張 沙，解利軍，桂立業(yè)，鄭 耀

浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院，杭州 310027

1 引言

矢量場(chǎng)可視化是科學(xué)可視化的一個(gè)經(jīng)典分支，在氣象分析、航空航天等眾多領(lǐng)域具有無(wú)可替代的作用。矢量場(chǎng)可視化的目的是將矢量場(chǎng)仿真數(shù)據(jù)以一種視覺(jué)可見(jiàn)的方式正確表達(dá)出來(lái)，同時(shí)這樣表達(dá)出來(lái)的信息必須便于人們理解和分析矢量場(chǎng)的特征。流線可視化，能夠直觀地反映矢量場(chǎng)的特征，同時(shí)計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)便快捷，一直是矢量場(chǎng)可視化分析中最重要的方法之一。

流線是從某個(gè)種子點(diǎn)出發(fā)，沿著該點(diǎn)流向的正向和反向，通過(guò)矢量場(chǎng)積分計(jì)算得到的曲線。種子點(diǎn)的選取對(duì)流線的質(zhì)量具有非常關(guān)鍵的作用。流線種子點(diǎn)選取不當(dāng)可能會(huì)引起視覺(jué)混亂、特征不明顯等一系列問(wèn)題。

近年來(lái)，矢量場(chǎng)種子點(diǎn)布局算法呈現(xiàn)百家爭(zhēng)鳴的局面。2D流場(chǎng)中，Jobard等提出等距離種子點(diǎn)放置方法[1]，并經(jīng)過(guò)多次改進(jìn)[2-4]。等距離種子點(diǎn)放置方法的目的是在矢量場(chǎng)中等距離地放置流線以避免視覺(jué)聚類。但這種方法不對(duì)矢量場(chǎng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，可能會(huì)造成矢量場(chǎng)中重要特征不明顯的問(wèn)題。最遠(yuǎn)種子點(diǎn)放置算法[5]在距現(xiàn)有流線最遠(yuǎn)的地方放置種子點(diǎn)，保證矢量場(chǎng)中不會(huì)出現(xiàn)大塊空白的區(qū)域。這個(gè)算法的缺點(diǎn)與等距離種子點(diǎn)的缺點(diǎn)類似，不對(duì)矢量場(chǎng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析可能錯(cuò)過(guò)某些重要特征?；谔卣鞯目梢暬椒ㄖ饕P(guān)注矢量場(chǎng)中的主要特征提取，Helman等人[6]對(duì)2D 矢量場(chǎng)的拓?fù)溥M(jìn)行分析，對(duì)臨界點(diǎn)進(jìn)行檢測(cè)和分類，并以此作為基礎(chǔ)執(zhí)行可視化算法。Verma等人提出了基于拓?fù)涞姆N子點(diǎn)放置方法[7]，這個(gè)算法首先分析矢量場(chǎng)得到關(guān)鍵點(diǎn)，然后利用預(yù)先定義的模板在關(guān)鍵點(diǎn)周圍進(jìn)行布點(diǎn)，這樣可以保證重要特征的突出顯示。本文后面初始布點(diǎn)時(shí)用到的模板就與Verma等人的模板相同。3D流場(chǎng)中，Ye等人在[8]中將Verma等的方法擴(kuò)展到三維流場(chǎng)中，并定義了三維流場(chǎng)的模板。Li和Shen提出了基于圖像的三維矢量場(chǎng)種子點(diǎn)布置方法[9]，有效地避免了流線雜亂和視覺(jué)的混亂。Xu等人提出了矢量場(chǎng)信息化的信息框架，以獨(dú)特的視角詮釋了流線生成的信息意義。國(guó)內(nèi)的王少榮等人[10]提出了一種基于出入度的種子點(diǎn)布局算法。

在已經(jīng)有了如此多的種子點(diǎn)選擇算法后，對(duì)種子點(diǎn)的質(zhì)量評(píng)估算法卻寥寥無(wú)幾。本文提出了一種基于信息論的矢量場(chǎng)種子點(diǎn)評(píng)估和布局算法，并利用CUDA（Compute Unified Device Architecture，計(jì)算統(tǒng)一設(shè)備架構(gòu)）對(duì)其做了不錯(cuò)的性能加速[11]。

本文的核心思想是：矢量場(chǎng)中矢量變化越大的區(qū)域，其局部熵值越大，擁有重要特征的可能性越大（詳見(jiàn)2.1節(jié)）。初始布點(diǎn)，選擇擁有極大局部熵值的網(wǎng)格點(diǎn)，對(duì)其周圍進(jìn)行模板布點(diǎn)，突出顯示矢量場(chǎng)的重要特征。然后利用現(xiàn)有流線擴(kuò)散出一個(gè)中間矢量場(chǎng)，求解中間矢量場(chǎng)與初始矢量場(chǎng)的條件熵，來(lái)衡量初始矢量場(chǎng)中除中間矢量場(chǎng)中的共有信息外的未知信息的熵值，確定現(xiàn)有流線是否已經(jīng)能夠展示出初始矢量場(chǎng)中的足夠信息，從而確定是否要繼續(xù)在矢量場(chǎng)中加入新的種子點(diǎn)。新的種子點(diǎn)的放置采取基于重要性取樣的方法。本文提出的算法最終目的是以較少的流線展示出矢量場(chǎng)中大部分信息。

2 基于信息熵的流線評(píng)估和布局算法

2.1 程序流程

圖1給出了本文算法的程序流程圖。算法包括三個(gè)比較大的模塊，分別為基于信息熵的初始種子點(diǎn)布置、流線質(zhì)量評(píng)估以及基于重要性種子點(diǎn)取樣?；谛畔㈧氐某跏挤N子點(diǎn)布置模塊對(duì)矢量場(chǎng)特征進(jìn)行分析，找到其主要特征并生成流線。流線質(zhì)量評(píng)估模塊對(duì)現(xiàn)有流線進(jìn)行質(zhì)量評(píng)估，以確定現(xiàn)有流線是否已經(jīng)展示出矢量場(chǎng)中足夠的信息，是否需要繼續(xù)添加流線?；谥匾苑N子點(diǎn)取樣的目的是根據(jù)條件熵向矢量場(chǎng)中添加新的種子點(diǎn)。

圖1 基于信息熵種子點(diǎn)評(píng)估和布局算法流程圖

后續(xù)的章節(jié)中，將對(duì)各模塊的具體算法實(shí)現(xiàn)進(jìn)行介紹。

2.2 基于信息熵的初始布點(diǎn)

在本文中，將矢量及其所有鄰近網(wǎng)格點(diǎn)（本文網(wǎng)格點(diǎn)的鄰近點(diǎn)規(guī)模：2D數(shù)據(jù)為132個(gè)，3D數(shù)據(jù)為133個(gè)）作為一個(gè)隨機(jī)系統(tǒng)并求解該系統(tǒng)的熵值。矢量變化越大即矢量越混亂的系統(tǒng)，其熵值越大，含有重要特征的可能越大。利用這個(gè)方法選取的種子點(diǎn)，可以很好地抓住矢量場(chǎng)的主要特征。

2.2.1 概率分布函數(shù)求解

要求解網(wǎng)格點(diǎn)的局部熵值，首先要統(tǒng)計(jì)網(wǎng)格點(diǎn)及其所有鄰近點(diǎn)的方向區(qū)間直方圖，得到該矢量場(chǎng)的概率分布函數(shù)p(xi)。

對(duì)所有矢量，先按方向進(jìn)行量化，將其分為若干個(gè)方向區(qū)間。

對(duì)于2D矢量，先將矢量表示為角度θ∈[0,360)，角度空間被劃分為60個(gè)區(qū)間，每個(gè)區(qū)間6°。對(duì)于矢量為(a,b)的網(wǎng)格點(diǎn)，如果a，b均不為0，則該矢量角度區(qū)間求法如式（2）：

1948年，信息論之父C.E.Shannon在論文[12]中提出了信息熵的概念，用來(lái)解決信息的量化度量問(wèn)題。信息熵描述了隨機(jī)系統(tǒng)的不確定程度，越有序的系統(tǒng)，其熵值越小，不確定的信息也越少；反之越混亂的系統(tǒng)，熵值越大，不確定的信息越多。

對(duì)于一個(gè)離散變量X，有n個(gè)可能的值(x1,x2,…,xn)每個(gè)值出現(xiàn)的概率為(p1,p2,…,pn)，則X的離散熵為：

對(duì)于3D矢量，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，本文將z軸單獨(dú)劃分為6個(gè)區(qū)間，x軸和y軸的劃分與2D矢量相同。z軸區(qū)間值的計(jì)算方法為z×3/r+3其中，3D矢量的角度區(qū)間為z軸的區(qū)間值乘以xOy平面的區(qū)間值。3D數(shù)據(jù)的角度區(qū)間共有360個(gè)。

統(tǒng)計(jì)網(wǎng)格點(diǎn)及其所有鄰近點(diǎn)矢量的方向區(qū)間。假如落在某區(qū)間Ci內(nèi)的矢量個(gè)數(shù)為ni，鄰近點(diǎn)的總個(gè)數(shù)為N，則該角度區(qū)間出現(xiàn)的概率為pi=ni/N。

2.2.2 基于模板的種子點(diǎn)布置

按照2.1節(jié)所示，求取每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的熵值，所有點(diǎn)的熵值構(gòu)成EM（熵值矩陣），選取所有局部熵值大于0.7倍熵最大值的極值點(diǎn)，作為初始布點(diǎn)的模板中心。本文采用的模板是由Verma等人在文[7]中首先提出來(lái)的所有模板的綜合體。對(duì)于2D數(shù)據(jù)，采用了菱形模板，共9個(gè)點(diǎn)，分別為4個(gè)頂點(diǎn)，4條邊的中點(diǎn)及1個(gè)中心點(diǎn)。對(duì)于3D數(shù)據(jù)采用了八面體模板，共27個(gè)點(diǎn)：1個(gè)中心點(diǎn)，6個(gè)頂點(diǎn)，8個(gè)面的中心點(diǎn)，12條邊的中點(diǎn)。

圖2（a）是Isabel的某個(gè)時(shí)間片的切片矢量圖，圖2（b）展示了根據(jù)本文的算法對(duì)該數(shù)據(jù)求解熵矩陣，并對(duì)熵極值進(jìn)行模板布點(diǎn)后的流線。

圖2 Isabel數(shù)據(jù)切片的矢量圖及其對(duì)應(yīng)的熵圖1）

2.3 流線質(zhì)量評(píng)估

這一模塊主要包括兩個(gè)步驟：首先根據(jù)現(xiàn)有流線生成中間矢量場(chǎng)，然后根據(jù)初始矢量場(chǎng)與中間矢量場(chǎng)的條件熵量化評(píng)估流線對(duì)矢量場(chǎng)信息的反映程度。

2.3.1 條件熵

條件熵反映的是兩個(gè)隨機(jī)變量之間的不確定性。在本文中初始矢量場(chǎng)和中間矢量場(chǎng)的條件熵描述的是：在完全已知中間矢量場(chǎng)Y(x)的情況下，初始矢量場(chǎng)X(x)中除了與Y(x)共享的信息之外的信息的熵值。也就是，Y(x)中剩余信息的不確定性。

條件熵有兩種計(jì)算方法，如公式（3）和公式（5）：

本文中，全局條件熵的計(jì)算直接放置CPU中進(jìn)行，沒(méi)有空間限制，采用公式（5）只需對(duì)所有網(wǎng)格進(jìn)行一次遍歷，能獲得較高的時(shí)間性能。而在基于重要性布點(diǎn)過(guò)程中求解局部條件熵時(shí)，算法需要求解每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)及其所有鄰居點(diǎn)的條件熵。如果采用串行算法，將面臨高昂的時(shí)間代價(jià)，所以將這一部分移動(dòng)到GPU中利用CUDA進(jìn)行加速計(jì)算。實(shí)驗(yàn)表明，此時(shí)采用公式（3）將取得更好的時(shí)間性能。

2.3.2 求解中間矢量場(chǎng)

本文通過(guò)最小化能量方程（7）的方法來(lái)求解中間矢量場(chǎng)Y(x)。這種方法能夠保證整個(gè)矢量場(chǎng)被恰當(dāng)覆蓋，同時(shí)，還能保證中間矢量場(chǎng)經(jīng)過(guò)光滑處理，并且光滑后流線上的點(diǎn)的中間值與真實(shí)值之間的差異最小。

本文應(yīng)用的能量方程與參考文獻(xiàn)[13]中提出的外部力相同。具體的求解過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)[13]。上述能量方程的求解結(jié)果為：

其中μ=0.1（經(jīng)驗(yàn)值），?f(x)=?(x)，dt自己設(shè)定，但須滿足CFL約束條件[14]。

圖3展示了經(jīng)過(guò)若干次的迭代后求解出的中間矢量（藍(lán)色）與初始矢量（紅色）的比較結(jié)果。只有藍(lán)色矢量的網(wǎng)格點(diǎn)表示初始矢量與中間矢量相同，在顯示時(shí)被覆蓋了。圖3（d）中，中間矢量場(chǎng)中絕大部分的網(wǎng)格點(diǎn)或者因?yàn)楸涣骶€覆蓋或者因?yàn)橛行У氖噶炕謴?fù)，得到了與原始矢量近似或者相同的結(jié)果。

對(duì)于大規(guī)模的數(shù)據(jù)，此模塊耗費(fèi)的時(shí)間非常長(zhǎng)。為了減少此模塊的時(shí)間，本文將這一模塊放到了GPU上進(jìn)行并行計(jì)算。

圖3 各步驟流線恢復(fù)出的中間矢量場(chǎng)

圖3中圖（a）顯示判斷網(wǎng)格點(diǎn)是否在流線上，其中紅色的網(wǎng)格點(diǎn)表示在流線上，在建立近似矢量場(chǎng)時(shí)，這些網(wǎng)格點(diǎn)的矢量值將等于初始值，其他藍(lán)色點(diǎn)均為0。圖（b）展示了根據(jù)（a）中流線生成的中間矢量場(chǎng)與初始矢量場(chǎng)的比較。圖（d）為迭代終止后的中間矢量場(chǎng)。圖（b）（c）（d）三幅圖反映了中間矢量場(chǎng)逐漸與原始矢量場(chǎng)重合的過(guò)程。

2.4 基于重要性取樣

初始布點(diǎn)完成以后，矢量場(chǎng)中大部分的重要特征已經(jīng)顯示出來(lái)。后續(xù)迭代的重要性取樣是為了更加強(qiáng)調(diào)這種特征顯示同時(shí)填充矢量場(chǎng)中的空白區(qū)域。這個(gè)迭代過(guò)程的結(jié)束條件是矢量場(chǎng)中所有的信息可見(jiàn)，即：矢量場(chǎng)的全局條件熵趨于收斂。

根據(jù)求解出的中間矢量場(chǎng)Y(x)和初始矢量場(chǎng)X(x)求解每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的條件熵，更新CEM。對(duì)于某個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)來(lái)說(shuō)，該處的條件熵越大，則成為新一輪種子點(diǎn)的可能性也越大。新一輪的布點(diǎn)過(guò)程中，網(wǎng)格點(diǎn)(x,y)被選中的概率為：

其中，h(x,y)為點(diǎn)(x,y)處的條件熵。

所有網(wǎng)格點(diǎn)的布點(diǎn)概率構(gòu)成了概率分布函數(shù)（PDF），然后利用反變換的方法選取新一輪的網(wǎng)格點(diǎn)。

2.5 終止條件

重要性取樣迭代進(jìn)行，在每次循環(huán)中，將一定數(shù)量的種子點(diǎn)布置到矢量場(chǎng)中，直到初始矢量場(chǎng)與中間矢量場(chǎng)的條件熵值趨于收斂。對(duì)于不同的數(shù)據(jù)，每次循環(huán)放置的種子點(diǎn)個(gè)數(shù)也不相同，通常情況下，每次循環(huán)放置的種子點(diǎn)數(shù)為網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)的平方根。

3 結(jié)果和討論

測(cè)試算法在64位Windows 7系統(tǒng)，Lenovo ideapad Y470，Intel core i5，3 GB內(nèi)存機(jī)器上運(yùn)行。機(jī)器配備的顯卡為Nvidia GeForce GT525。

3.1 颶風(fēng)Isabel矢量場(chǎng)切片

圖4展示了兩種不同的算法對(duì)Isabel數(shù)據(jù)集切片的可視化結(jié)果。圖4（a）是本文算法執(zhí)行基于信息熵的初始布點(diǎn)的結(jié)果。由圖中可以看出即使此時(shí)流場(chǎng)中只存在較少數(shù)量的流線，流場(chǎng)中的特征區(qū)域已經(jīng)被全部顯示出來(lái)。圖 4（a）中III部分存在顯著源或匯，結(jié)合圖 2（a）點(diǎn)圖標(biāo)矢量方向，可知此處存在源，II和V部分存在比較明顯鞍面，II、IV和VI部分存在需要用戶重視的特征區(qū)域。這證明了本文的算法在初始布點(diǎn)后能夠很好地捕獲流場(chǎng)中主要特征區(qū)域。圖4（b）算法經(jīng)過(guò)兩次迭代后的中間結(jié)果。

圖4（c）展示算法最終結(jié)果圖。圖中，各個(gè)特征區(qū)域周圍的流線數(shù)目更多，特征區(qū)域得到加強(qiáng)顯示；而非特征區(qū)域流線數(shù)目相對(duì)較少但不影響用戶對(duì)流場(chǎng)的理解。圖4（d）是最遠(yuǎn)種子點(diǎn)算法生成的流線。圖中幾個(gè)特征區(qū)域并不明顯且短流線較多，尤其對(duì)應(yīng)于圖4（a）I區(qū)域位置的特征區(qū)域很難識(shí)別出來(lái)。與最遠(yuǎn)種子點(diǎn)算法相比，本文提出的算法能夠更好的捕獲流場(chǎng)中的特征區(qū)域，并予以突出顯示。

圖（e）顯示了在算法迭代過(guò)程中，中間矢量場(chǎng)與初始矢量場(chǎng)的條件熵逐漸趨于收斂，矢量場(chǎng)中未被顯示的信息逐漸減少。

3.2 Rayleigh-Bénard數(shù)據(jù)集

圖6展示的是本文算法應(yīng)用于Rayleigh-Bénard數(shù)據(jù)集的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。Rayleigh-Bénard對(duì)流現(xiàn)象（RBC）是指當(dāng)流體的Rayleigh數(shù)達(dá)到某一特定數(shù)值時(shí)產(chǎn)生對(duì)流的現(xiàn)象[15]。RBC現(xiàn)象是一種在自然界和工業(yè)中普遍存在的熱流動(dòng)現(xiàn)象。本文獲取矢量場(chǎng)數(shù)據(jù)的方法是利用CFD模擬計(jì)算兩無(wú)限平行板間的RBC對(duì)流。圖5是模擬采用的幾何模型示意圖。模擬網(wǎng)格采用127×34×40的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格。

圖5 Rayleigh-Bénard對(duì)流模擬的模型

圖6（a）中紅色線條是通過(guò)李明等人提出的算法提取的渦核[16]。

圖6（b）展示的是對(duì)矢量場(chǎng)經(jīng)過(guò)初始布點(diǎn)以后的流線圖。圖中可以看出，流線大多纏繞渦核，很好地完成了抓取特征區(qū)域的任務(wù)。

圖6（c）是流線最終放置結(jié)果。最終的結(jié)果圖中，在初始布點(diǎn)生成流線的基礎(chǔ)上增加了流線，特征區(qū)域得到進(jìn)一步加強(qiáng)顯示，非特征區(qū)域也適當(dāng)增加了較少流線，具有全局性。

圖6（d）顯示隨著流線數(shù)目增多，初始矢量場(chǎng)與中間矢量場(chǎng)的條件熵逐步減少直至收斂，最終完成整個(gè)評(píng)估。

3.3 算法性能分析

上面兩個(gè)算例中，Isabel單次評(píng)估和生成流線需要9.26 s，Rayleigh-Bénard數(shù)據(jù)需要46.88 s，算法的速度當(dāng)前還達(dá)不到交互式可視化的要求。

本文算法主要分為3個(gè)模塊，分別為基于信息熵的初始布點(diǎn)、流線質(zhì)量評(píng)估以及基于重要性取樣。以RB對(duì)流數(shù)據(jù)為例，算法各模塊的時(shí)間效率如表1。其中，更新LCM時(shí)，需要對(duì)每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)掃描鄰域，且計(jì)算過(guò)程中需建立一個(gè)360×360的矩陣，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了GPU 16K的共享內(nèi)存存儲(chǔ)范圍，需要采取以時(shí)間換取空間的手段，加大了計(jì)算量，耗費(fèi)了大量的時(shí)間。

圖6 對(duì)流數(shù)據(jù)的可視化結(jié)果

4 結(jié)論

本文提出了一種種子點(diǎn)布局及流線評(píng)估方法。矢量場(chǎng)中熵值越大的區(qū)域，其含有特征點(diǎn)的可能性越大。初始布點(diǎn)中，選取了矢量場(chǎng)中若干個(gè)極值點(diǎn)進(jìn)行基于模板的布點(diǎn)，最終生成的流線能很好地抓住矢量場(chǎng)的主要特征。利用初始矢量場(chǎng)與流線生成的中間矢量場(chǎng)的條件熵對(duì)現(xiàn)有流線進(jìn)行質(zhì)量評(píng)估，條件熵值越小說(shuō)明矢量場(chǎng)中未被現(xiàn)有流線挖掘出的信息越少，流線質(zhì)量越好，需要添加的新流線也越少。加入新的種子點(diǎn)采用基于重要性取樣的方法，保證了矢量場(chǎng)特征區(qū)域的顯著加強(qiáng)顯示。當(dāng)評(píng)估結(jié)果收斂時(shí)終止迭代過(guò)程，此時(shí)初始矢量場(chǎng)中大部分的信息已經(jīng)被現(xiàn)有流線顯示出來(lái)。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于信息熵的初始布點(diǎn)能夠有效地捕獲流場(chǎng)中的主要特征。當(dāng)需要流線數(shù)量少的時(shí)，僅通過(guò)初始布點(diǎn)也能得到很好的效果。初始布點(diǎn)結(jié)束時(shí)，矢量場(chǎng)主要特征雖然被捕獲，但矢量場(chǎng)中仍有大量信息被隱藏，此時(shí)條件熵值也是比較大的。隨著新的流線的不斷加入，流場(chǎng)中隱藏的信息逐漸減少，條件熵值也逐步減小直到收斂于一個(gè)較小的值。整個(gè)評(píng)估過(guò)程有效地量化評(píng)估了現(xiàn)有流線對(duì)矢量場(chǎng)的反應(yīng)程度，即量化評(píng)估了流線的質(zhì)量。

表1 算法各模塊的運(yùn)行時(shí)間

目前，本文算法只能支持結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，網(wǎng)格種類比較單一，算法性能仍需進(jìn)一步提升。未來(lái)將研究本算法應(yīng)用于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的方法。

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