沈 殷，宋泰宇，李國平

（同濟大學土木工程學院，上海200092）

配體外預應力鋼束的曲線箱梁橋抗扭設計

沈 殷，宋泰宇，李國平

（同濟大學土木工程學院，上海200092）

為了抵抗曲線箱梁橋的扭轉效應、改善結構的受力狀態(tài)，在不增加預應力鋼束數(shù)量的前提下，提出一種利用體外預應力鋼束形成空間抗扭作用的方法.基于空間解析幾何關系推導了體外預應力扭矩計算公式，以此建立了以最小扭矩為目標的體外預應力鋼束的抗扭設計流程，并利用非線性規(guī)劃方法給出鋼束最優(yōu)平面線形參數(shù)的數(shù)值解法.分析結果表明，與體內(nèi)預應力鋼束相比，通過合理的體外預應力鋼束空間布置，能大幅降低扭矩峰值，抗扭效果明顯，且不影響抗彎、抗剪能力；扭矩計算數(shù)值解與有限元分析結果吻合良好，能方便地用于實際設計.

曲線箱梁；預應力扭矩；空間解析幾何；非線性規(guī)劃

曲線梁橋能很好地克服地形、地物的限制，滿足路線整體線形的連續(xù)性、流暢性，在國內(nèi)外城市高架、立交橋梁工程以及高等級公路中得到了廣泛應用.由于結構上的特點，即使在橫向對稱豎向力作用下曲線梁中也同時產(chǎn)生彎矩和扭矩，并且互相影響，即彎扭耦合效應［1］.因此，大部分曲線梁采用抗彎、抗扭能力均較大的箱形截面［2］.在跨徑較大時，曲線梁橋一般采用預應力結構，但其預應力鋼束（簡稱“鋼束”）的配束設計與一般直線梁橋不同，主要在于如何利用預應力抵抗外扭矩［3］.曲線箱梁橋的抗扭設計的基本目標是調整梁內(nèi)的扭矩分布、控制扭矩峰值，使梁截面以及支座受力較均勻［1］.當前預應力曲線箱梁基本采用體內(nèi)預應力鋼束（簡稱“體內(nèi)鋼束”），而體內(nèi)鋼束因受制于箱梁截面，導致預應力的抗扭作用難以充分發(fā)揮，額外配置抗扭預應力鋼筋將提高建設成本.

為了利用體外預應力扭矩消除結構重力引起的扭矩，并預留適當?shù)念A應力扭矩部分抵抗其他外荷載產(chǎn)生的扭矩，本文基于預應力在曲線箱梁中的抗扭原理，利用體外預應力鋼束（簡稱“體外鋼束”）位于混凝土箱梁截面外可同時平彎和豎彎的特點，提出在曲線箱梁橋預應力設計中采用體外預應力抵抗扭矩的方法，在不增加鋼束數(shù)量的前提下，調整抗彎鋼束平面線形以提供高效的扭矩抗力；通過空間解析幾何關系建立并推導體外預應力扭矩計算公式；進一步以最小化主梁扭矩峰值為目標，建立體外鋼束抗扭設計流程，利用非線性規(guī)劃得到最優(yōu)化鋼束線形；最后，建立可方便用于滿足結構永久和可變作用狀態(tài)受力要求的設計方法.

1 預應力抗扭原理

如圖1所示，將預加力合力F沿曲線梁截面豎向、徑向和軸向進行分解，可得到豎向、徑向和軸向分力為Fz′s，F(xiàn)h′s和F（R＋h）θ′s，其中：z，h分別為預加力作用點截面質心（CG）的豎向、徑向坐標，z′s＝dz／ds，h′s＝dh／ds，θ′s＝dθ／ds，θ為曲線梁圓心角，ds為鋼束微段，ds≈（R＋h）dθ，R為曲率半徑.將F等效至CG，截面內(nèi)力見圖1，其中：M（F），N（F），V（F），T（F）分別表示預應力作用產(chǎn)生的彎矩、軸力、剪力和扭矩，腳標M，N分別表示曲線梁的徑向、豎向［3］.

圖1 截面上預應力分量和內(nèi)力表示Fig.1 Component of prestressing and internal force on section

根據(jù)力的平衡條件，略去高階微量，可得

式中：z′，h′分別為z，h對θ的導數(shù).從式（1）可以看出，T（F）取決于其參數(shù)F，z，h，z′，h′，而作為鋼束立面線形要素的豎向坐標z及其導數(shù)z′和預加力F通常根據(jù)抗彎、抗剪要求來確定，而徑向坐標h及其導數(shù)h′在體內(nèi)預應力設計中因受制于截面而通常為常量.

在曲線梁橋預應力設計中通?？紤]預應力提供的扭矩應首先抵消結構重力引起的扭矩，并提供適當?shù)念A扭矩部分抵消其他作用在梁內(nèi)產(chǎn)生的扭矩.傳統(tǒng)預應力設計基本采用體內(nèi)鋼束形式［4-11］，目前國內(nèi)外有幾種預應力抗扭布置理論如下：①內(nèi)外側腹板采用不同線形的鋼束（圖2a）［45］；②內(nèi)外腹板鋼束線形對稱，但張拉力不同或配置根數(shù)不同（圖2b）［610］；③在頂?shù)装逯胁贾脧澢较蛳喾吹匿撌▓D2c）［11］.

方法①通過調整式（1）中參數(shù)z′來提供所需的T（F），對預應力的縱向抗彎效應將造成一定影響，且截面提供的可調整范圍有限；方法②通過設計內(nèi)外側腹板的不同預加力大小來調整式（1）中參數(shù)h，是實踐中使用較多的方法；方法③通過專門在頂?shù)装逯信渲每古や撌鴣碚{整式（1）中參數(shù)h′來實現(xiàn)抗扭，有時需要增加額外配筋量，實際工程中容易導致大量鋼束的交叉碰撞，增加設計和施工難度.另外體內(nèi)鋼束在曲線箱梁橋的工程應用中還存在腹板崩裂的情況，為此需設置額外的防崩鋼筋.

而體外鋼束布置在箱內(nèi)擺脫了混凝土箱梁腹板的束縛，在梁寬方向有足夠的布束空間，以滿足預加力作用點徑向位置的變化要求，即式（1）中h及h′均易作較大幅度調整.所以，對于體外預應力曲線箱梁橋不必專門配置抗扭鋼束，可以在一組抗彎鋼束的基礎上通過將其沿徑向位置調整達到同時抵抗彎矩和扭矩的效果.

圖2 曲線梁的抗扭鋼束布置Fig.2 Layout of torsion-resistant prestressing tendons in curved girder

2 體外預應力扭矩計算公式

根據(jù)式（1），T（F）可分為兩部分，即

式中：TP（F），TS（F）分別表示鋼束平彎、豎彎產(chǎn)生的扭矩，TP（F）＝-Fh′z／（R＋h），TS（F）＝Fz′h／（R＋h）.

以曲梁圓心為原點、對稱中心線為y軸，建立水平面內(nèi)的直角坐標系（圖3），對于對稱箱梁截面，各截面質心連線與梁軸線水平投影重合，轉向點之間、轉向點與錨固點之間的體外鋼束水平投影方程可表示為

式中：a，b分別為水平投影方程的斜率和縱截距.

圖3 體外鋼束水平投影Fig.3 Horizontal projection of external tendons

投影方程滿足幾何關系：x＝（R＋h）cosθ，y＝（R＋h）sinθ，由式（3）可推導得

以曲線梁截面質心連線與對稱中心線交點為原點、質心連線豎向投影為x′軸，建立豎直曲面內(nèi)的直角坐標系（圖4），體外鋼束豎向投影方程表示為

式中：c，d分別為豎向投影方程的斜率和縱截距.

圖4 體外鋼束豎向投影Fig.4 Vertical projection of external tendons

將式（4）、式（6）代入式（2），可得

根據(jù)文獻［12］的推導，取ds≈Rdθ的假定，式（9）可簡化表達為

將式（8）、式（10）代入式（2），有

3 體外預應力抗扭設計方法

3.1 設計思路

基于預應力混凝土橋梁的一般設計方法，結合上述預應力抗扭原理和體外預應力扭矩的計算公式，在不增加鋼束數(shù)量的前提下，對體外鋼束的橫向布置進行優(yōu)化設計，使鋼束能提供足夠的抗扭力以平衡設計的外荷載扭矩.

體外預應力抗扭設計目標為在需要抵抗的外荷載和預應力共同作用下的主梁扭矩峰值達到最小.以曲線梁控制截面的扭矩峰值T為目標函數(shù)，對鋼束沿梁長的徑向偏距進行最優(yōu)化設計.當需要抵抗的外荷載扭矩一定時，根據(jù)式（10），目標量T為預加力F以及體外鋼束水平、豎向投影的斜率a，c和縱截距b，d的函數(shù)，其中F和c，d由抗彎、抗剪設計確定，T僅為a，b的函數(shù)，在可行域內(nèi)對該函數(shù)進行非線性規(guī)劃，即可得到目標量取到最小值時的最優(yōu)參數(shù)解［a b］＊，從而得到最優(yōu)體外鋼束平面線形.其中，控制截面為出現(xiàn)扭矩極值的截面，一般為體外鋼束轉向點和錨固點截面，根據(jù)式（4）、式（10）可得

式中：i為轉向點或錨固點截面編號；j為相鄰轉向點或轉向點與錨固點之間體外鋼束編號.如Tij表示i號截面j號體外鋼束一側的扭矩，hij表示i號截面j號體外鋼束一側的徑向偏距.體外預應力抗扭設計流程如圖5所示，其中：B為箱梁箱內(nèi)凈寬，p為外荷載，上標＊表示最優(yōu)解.

圖5 體外預應力抗扭設計流程Fig.5 Torsion-resistant design process of applying external tendons

3.2 示例

某單跨曲線箱梁橋如圖6所示，曲率半徑R＝40m，支座布置為固定（B1）、徑向滑動（B2）、多向滑動（B3）、切向滑動（B4）.跨內(nèi)設置3道轉向點，由結構對稱性取右半邊，選取3個控制截面（圖7）：轉向點2截面（i＝1）、轉向點1截面（i＝2）、錨固截面（i＝3），對應的圓心角θ1＝90.0°，θ2＝75.4°，θ3＝68.5°.采用單箱單室截面（圖8），箱內(nèi)凈寬B＝3.6m.

圖6 曲線梁總體布置Fig.6 Layout of curved girder

采用Midas Civil軟件計算外荷載（自重）作用下主梁內(nèi)力，得到控制截面的外荷載扭矩T1（p）＝0 kN·m，T2（p）＝3 801kN·m，T3（p）＝4 484kN· m；根據(jù)主梁彎矩、剪力設計預加力F＝34 000kN，鋼束立面布置如圖9所示，鋼束立面參數(shù)c1＝0，c2＝0.15，d1＝-0.739 6，d2＝-2.269 6.

圖7 控制截面位置Fig.7 Locations of control sections

圖8 箱梁截面（單位：cm）Fig.8 Box-girder section（unit：cm）

圖9 鋼束立面布置（單位：cm）Fig.9 Elevation layout of prestressing tendons（unit：cm）

將上述參數(shù)值代入式（11）、式（12），可得含參數(shù)［a1a2b1b2］的控制截面預應力扭矩T11（F），T21（F），T22（F），T32（F）和徑向偏心距h11，h21，h22，h32，可得目標函數(shù)如下：

上式同為含參數(shù)［a1a2b1b2］的函數(shù)，利用MATLAB軟件中fminimax函數(shù)對其進行非線性規(guī)劃如下：

得到鋼束平面參數(shù)的最優(yōu)解為a＊1＝-0.051，a＊2＝-0.036，b＊1＝38.632，b＊2＝38.485，對應的目標函數(shù)為T＊＝1 262kN·m，對應的3個控制截面的徑向偏心距為h＊1＝-136.2cm，h＊2＝-60.2cm，h＊3＝77.7cm.

4 分析和比較

4.1 有限元模型

為了說明和驗證體外預應力抗扭方法的有效性和扭矩計算公式的正確性，采用有限元軟件進行數(shù)值分析，模型的設計資料同上示例，模型中預加力和立面布置相同（圖8），平面布置如下.

體內(nèi)鋼束模型（IM）：鋼束在兩側腹板內(nèi)，內(nèi)外側對稱與梁軸線平行布置（圖10a）.

體外鋼束模型1（EM 1）：鋼束在跨中偏移至最內(nèi)側，在支點偏移至最外側布置（圖10b）.

體外鋼束模型2（EM 2）：鋼束平面線形參數(shù)根據(jù)上述示例中的最優(yōu)解布置（圖10c）.

圖10 鋼束平面布置（單位：cm）Fig.10 Plane layout of prestressing tendons（unit：cm）

4.2 彎矩與剪力

圖11為自重和預應力共同作用下的彎矩圖，單元內(nèi)力值讀取位置為單元中點.由于鋼束立面布置相同，各模型彎矩分布規(guī)律相同，全梁均承受負彎矩，最大負彎矩位于鋼束起彎處，峰值相差6%以內(nèi).圖12為自重和預應力共同作用下的剪力圖.各模型剪力分布規(guī)律也相同，最大剪力位于鋼束起彎處，峰值相差10%以內(nèi).綜上，IM和EM 1，EM 2的抗彎、抗剪能力相差10%以內(nèi)，基本相同.

圖11 自重和預應力共同作用下彎矩Fig.11 Bending moment under gravity and prestressing

圖12 自重和預應力共同作用下剪力Fig.12 Shear under gravity and prestressing

4.3 扭矩

圖13為自重和預應力分別作用下的扭矩圖.在自重作用下，跨內(nèi)扭矩向兩端的抗扭支承上累積，絕對值逐漸增加，在兩支點處達到峰值（4.48×103kN·m）.IM由于鋼束對稱布置，有h＝h′＝0，預應力作用下理論上應不產(chǎn)生扭矩，但由于外側鋼束預應力損失較大，預加力合力產(chǎn)生與自重作用同方向的扭矩，但絕對值較?。?.40×103kN·m）；EM 1和EM 2由于鋼束在跨中內(nèi)移、在支點處外移，預應力作用下產(chǎn)生與自重作用下相反的扭矩，EM 1在支點處達到峰值（-7.08×103kN·m），EM 2在轉向點1處達到峰值（-5.06×103kN·m）.

圖13 自重和預應力分別作用下的扭矩Fig.13 Torsion moment under gravity or prestressing

自重和預應力共同作用下的扭矩見圖14.IM由于預應力產(chǎn)生的扭矩與自重作用下的扭矩方向相同，扭矩峰值增大為4.9×103kN·m；EM 1由于鋼束在跨中截面轉角較大，扭矩突變較大，出現(xiàn)扭矩峰值為3.30×103kN·m，減幅達到29%，有一定抗扭效果；EM 2近支點處預應力和自重扭矩基本抵消，全跨扭矩峰值為-1.31×103kN·m，減幅達到71%，扭矩分布較均勻，抗扭效果明顯，與示例中最優(yōu)解對應的扭矩峰值（1.26×103kN·m）相比相差4%，結果吻合較好.

4.4 支座反力

自重和預應力共同作用下的支座反力見表1.從表中可知，IM與EM 1，EM 2豎向反力基本相同，反力差相差3%以內(nèi)，預應力二次力較??；EM 1和 EM 2徑向反力明顯增大，這是由于體外鋼束在梁端的徑向集中力作用使梁端發(fā)生徑向位移，在有徑向約束的內(nèi)側支座處產(chǎn)生次反力.

圖14 自重和預應力共同作用下的扭矩Fig.14 Torsion moment under gravity and prestressing

表1 自重和預應力共同作用下的支座反力Tab.1 Support reaction under gravity and prestressing kN

4.5 扭矩解析解與有限元分析對比

根據(jù)式（11）可分別計算得EM 1，EM 2各截面上TP（F），TS（F）和T（F），由鋼束平面、立面布置圖可得所需參數(shù)如表2所示.

表2 體外預應力扭矩計算公式參數(shù)Tab.2 Parameters of externally prestressing torsioncalculation formulas

圖15 預應力作用下扭矩Fig.15 Torsion moment under prestressing

根據(jù)上表參數(shù)，得到EM 1和EM 2中T（F）如圖15所示，公式計算結果T（F）和有限元分析結果T0（F）曲線基本重合，吻合較好，造成二者略有偏差的原因為：①T0（F）中計入預應力二次力對扭矩的影響；②T0（F）按單元中點輸出，T（F）按圓心角計算，二者位置不一定相同.

對圖15進行分析：①轉向點1至1′段.由于鋼束立面上沒有起彎，z′為零，故TS（F）為零，T（F）均由TP（F）提供，大小與h′成正比；②轉向點1（1′）截面.鋼束豎向起彎和平彎，TS（F）和TP（F）出現(xiàn)突變，EM 1較EM 2平彎轉角較大，故TP（F）突變量較大；EM 1，EM 2立面線形相同，豎向分力Fz′s相同，但EM 1豎向分力Fz′s的力臂h絕對值較大，故TS（F）突變量也較大；③轉向點1（1′）至錨固點段.預加力作用點立面上不斷接近CG線（圖9），z絕對值不斷減小，TP（F）絕對值也隨之減小（EM 1，EM 2分別由12.12和5.49減至1.12和0.67）；鋼束平面上穿越CG線，導致h變號，故TS（F）也隨之變號（EM 1，EM 2分別由6.72和2.88變?yōu)?5.97和-3.47）；④錨固點截面.T（F）主要由TS（F）提供，EM 1，EM 2的z′相同，TS（F）與h成正比，而EM 1中h絕對值較大，故T（F）絕對值較大.

5 結論

（1）由于體外鋼束位于混凝土箱梁截面外，具有可大范圍空間靈活布置的優(yōu)勢，能起到同時抵抗彎矩和扭矩作用，在抗扭方面與體內(nèi)鋼束相比效率更高、用料更省.

（2）基于體外預應力扭矩計算公式，按照體外預應力抗扭設計流程，經(jīng)非線性規(guī)劃可得到曲線箱梁體外鋼束平面線形參數(shù)的最優(yōu)解，按此最優(yōu)解進行鋼束平面布置，可以實現(xiàn)全梁扭矩峰值的最小化.

（3）對3種布束方式的單跨曲線箱梁有限元分析的結果表明：與常規(guī)對稱布束相比，采用優(yōu)化后的體外鋼束抗扭設計可在基本不影響抗彎、抗剪能力情況下大幅降低主梁扭矩的峰值，抗扭效果明顯，且與最優(yōu)解對應的扭矩峰值吻合較好；驗證了扭矩計算公式的正確性，公式計算結果與有限元分析結果吻合較好.

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Torsion-resistant Design in Curved Box-girder Bridges with External Tendons

SHEN Yin，SONG Taiyu，LI Guoping
（College of Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China）

In order to resist torsion effect to improve the stress state in curved box-girder bridges，the torsion-resistant design method of applying external tendons without increasing tendons is proposed.Based on the space analytic geometry relationship，the externally prestressing torsion calculation formulas are derived out.The torsion-resistant design process of applying external tendons is presented with the objective of minimizing torsion.The optimal parameters of horizontal alignment of tendons are solved with non-linear optimization method at the end of the process.The results indicate that the reasonable space layout design of external tendons instead of internal tendons significantly reduces peak torsion，and has almost no impact on the bending and shearing capacity.Comparison with the finite element analysis shows that the numerical results calculated by the formulas agree well with the finite element analysis，therefore the formulas can be a simple approach for practical design.

curved box girder；prestressing torsion；space analytic geometry；non-linear optimization

U442

A

0253-374X（2015）12-1777-07

10.11908／j.issn.0253-374x.2015.12.002

2014 10 26

國家自然科學基金（51208376）

沈 殷（1977—），女，講師，工學博士，主要研究方向為預應力混凝土.E-mail：shenyin@#edu.cn

宋泰宇（1990—），男，博士生，主要研究方向為混凝土彎梁橋.E-mail：13585562901@163.com