許儀勛，李 旺，張敬周

(1.上海電力學(xué)院 電氣工程學(xué)院，上海 200090;2.上海科學(xué)院 上科信息技術(shù)研究所，上海 201210)

頻率是電力系統(tǒng)中一個非常重要的參數(shù)，也是衡量電能質(zhì)量的重要指標(biāo)之一.它涉及電力系統(tǒng)中發(fā)電、輸電以及用電等各個環(huán)節(jié)，關(guān)系著居民生活中家用電器的正常工作壽命，影響著工業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量，更影響著電表計量電量的準(zhǔn)確性.因此，精準(zhǔn)、快速地測量出動態(tài)電網(wǎng)中頻率的實時數(shù)值，是保證電網(wǎng)安全運行的重要前提.目前，在工程中已經(jīng)有許多頻率測量方法，比如三點法、[1-2]過零點法、[3-4]傅里葉變換法、[5]經(jīng)典卡爾曼濾波算法[6-8]以及各種相關(guān)的改進算法，都被廣泛地應(yīng)用于工程頻率測量.然而這些算法各有優(yōu)缺點:三點法原理簡單，計算量小，但存在諧波和噪聲干擾時測得的頻率誤差較大，限制了其在工程中的應(yīng)用;過零點法也存在這一弊端，且對突變情況實時跟蹤性差;傅里葉變換算法因為存在頻譜泄露和柵欄效應(yīng)，降低了頻率計算的精度;經(jīng)典卡爾曼濾波算法是高斯過程最優(yōu)濾波的一種有效算法，但實時性差，當(dāng)電網(wǎng)頻率發(fā)生突變時，不能進行實時跟蹤，甚至?xí)霈F(xiàn)發(fā)散情況.

針對過零點法和經(jīng)典卡爾曼算法在測頻時的缺點，當(dāng)電網(wǎng)發(fā)生突變情況時，可采用拉格朗日線性插值算法和改進卡爾曼濾波算法，對突變點進行檢測，對突變點處進行重新濾波，以此來解決突變時響應(yīng)緩慢甚至是發(fā)散的問題.此外，還能夠消除由閃變而產(chǎn)生短期突變的情況，達到穩(wěn)定、可靠的測量目的，并且在濾波收斂速度上也有所提升.

1 過零點法

電壓過零點法，又稱為周期法，是基于電壓信號觀測模型 U(t)=Asin(2πft+φ)推導(dǎo)而來的，在電壓信號波形一個周期內(nèi)，通過測量相鄰兩個過零點間的時間間隔，從而可以推算出電網(wǎng)頻率.該算法具有原理簡單、計算量小、易于實現(xiàn)的特點，因而在實際工程中得到了廣泛應(yīng)用.

本文采用全周期過零點法，為了能夠在短時間獲取更多的過零點，分別采用對電壓信號波形從正到負(fù)和從負(fù)到正過零點進行測量的方法.而在實際工程應(yīng)用中，為了減小噪聲污染的影響，可以利用線性插值算法來提高過零點法的計算精度，本文采用的是拉格朗日線性插值算法.[9]因此，通過計算相鄰兩個過零點之間的間隔數(shù)，再乘以時間間隔，就可以推算出相鄰兩個過零點的時間間隔，最后取其倒數(shù)便可推算出電網(wǎng)頻率.

在實際電網(wǎng)中，電壓波形會受到各種信號噪聲的污染，使得電壓信號波形為非標(biāo)準(zhǔn)正弦波.因此，在進行過零點計算時，還需對采樣點數(shù)據(jù)進行預(yù)處理以及頻率測量值的再處理，以提高頻率計算的精度.

(1)不良過零點的剔除 為使程序更加嚴(yán)謹(jǐn)，提高頻率測量的精度，防止電壓波形在過零點處發(fā)生振蕩現(xiàn)象，從而導(dǎo)致取錯過零點.因此，除了要判斷相鄰兩個采樣點之積為非正外，還需驗證計算得到的相鄰兩個采樣點之間間隔的點數(shù)是否滿足要求，若滿足則保留，反之則應(yīng)舍去.通過附加條件的限制，可以保證所取到的過零點是最符合要求的點.

(2)不良數(shù)據(jù)的剔除 在實際電網(wǎng)中，頻率波動范圍很小，然而當(dāng)頻率發(fā)生突變時，過零點法所測得的頻率可能會出現(xiàn)一些誤差很大的數(shù)據(jù)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離基波頻率.針對這些不良數(shù)據(jù)，應(yīng)對過零點法所測得頻率值進行判斷，符合要求的保留;反之則應(yīng)剔除，并采用上一個測量值來代替此時的測量值，這樣可以保證所測量的頻率數(shù)據(jù)的可靠性與穩(wěn)定性.

(3)減小測得的頻率誤差 在上述措施的約束下，過零點法所測得的頻率數(shù)據(jù)與理論值相比，誤差偏差仍較大，且按高斯白噪聲序列圍繞理論值上下波動.因此，為了減小數(shù)據(jù)誤差范圍，采用取均值的方法，能夠有效地抑制隨機性干擾，從而提高信噪比，達到減小數(shù)據(jù)誤差范圍的目的，使得處理后得到的頻率圍繞理論值的波動幅度減小，并為卡爾曼濾波提供高精度頻率的觀測序列.

2 卡爾曼濾波器

卡爾曼濾波算法[10-11]是以最小均方差為最佳估計原則，利用遞歸的方法解決離散系統(tǒng)線性濾波問題，其核心內(nèi)容就是5個遞推公式，主要描述了兩個過程，即預(yù)測和修正.通過不斷地“預(yù)測—修正”的遞推方式進行計算，根據(jù)前一時刻估計值和最近時刻觀察數(shù)據(jù)來估計信號的當(dāng)前值，實現(xiàn)濾波的目的.假設(shè)線性離散系統(tǒng)的過程方程為:

輸出方程為:

式中:X——系統(tǒng)的狀態(tài);

A，B——由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)確定的矩陣;

Y——觀測值;

C——觀測矩陣;

W，V——系統(tǒng)噪聲和觀測噪聲，隨機變量且相互獨立，一般假定W和V服從正態(tài)分布，且系統(tǒng)噪聲和觀測噪聲的協(xié)方差陣分別為Q和R.

卡爾曼濾波算法就是要從觀測值Y中得到狀態(tài)X在最小均方差下的最佳逼近的估計值，其核心就是以下5個公式.

一是狀態(tài)預(yù)測方程，即:

因為電壓信號為單模型系統(tǒng)，所以它們只是一個標(biāo)量，在該算法中，A值取為1;U(k)是 k時刻對系統(tǒng)的控制量，在該算法中沒有控制量，因此U(k)為)是利用上一狀態(tài)預(yù)測的結(jié)果)是上一狀態(tài)最優(yōu)的結(jié)果.

二是方差預(yù)測方程，即:

式(3)和式(4)就是對系統(tǒng)的預(yù)測.

三是狀態(tài)估計方程，即:

式中:K(k)——卡爾曼增益;

Z(k)——k時刻的測量值;

H——測量系統(tǒng)的參數(shù).

四是濾波增益方程，即:

五是方差迭代方程，即:

式中:I——單位矩陣，在該算法中，I取值為1.

式(5)至式(7)是對系統(tǒng)的修正，這樣算法就可以自回歸地運算下去.

在本文的算法中，將經(jīng)數(shù)據(jù)處理后電壓過零點法測得的頻率數(shù)據(jù)作為卡爾曼濾波的觀測值，然后根據(jù)卡爾曼濾波原理得到精度更高的頻率估計值.然而卡爾曼濾波的增益K經(jīng)過很長時間后會趨于一個較小的定值，即意味著卡爾曼濾波對以后的新數(shù)據(jù)不敏感，更依賴于以前的老數(shù)據(jù).而假如此刻電網(wǎng)頻率發(fā)生突變，由于此時卡爾曼濾波器對新數(shù)據(jù)不敏感，所以卡爾曼濾波器的響應(yīng)速度緩慢，嚴(yán)重時甚至?xí)霈F(xiàn)濾波發(fā)散的現(xiàn)象，不能實時、準(zhǔn)確地估計出電網(wǎng)頻率.

為了解決這一難題，有研究者在20世紀(jì)90年代提出了著名的強跟蹤濾波器，[12-13]使得濾波器在系統(tǒng)達到平穩(wěn)狀態(tài)時仍保持對緩變狀態(tài)和突變狀態(tài)的跟蹤能力，但收斂速度較慢.而本文采用對突變點判別的方法，即通過判斷均值法求得的頻率序列之間的插值，當(dāng)其絕對值大于預(yù)先設(shè)定的閾值時，則判定電網(wǎng)頻率發(fā)生突變.此時，忽略突變后的5個周期內(nèi)的過零點采樣值，并用之前的估計值來替代，對以后的均值頻率序列重新進行卡爾曼濾波.采用這一辦法的缺點是舍棄了部分過零點，優(yōu)點是也舍棄了在突變時所測得的偏差較大的頻率值，提高了算法的收斂速度，比強跟蹤濾波器的收斂周期更短，同時使得改進卡爾曼濾波器也具有較強的跟蹤能力，能夠?qū)崟r、準(zhǔn)確地估計出電網(wǎng)的頻率.

3 算例仿真

為了驗證該算法的可行性與正確性，本文通過Matlab軟件進行實例仿真，并與經(jīng)典卡爾曼濾波算法和強跟蹤濾波算法對比模擬仿真，可清晰地觀測出改進算法的優(yōu)點.在實例仿真中，電壓信號設(shè)為:

式(8)中的電壓幅值取標(biāo)幺值，基波頻率f為50 Hz，每個采樣周期有128個采樣點，最后一項為高斯白噪聲.

3.1 頻率突變仿真

假設(shè)電網(wǎng)頻率由基波頻率突變?yōu)?0.5 Hz，經(jīng)過一段時間后，再由50.5 Hz突變?yōu)榛l率.此時改進卡爾曼濾波算法的頻率估計值仿真圖如圖1所示，改進算法、經(jīng)典卡爾曼算法和強跟蹤算法頻率估計值的對比分析如圖2所示.

圖1 改進卡爾曼算法仿真結(jié)果

由圖1可知，在電網(wǎng)頻率未發(fā)生突變時，改進算法所測得的頻率精度很高;而當(dāng)頻率發(fā)生突變時，能快速響應(yīng)，具有快速跟蹤的功能，符合工程實際需求.

由圖2可知，在電網(wǎng)頻率穩(wěn)定時，即前1/3部分可以看出這3種算法的仿真圖形相同，它們的估計曲線完全重合，這也反映出這3種算法在穩(wěn)定時的本質(zhì)是一樣的;而當(dāng)電網(wǎng)頻率發(fā)生突變時，經(jīng)典卡爾曼濾波算法的響應(yīng)速度緩慢，不能實時真實地反應(yīng)出系統(tǒng)的頻率，嚴(yán)重時甚至?xí)霈F(xiàn)發(fā)散的情況;而強跟蹤濾波能夠快速跟蹤系統(tǒng)的實時頻率，但收斂速度較慢;改進卡爾曼濾波算法不僅能快速跟蹤突變后的頻率，而且與強跟蹤算法相比，收斂速度更快.

圖2 頻率發(fā)生突變時的對比仿真

3.2 頻率和幅值同時發(fā)生突變仿真

假設(shè)當(dāng)基波頻率發(fā)生突變的同時，幅值也發(fā)生變化.頻率由 50.5 Hz跳變到基波 50.0 Hz，然后又跳變到49.5 Hz;而幅值由1.0跳變到 0.85，最后又恢復(fù)到1.0.圖3即為3個算法在頻率和幅值發(fā)生突變時的仿真結(jié)果.

圖3 頻率和幅值發(fā)生突變時的仿真結(jié)果

由圖3可知，無論在測量精度，還是在實時跟蹤性和收斂速度上，改進卡爾曼算法都是最優(yōu)的;而強跟蹤濾波也能實時跟蹤，但跟蹤速度和收斂速度與改進算法相比較差;經(jīng)典卡爾曼的響應(yīng)速度依舊很緩慢，導(dǎo)致所估計出的頻率值誤差較大.

3.3 頻率、幅值和相位同時發(fā)生突變仿真

假設(shè)頻率由49.0 Hz跳變到49.5 Hz，經(jīng)過一段時間后，再次跳變到50.0 Hz;而幅值由1.0跳變到0.85，再回恢復(fù)到 1.0;同時，初始相位由 30°突然變?yōu)?5°，經(jīng)過一段時間后又恢復(fù)到30°.圖4即為3個算法在頻率、幅值和相位同時發(fā)生突變時的仿真結(jié)果.

由圖4可知，和前兩個仿真結(jié)果一致，在頻率測算的精度、突變的跟蹤性和收斂性方面，改進后的卡爾曼濾波算法都是最優(yōu)的.

圖4 頻率、幅值和相位同時發(fā)生突變時的仿真結(jié)果

4 結(jié)論

(1)對數(shù)據(jù)采用滑窗均值處理方法，有效地抑制了隨機性干擾，提高了信噪比，為卡爾曼濾波提供了較高精度的頻率觀測值;

(2)通過3個算例的仿真，并與其他算法進行比較可以看出，無論電網(wǎng)頻率突變是先增大再減小，還是一直增大或減小，并伴隨著電壓幅值或相位的突變，改進卡爾曼濾波算法都能實時快速地響應(yīng)，準(zhǔn)確地估計出電網(wǎng)的頻率值，充分證明了該算法的準(zhǔn)確性和可行性.

(3)該算法實際應(yīng)用于 ABN3000智能電能表上，在IAR編譯環(huán)境下運用C語言進行編程，通過MSP430 47187芯片進行數(shù)據(jù)采集，也能精準(zhǔn)地測量出實時頻率值.

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