崔東文

（云南省文山州水務局，云南 文山 663000）

異構多種群粒子群優(yōu)化算法在水位流量關系擬合中的應用

崔東文

（云南省文山州水務局，云南 文山 663000）

通過8個復雜函數對一種異構多種群粒子群優(yōu)化算法進行仿真驗證，并與傳統單種群粒子群優(yōu)化算法進行對比。針對水位流量關系擬合中相關參數難以確定的不足，利用異構多種群粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化水位流量關系相關參數，以云南省龍?zhí)墩?、西洋站水位流量關系擬合為例進行實例研究，并與粒子群優(yōu)化算法、最小二乘法擬合結果進行對比。結果表明：異構多種群粒子群優(yōu)化算法收斂精度遠遠優(yōu)于粒子群優(yōu)化算法，具有較好的計算魯棒性和全局尋優(yōu)能力。該算法對龍?zhí)墩竞臀餮笳舅涣髁筷P系擬合的平均相對誤差絕對值分別僅為0.27%和0.50%，擬合精度優(yōu)于粒子群優(yōu)化算法和最小二乘法。利用異構多種群粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化水位流量關系可以獲得更好的擬合效果。

水位流量關系；異構多種群粒子群優(yōu)化算法；參數優(yōu)化；盤龍河；西洋江

崔東文.異構多種群粒子群優(yōu)化算法在水位流量關系擬合中的應用［J］.水利水運工程學報，2015（5）：89－95.（CUIDong?wen.Application of convergent heterogeneous particle swarm optimization to fitting stage?discharge relation［J］.Hydro?Science and Engineering，2015（5）：89－95.）

水位流量關系是指河流某斷面的流量與其水位之間的對應狀態(tài)，通常采用經驗曲線、經驗方程或表格等形式表達，受水面寬、斷面面積、水力比降和糙率等各種水力因素的影響，具有較大的不確定性。提高水位流量關系擬合精度對于水利水電工程規(guī)劃、水文預測預報以及實行最嚴格水資源管理制度具有重要意義。目前曼寧公式冪指數法和多項式法常用于構造水位流量關系表達式，其相關參數的選取對于水位流量關系擬合精度有著關鍵性影響，目前用于水位流量關系參數選取的方法主要有最小二乘法（Least Square Method，LSM）［1］、遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）［2］、混合禁忌搜索算法（Tabu Search Algorithm，TSA）［3］等，在提高水位流量關系擬合精度上取得了較好的效果。粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法是近年來發(fā)展起來的一種新型進化算法（Evolutionary Algorithms，EA），具有實現容易、精度高、收斂快等優(yōu)點，并被證明在大多數情況下比GA更有效。然而在實際應用中，傳統單種群PSO算法存在易陷入局部最優(yōu)、收斂較慢等缺點，針對這一缺點，諸多PSO改進方法被紛紛提出，如基于參數選擇的改進方法［4－5］、基于混合算法的改進方法［6－9］、基于多種群設計的改進方法［10］以及基于異構多種群策略的改進方法［11］等，均在提升PSO算法收斂性能及收斂速度方面取得了較好效果。其中，基于異構多種群策略改進的PSO算法具有一定優(yōu)勢，對提高PSO算法在實際應用中的求解性能具有重要意義。然而，目前關于PSO算法的異構多種群策略研究中，子群大多采用相同的搜索策略和機制，使得多種群PSO算法的性能提升受到一定限制。文獻［12］提出一種新型異構多種群粒子群優(yōu)化（Convergent Heterogeneous Particle Swarm Optimization，CHPSO）算法，該算法將整個種群分為4個異構但彼此信息共享的子群，各子群采用不同的搜索策略進行搜索，依據不同的信息共享機制在子群之間進行信息共享，最終將子群中最優(yōu)解作為該算法的全局最優(yōu)解。

由于多項式型水位流量關系因其圖形與大部分觀測站的水文特性相符而被廣泛采用。因此本文采用多項式型水位流量關系擬合表達式，利用CHPSO算法優(yōu)化確定多項式系數，并以云南省龍?zhí)墩尽⑽餮笳舅涣髁筷P系擬合為例進行實例研究。主要做法為：一是利用8個復雜函數對CHPSO算法進行驗證，并與單種群粒子群優(yōu)化（PSO）算法進行對比。二是利用CHPSO算法優(yōu)化確定多項式系數，并與PSO算法、LSM算法擬合結果進行對比。

1 異構多種群粒子群優(yōu)化算法

異構多種群粒子群優(yōu)化（CHPSO）算法是文獻［12］提出的一種新型粒子群改進算法。其基本原理是：在進化過程中將整個種群分為S1，S2，S3和S4共4個異構但彼此信息共享的子群，各子群采用不同的搜索策略進行搜索，并依據不同的信息共享機制在子群之間進行信息共享，最終將4個子群中最優(yōu)解作為該算法全局最優(yōu)解，即

CHPSO算法各子群定義及粒子更新規(guī)則如下：

定義1：定義S1和S2為開發(fā)搜索的基本子群，其粒子更新策略采用經典粒子群速度及位置的更新方式：

式中：上標（1）／（2）表示基本子群S1和S2；γ1，γ2分別為S1和S2子群的（t＋1）代粒子的適應度值。

定義2：定義S3為自適應子群，采用式（2）進行速度及位置更新：

式中：γ＝γ1＋γ2；r3和r4為分布于［0，1］之間的隨機數。

定義3：定義S4為探索子群，采用式（3）進行速度及位置更新：

式中：α1，α2，α3為權重系數，約束于1＝α1＋α2＋α3，本文取α1＝1／6，α2＝1／3，α3＝1／2。

從CHPSO算法可以看出：CHPSO算法基于不同子群粒子更新搜索機制以及信息共享機制，可以有效提高搜索能力和實現局部搜索與全局搜索之間的良好平衡，有利于獲得全局最優(yōu)解。其中，子群S1，S2是子群S3和S4信息更新的基礎，S3利用基本子群S1，S2粒子速度及適應度值來更新自身粒子的位置及速度；子群S4是唯一共享所有信息的子群，其利用其他3個子群粒子信息來獲得更多的潛在解、保持種群多樣性以及探索新的未知空間。文獻［12］表明該算法可有效引導粒子趨于全局最優(yōu)解。

2 CHPSO算法優(yōu)化水位流量關系的實現步驟

CHPSO算法實現水位流量關系優(yōu)化的基本思想是：確定水位流量關系表達式，從而確定表達式中待優(yōu)化系數向量；將CHPSO算法中整個種群平分為4個子群，每個子群粒子所處空間位置均包含一組待優(yōu)化向量，通過適應度函數來衡量各子群粒子所處空間位置的優(yōu)劣，并利用式（1）～（3）更新操作來獲取各子群最佳函數值對應的粒子空間位置，并將各子群中最佳函數值對應的粒子空間位置作為全局最優(yōu)解，即待優(yōu)化系數向量。

CHPSO算法優(yōu)化水位流量關系的實現步驟可歸納如下：

Step 1確定水位流量關系表達式。本文采用多項式型水位流量關系表達式，其流量與水位關系可用下

式表示：

式中：Q為流量；H為與之對應的水位；X0，X1，…，Xi為多項式系數，即為待優(yōu)化參數。

Step 2確定CHPSO算法的適應度函數。本文選用平均相對誤差絕對之和作為適應度函數：

式中：Qi為第i組實測流量；Q＾i為第i組擬合流量；m為水位－流量組數。

Step 3初始化控制參數。設置最大迭代次數，種群規(guī)模n，慣性因子ω，局部學習因子、全局學習因子c1，c2，并令初始迭代數t＝1。

Step 4定義子群。將種群規(guī)模n平分為S1，S2，S3和S4共4個子群，表示為

和速度Vsk。

Step 6依據式（5）計算各子群粒子的適應度值，并利用式（1）～（3）更新各粒子個體位置，將各子群中個體極值Pi設置為當前位置，群體極值Pg設置為初始群體中最佳粒子的位置。

Step 8比較各子群中粒子適應度值，保留4個子群中粒子個體最優(yōu)位置

Step 9判斷算法迭代終止條件是否滿足，如果滿足，轉向Step10；否則，t＝t＋1，并執(zhí)行Step6。

Step10算法結束，獲得最優(yōu)位置Pg，即待優(yōu)化系數向量。

3 算法驗證

為客觀評價CHPSO算法性能，本文利用8個復雜函數對該算法的性能進行驗證，并與PSO算法尋優(yōu)結果進行對比，見表1。CHPSO算法參數設置為：最大迭代次數T＝2 000，種群規(guī)模n＝40；慣性因子ω采用線性遞減法，ωmax＝0.90，ωmin＝0.35；局部學習因子、全局學習因子c1＝c2＝1.494 45；探索子群S4位置更新的權重系數分別為α1＝1／6，α2＝1／3，α3＝1／2。PSO算法參數設置為：最大迭代次數T＝2 000，種群規(guī)模n＝50，ωmax＝0.90，ωmin＝0.35，局部學習因子、全局學習因子c1＝c2＝1.494 45，個體速度限制為［－0.5，0.5］。

2種算法基于Matlab 2010a用M語言實現，對表1中8個函數重復進行20次尋優(yōu)計算，見表2。并從最優(yōu)值、最劣值、平均值、標準差和計算成功率5個方面對2種算法進行評估，當滿足式（6）時，即認為當前尋優(yōu)計算成功。

表1 基準函數Tab.1 Reference functions

（續(xù)表）

式中：F為函數的理想最優(yōu)值；F?為每次尋優(yōu)計算所得最優(yōu)函數值。

表2給出了2種算法的尋優(yōu)計算統計結果。

表2 函數優(yōu)化對比結果Tab.2 Function optimization contrast results

從表2可以看出，對各個測試函數兩種算法皆獨立運行20次的情況下，CHPSO算法收斂精度遠遠優(yōu)于PSO算法，其獲得的最優(yōu)值、最劣值、平均值和標準差均比PSO算法的優(yōu)化結果提高了10個數量級以上，尋優(yōu)成功率均達到100%。尤其是對Eggcrate，Sphere，Quadric，Griewank，Zakharov，Sumsquares和Schwefel 2.22函數的優(yōu)化結果比PSO算法提高了100個數量級以上，表現出較高的尋優(yōu)精度和較好的算法執(zhí)行能力。其中，CHPSO算法對于Eggcrate，Griewank函數的尋優(yōu)效果達到了理論最優(yōu)解，獲得的最優(yōu)值、最劣值、平均值和標準差均為0。

可見，基于不同子群間各異的粒子更新搜索策略以及信息共享機制的CHPSO算法獲得了較為理想的尋優(yōu)效果，同標準PSO算法相比，其優(yōu)勢非常明顯，表現出更高的尋優(yōu)精度和全局搜索能力。

4 實例應用

本文以云南省龍?zhí)墩?、西洋?000年32組典型的水位流量數據為例進行實例研究。實測的32組數據見表3。經最小二乘法（LMS）二次、三次、四次和五次多項式擬合比較，當采用四次多項式擬合時LMS算法具有最佳水位流量擬合效果。因此，本文應用CHPSO，PSO及LMS算法對龍?zhí)墩?、西洋站水位流量四次多項式進行擬合，并選取平均相對誤差絕對值ea和最大相對誤差絕對值eamax對各算法擬合效果進行評價，其中，CHPSO與PSO算法搜索空間為－100～100，其余參數設置均同上。各算法擬合及比較結果見表4及圖1。

表3 2000年實測的32組水位流量數據Tab.3 Measured data of 32 groups of water level and flow discharge in 2000

式中：Qi為第i組實測流量；Q＾i為第i組擬合流量；m為水位流量組數。

表4 龍?zhí)墩炯拔餮笳舅涣髁筷P系擬合及結果比較Tab.4 Water level flow relationship fitting and comparison of results of Longtan and Xiyang stations

從表4可以看出，CHPSO算法對龍?zhí)墩舅涣髁筷P系擬合的ea，eamax僅為0.27%和0.55%，精度分別比PSO算法和LMS算法提高了50.9%和48.1%；對西洋站水位流量關系擬合的ea，eamax僅為0.50%和1.64%，精度分別比PSO算法和LMS算法提高了81.5%和47.4%。擬合精度均優(yōu)于PSO算法和LMS算法，表明CHPSO算法具有較好的收斂精度和全局尋優(yōu)能力，利用CHPSO算法優(yōu)化水位流量關系可以獲得更好的擬合效果。從圖1來看，基于CHPSO算法的流量擬合結果相對誤差最小，其次是LMS法，基于PSO算法的流量擬合誤差相對較大。

圖1 龍?zhí)墩竞臀餮笳玖髁繑M合相對誤差Fig.1 Flow fitting relative errors for Longtan and Xiyang station

5 結 語

（1）介紹了新型異構多種群粒子群優(yōu)化（CHPSO）算法，通過8個高維復雜函數對該算法進行對比驗證。結果表明基于不同子群間各異的粒子更新搜索策略以及信息共享機制的CHPSO算法具有更好的收斂精度和全局尋優(yōu)能力。

（2）提出CHPSO算法優(yōu)化水位流量關系的步驟及方法，利用CHPSO算法優(yōu)化水位流量關系，不但提高了水位流量關系的擬合精度，而且為解決水位流量關系相關參數尋優(yōu)問題提供了一種全新的途徑和方法。

（3）從2個實例的擬合結果來看，CHPSO算法的擬合精度優(yōu)于PSO算法及LMS算法，可為相關水位流量關系擬合提供借鑒和參考。

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Application of convergent heterogeneous particle swarm optim ization to fitting stage?discharge relation

CUIDong?wen
（Wenshan Water Conservancy Bureau of Yunnan Province，Wenshan 663000，China）

By use of 8 complex functions，a heterogeneous multi group particle swarm optimization algorithm is simulated，comparing with the traditional single population particle swarm optimization algorithm.Aiming at the deficiencies of the stage discharge relation fitting in it is difficult to determine the parameters，using a variety of the heterogeneous particle swarm optimization algorithm for optimizing the relative parameters of the stage?discharge relationship，taking stage?discharge relation fitting of Yunnan Province Longtan station，Xiyang station as case studies，and the particle swarm optimization algorithm and least squares fitting results are compared in the study. The analysis results show that the convergence accuracy of the heterogeneous multi group particle swarm optimization algorithm is much better than the particle swarm optimization algorithm，with good computational robustness and global optimization ability.The relative error absolute values of the fitting for the relationships between the water level of the Longtan railway station and the Xiyang station are only 0.27%and 0.50% respectively.The fitting accuracy is better than that of the particle swarm optimization and the least squaremethod. The better fitting effect can be obtained by optimizing the water level flow relationship by using the heterogeneous multi group particle swarm optimization algorithm.

stage?discharge relation fitting；convergent heterogeneous particle swarm optimization algorithm；parameter optimization；Panlong River；Xiyang River

P337－3

A

1009－640X（2015）05－0089－07

10.16198／j.cnki.1009－640X.2015.05.012

2015－02－05

崔東文（1978—），男，云南玉溪人，高級工程師，主要從事水資源水環(huán)境研究及水資源保護等工作。E?mail：cdwgr＠163.com.