀疏向量中非零元素的位置信息表征目標(biāo)的角度信息,即空間譜是稀疏的。隨著壓縮感知理論的逐漸發(fā)展,其在陣列DOA估計領(lǐng)域中的應(yīng)用也開始嶄露頭角。文獻(xiàn)[3]將稀疏分析引入到陣列DOA估計中,通過對空間角度的離散化建立稀疏重構(gòu)模型,然后使用二階錐規(guī)劃求解優(yōu)化問題;文獻(xiàn)[4]采用空域稀疏的概念,提出l-1 SVD算法,能直接應(yīng)用于相干源的DOA估計,但在其優(yōu)化問題求解過程中,最優(yōu)正則化參數(shù)的選取仍需要進(jìn)一步研究;文獻(xiàn)[5]提出的高分辨DOA估計算法,在一定程度上也受正則化參數(shù)選取的困擾;文獻(xiàn)[6]利用多個時刻的陣元接收數(shù)據(jù)的隨機(jī)投影重構(gòu)一個稀疏的角空間場景,給出信源數(shù)及其DOA,在低信噪比情況下無法適用;文獻(xiàn)[7]提出一種壓縮采樣陣列,能有效降低硬件規(guī)模,采用多測量矢量欠定系統(tǒng)聚焦求解(MFOCUSS)算法實現(xiàn)DOA估計,但該算法在快拍數(shù)較多時運算復(fù)雜度較高,在低信噪比情況下估計性能較差;文獻(xiàn)[8]在壓縮采樣陣列的基礎(chǔ)上,提出一種基于奇異值分解的壓縮采樣陣列DOA估計算法,利用陣列結(jié)構(gòu)建立過完備原子庫,對接收數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行奇異值分解,最后將信號子空間分解到最佳基向量上,實現(xiàn)空域信號DOA的高分辨估計,但要求陣元數(shù)較多。

針對以上問題,本文提出基于協(xié)方差矩陣CS、陣列內(nèi)插CS和波束空間CS的DOA估計算法,利用目標(biāo)在空域的稀疏性,分別在協(xié)方差矩陣、虛擬內(nèi)插陣和波束空間上進(jìn)行壓縮采樣,構(gòu)建出新的DOA估計壓縮感知模型,通過稀疏重建算法來進(jìn)行信號重構(gòu),得到目標(biāo)的高分辨DOA估計。最后給出計算機(jī)仿真結(jié)果。

1 基于壓縮感知的DOA估計模型

考慮K個遠(yuǎn)場窄帶信號入射到M個各向同性陣元組成的均勻線陣,信源個數(shù)已知,且M＞K,陣元間距為d,信號入射角為θi(i=1,2,…,K),則陣列在t時刻的接收信號為

式中:x為M×1維的陣元接收數(shù)據(jù);n為M×1維的白噪聲,滿足零均值、方差為σ2的復(fù)高斯分布,各陣元輸出噪聲統(tǒng)計獨立;s=[s1,s2,…,sK]T為K×1維的信號矢量;A為M×K維陣列流型:

式中,a(θi)=[1,a(θi),…,aM-1(θi)]T為第i個信源的導(dǎo)向矢量,a(θi)=ex p(-j2πd sin(θi)/λ,λ為入射信號的波長。

信源是空域稀疏的,采用某種空間網(wǎng)格劃分可以實現(xiàn)其稀疏性表示。將需要考慮的空間劃分為{θ1,θ2,…,θN},假設(shè)每個θn(n=1,2,…,N)都對應(yīng)一個潛在的信源sn。為了體現(xiàn)信源的空域稀疏性,N?K,這樣就構(gòu)造一個N×1維的空域稀疏信號S=[s1,s2,…,sN]T,在S中只有實際存在目標(biāo)的K個位置有非零元素,其他N-K個位置均為零。因此,式(2)可以寫為

式中,Ψ為信號稀疏化表示以后對應(yīng)M×N維陣列流型,也被稱為超完備冗余字典。顯然,x和S是等價的。

通過求解如下1范數(shù)優(yōu)化問題,就可以對式(3)進(jìn)行信號重構(gòu):

CS理論指出,把陣列的量測信號x投影到另一個與Ψ不相關(guān)的L×M(L?M)維觀測矩陣Φ上,即用觀測矩陣Φ對x進(jìn)行線性變換,得到L×1維的觀測信號y,從而實現(xiàn)對x的空域壓縮采樣[9](Spatial CS,S-CS):

通過求解如下最優(yōu)化問題可以從觀測信號y中高概率地重構(gòu)信號矢量S:

式中,β為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差。同時CS理論指出信號稀疏性越強(qiáng)(K越小,即信源個數(shù)越少),重構(gòu)誤差越小[10]。

常用的重構(gòu)算法可以分為如下幾類:

1)貪婪追蹤算法:這類方法是通過每次迭代時選擇一個局部最優(yōu)解來逐步逼近原始信號。這些算法包括正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)算法[11]等。

2)凸松弛法:這類方法通過將非凸問題轉(zhuǎn)化為凸問題求解找到信號的逼近,如內(nèi)點法[12]等。

3)組合算法:這類方法要求信號的采樣支持通過分組測試快速重建,如鏈?zhǔn)阶粉橻13]等。

但是每種算法都有其固有的缺點。凸松弛法重構(gòu)信號所需的觀測次數(shù)最少,但往往計算量較大。貪婪追蹤算法在運行時間和效率上都位于另兩類算法之間。

2 壓縮感知在DOA估計中的應(yīng)用

實際中,大部分陣列都為均勻布陣,而且受陣列大小限制,陣列的量測信號x維數(shù)有限,相應(yīng)對x進(jìn)行壓縮采樣得到的觀測信號y維數(shù)過小,利用y進(jìn)行稀疏重構(gòu)得到的信號S誤差較大,因此S-CS算法在DOA估計中性能較差。

2.1 協(xié)方差矩陣CS算法

量測信號x的維數(shù)為M,其協(xié)方差矩陣的維數(shù)為M×M,對協(xié)方差矩陣進(jìn)行壓縮采樣可以獲得維數(shù)較大的觀測信號y,再進(jìn)行稀疏重構(gòu),稱為協(xié)方差矩陣CS算法[14](Covariance Matrix CS,CM-CS)。

陣列量測信號矢量x的協(xié)方差矩陣R為

式中,RS為信源協(xié)方差矩陣,σ2n為噪聲功率。當(dāng)各信源不相關(guān)時,RS為實值對角陣。

對式(7)矩陣矢量化得到

式中,Rv=vec(R),Ψv=[av(～θ1),av(～θ2),…,N),Sv=diag(RS),Sv和S包含相同的空域信息,Iv=vec(I)。

Rv為M2×1維矢量,用L×M2(L?M2)維觀測矩陣ΦC對Rv進(jìn)行壓縮采樣,得到L×1維的觀測信號y:

因此,式(6)的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為

從以上公式推導(dǎo)中可以看出,只有在信源不相干時,RS才為實值對角陣,針對相干信源問題,提出以下的陣列內(nèi)插CS算法和波束空間CS算法。

2.2 陣列內(nèi)插CS算法

通過對M個陣元進(jìn)行陣列內(nèi)插,得到陣元為Q(Q?M)的虛擬陣列,從而提高陣列量測信號的維數(shù),然后對虛擬陣列的量測信號進(jìn)行壓縮采樣,獲得的觀測信號y維數(shù)較大,再進(jìn)行稀疏重構(gòu),稱為陣列內(nèi)插CS(Interpolated Arrays CS,IA-CS)算法。

假設(shè)信源位于空域Θ內(nèi),將空域Θ劃分為P(P?M)份:

式中,θl,θr為Θ的左右邊界,Δθ為步長。則在空域Θ內(nèi),真實陣列的陣列流型矩陣為

在同一空域Θ內(nèi),通過陣列內(nèi)插后到的虛擬陣列的陣列流型矩陣為

因此,內(nèi)插變換矩陣BI為

在考慮噪聲的情況下得到內(nèi)插變換矩陣BI為

對內(nèi)插變換矩陣BI進(jìn)行預(yù)白化處理,得到白化內(nèi)插變換矩陣TI:

通過陣列內(nèi)插得到的虛擬陣列的量測信號為

zI為Q×1維矢量,用L×Q(L?Q)維觀測矩陣ΦI對zI進(jìn)行壓縮采樣,得到L×1維的觀測信號y:

因此,式(6)的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為

2.3 波束空間CS算法

S-CS算法、CM-CS算法和IA-CS算法都是建立在陣元域,即每個陣元都對應(yīng)一個數(shù)據(jù)通道,可以先將陣列的量測信號矢量x變換至波束域,然后對波束域的量測信號進(jìn)行壓縮采樣,再進(jìn)行稀疏重構(gòu),稱為波束空間CS(Beam Space CS,BS-CS)算法。

假設(shè)信源位于空域Θ內(nèi),空域Θ的定義如式(11),在空域Θ內(nèi)進(jìn)行波束形成得到P個波束,波束變換矩陣BB為

對波束變換矩陣BB進(jìn)行預(yù)白化處理,得到白化波束變換矩陣TB:

通過波束變換后得到的波束域量測信號為

zB為P×1維矢量,用L×P(L?P)維觀測矩陣ΦB對zB進(jìn)行壓縮采樣,得到L×1維的觀測信號y:

因此,式(6)的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為

3 計算機(jī)仿真

仿真過程中,針對垂直布置的20個水平極化天線陣元組成的等距布陣,陣元間距半波長,雷達(dá)架高20 m,地面反射系數(shù)為-0.95,載波頻率為300 MHz,只考慮鏡面反射。將前后向空間平滑MUSIC算法[15](SS-MUSIC)、交替投影最大似然[16](AP-ML)、多測量矢量欠定系統(tǒng)聚焦求解算法[17](FOCUSS)和空域壓縮采樣[9](S-CS)與協(xié)方差矩陣CS算法、陣列內(nèi)插CS算法和波束空間CS算法進(jìn)行性能比較。SS-MUSIC算法中空間平滑次數(shù)為2次,FOCUSS算法中正則化系數(shù)p=0.8。搜索的空域間隔為0.01°。空域Θ定義為[-10°,-9.9°,…,10°],間隔0.1°。S-CS算法中L=4。IA-CS算法中在每兩個陣元中內(nèi)插9個虛擬陣元,得到的內(nèi)插陣的總陣元數(shù)為Q=191。BS-CS算法中的波束數(shù)P=200。IA-CS算法和BS-CS算法中L=20。最優(yōu)化問題采用OMP算法進(jìn)行求解。

仿真一:不考慮多徑反射時的DOA估計性能隨信噪比的變化

仿真條件:單個目標(biāo),目標(biāo)入射角為10°,陣元信噪比從-10 dB變化至20 dB,快拍數(shù)為20。500次Monte-Carlo實驗統(tǒng)計的DOA估計均方根誤差如圖1所示。從圖1可以看出,在不考慮多徑反射時,針對單個目標(biāo),3種基于壓縮感知的DOA估計算法性能比較接近,略優(yōu)于常規(guī)MUSIC算法。

圖1 仿真一信噪比變化時的性能曲線

仿真二:考慮多徑反射時的DOA估計性能隨信噪比的變化

仿真條件:單個目標(biāo),目標(biāo)與參考天線的距離為200 km,目標(biāo)直達(dá)角為2°,多徑反射角為-2.01°,陣元信噪比從-10 d B變化至20 d B,快拍數(shù)為20。500次Monte-Carlo實驗統(tǒng)計的DOA估計均方根誤差如圖2所示。

從圖2可以看出,在考慮多徑反射時,IA-CS算法和BS-CS算法的信噪比門限大于其他算法的信噪比門限。隨著信噪比的增加,IA-CS算法和BS-CS算法的DOA估計精度急劇增加,在信噪比門限以上其DOA估計性能明顯優(yōu)于其他算法。

圖2 仿真二信噪比變化時的性能曲線

仿真三:不同仰角對算法估計精度的影響

仿真條件:單個目標(biāo),目標(biāo)高度為12 000 m,距離從50 km飛至650 km,信噪比為10 d B,快拍數(shù)為10。蒙特卡羅實驗次數(shù)為100次。

圖3給出幾種算法進(jìn)行100次獨立實驗的角度估計結(jié)果,其中實線為目標(biāo)真實值?？梢钥闯鯥A-CS算法和BS-CS算法性能優(yōu)于其他兩種傳統(tǒng)DOA估計算法。

4 結(jié)束語

利用目標(biāo)空域稀疏的特點,將壓縮感知方法引入到DOA估計問題中,推導(dǎo)了協(xié)方差矩陣壓縮感知、內(nèi)插陣壓縮感知和波束空間壓縮感知DOA估計方法,將DOA估計問題視為1范數(shù)最優(yōu)化問題,有效提高了算法的性能,并通過仿真和實測數(shù)據(jù)處理驗證這幾種方法的高分辨率和測角精度。計算機(jī)仿真結(jié)果表明,通過稀疏分析,為低信噪比和快拍數(shù)較少的環(huán)境下DOA估計提供了一種有效的解決方法。相比于應(yīng)用最為廣泛的子空間類算法,該算法在少量采樣下更具有優(yōu)勢,類似子空間類算法,該算法隨著采樣點的增多可以提高估計效果,此外建立模型時并未要求信號源是相互獨立的,因此對空域信號的相關(guān)性不敏感,可以直接用于相干信號的DOA估計,且具有更高的角度分辨率。

圖3 幾種算法多次實驗結(jié)果

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