呂 志

(商丘師范學(xué)院 物理與電氣信息學(xué)院，河南 商丘476000)

倒立擺系統(tǒng)是一種典型的多變量、非線性、強耦合和快速運動的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)［1］。對于這樣一個復(fù)雜系統(tǒng)各國學(xué)者做了大量的研究工作，從理論上涉及到系統(tǒng)控制中的許多關(guān)鍵問題:如非線性問題、魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動問題以及跟蹤問題等［2－5］。

以倒立擺系統(tǒng)為研究對象，通過對數(shù)學(xué)模型分析，采用一種分類解耦的線性化方法。隨著理論的發(fā)展，模糊PID 控制算法作為一種非線性智能控制方法，已在多變量、非線性等復(fù)雜系統(tǒng)的控制中發(fā)揮了重要的作用，為此文中將模糊PID 控制應(yīng)用于倒立擺系統(tǒng)中，最后通過Matlab 仿真證明該設(shè)計方案的有效性與優(yōu)越性。

1 倒立擺系統(tǒng)模型及其線性化

如圖1 所示，將倒立擺系統(tǒng)看作為小車和勻質(zhì)桿件組成的系統(tǒng)。根據(jù)其結(jié)構(gòu)和動力學(xué)原理，可以建立倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型［6－9］。

圖1 倒立擺系統(tǒng)原理示意Fig.1 Diagram of inverted pendulum system principle

其中，小車質(zhì)量為M，擺桿質(zhì)量為m，在小車上的控制力為F，擺桿轉(zhuǎn)動慣量為I，擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心長度為l，x 代表小車位移，φ 代表擺桿與豎直向上方向的夾角，小車的摩擦系數(shù)為b，重力常數(shù)g;且有擺桿擺角θ = π + φ。

由于研究該系統(tǒng)的主要目的是使倒立擺在外力的作用下小車上的擺桿仍然保持目標(biāo)狀態(tài)，即豎直向上的狀態(tài)，所以擺桿產(chǎn)生的擺角幅度較小，為此認(rèn)為:φ ＜＜1，則有如下關(guān)系近似成立:cosθ ≈－1，sinθ ≈θ，˙θ2≈0，帶入上式方程可得式(2):

由方程(2)可以看出，該系統(tǒng)有4 個輸入變量即為(˙x，x，˙θ，θ)，將式(2)整理為矩陣形式可以得到式(3):

由式(3)可見，系統(tǒng)中變量、位移x 與擺桿擺角θ 之間存在一定的耦合關(guān)系，不能直接實現(xiàn)閉環(huán)控制，所以先對變量進行線性化解耦。在解耦的過程中，考慮到輸入變量為位移與速度兩大類，屬于二維變量。為了便于實現(xiàn)控制，對控制變量進行分類解耦，具體方法是將式(3)中¨x，θ¨參數(shù)進行轉(zhuǎn)換，即可得到式(4)。式(4)實現(xiàn)了對系統(tǒng)變量的線性化解耦。

為此，系統(tǒng)中變量位移x 與變量擺桿擺角θ 之間的耦合關(guān)系通過式(4)分類解耦實現(xiàn)了線型處理，從而可以分別對其設(shè)計模糊PID 控制器，不必?fù)?dān)心2 個變量間的互相干擾問題。

2 模糊PID 的控制器設(shè)計

如上所述，倒立擺系統(tǒng)是一個多變量、非線性、強耦合不穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，其系統(tǒng)的控制目標(biāo)是系統(tǒng)在外力的干擾下擺桿仍然保持豎直向上的狀態(tài)。然而，根據(jù)該系統(tǒng)自身的特點，即在對倒立擺擺桿角度進行控制的同時，還應(yīng)對倒立擺系統(tǒng)的小車位置進行輔助控制，因此提出擺角與位置分類解耦控制。

為了最簡單化的實現(xiàn)目標(biāo)控制，文中在變量分類解耦的基礎(chǔ)上，提出基于分類解耦模糊PID 控制方案，即在經(jīng)典控制理論算法上，建立其模糊控制規(guī)則，然后再通過對倒立擺系統(tǒng)誤差及誤差變化率的計算，最終實現(xiàn)對倒立擺系統(tǒng)PID 參數(shù)的最佳調(diào)整。其結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 分類解耦模糊PID 控制結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure diagram of classification decoupling fuzzy PID control

模糊自整定PID 控制器以誤差e 和誤差變化率˙e 作為輸入，PID 參數(shù)kp，ki，kd 作為輸出。根據(jù)前面的分類解耦，已將系統(tǒng)的4 個輸入變量轉(zhuǎn)化成兩個獨立的兩輸入三輸出的變量系統(tǒng)。在此只需設(shè)計兩個模糊控制函數(shù)即可。這里將誤差和誤差變化率作為模糊控制器的兩個輸入、輸出分別為擺桿擺角與小車位移。

文中采用三角隸屬度函數(shù)來定義輸入、輸出變量，并取每個輸入輸出變量有5 個模糊子集，對其定義為負(fù)大(NB)，負(fù)小(NS)，零(Z0)，正小(PS)，正大(PB)。同時根據(jù)隸屬度函數(shù)與仿真觀察，可分別確定各模糊控制器輸入輸出變量的論域和量化因子如表1 所示。根據(jù)仿真驗證采用的模糊控制規(guī)則如表2 ～3 所示。

表1 各模糊控制器輸入輸出變量的論域和量化因子Tab.1 Domain and quantitative factors of kinds of fuzzy controller input and output variables

表2 位置模糊規(guī)則Tab.2 Table of position fuzzy rules

表3 擺角模糊規(guī)則Tab.3 Table of pendulum angle fuzzy rules

3 仿真實驗

文中取小車的質(zhì)量M = 2 kg，擺桿質(zhì)量m =0.1 kg，倒擺長度l = 0.5 m，擺桿轉(zhuǎn)動慣量為I =0.02 kg·m2，小車的摩擦系數(shù)為b =5 kg/s;并設(shè)定該系統(tǒng)中小車的初始位置為0.5 m，擺桿的初始擺角為0.1 rad。對上述倒立擺控制系統(tǒng)進行仿真，其仿真實驗結(jié)果如圖3，4 所示。其中，圖3 為分類解耦下的模糊PID 控制仿真結(jié)果，圖4 為分類解耦下的常規(guī)PID 控制仿真結(jié)果。

圖3 模糊PID 控制仿真結(jié)果Fig.3 Fuzzy PID control simulation results

圖4 常規(guī)PID 控制仿真結(jié)果Fig.4 Conventional PID control simulation results

由此可以看出，使用模糊PID 控制方案不但使系統(tǒng)達到了所要求的性能指標(biāo)，而且用該控制策略的性能明顯優(yōu)于僅僅采用常規(guī)PID 控制的性能品質(zhì)，它有效地縮小了系統(tǒng)的超調(diào)量，縮短了穩(wěn)定時間，減少了系統(tǒng)的輸出振蕩，同時也提高了系統(tǒng)的魯棒性能。

4 結(jié) 語

針對倒立擺系統(tǒng)是一個多變量、非線性、強耦合不穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，通過對倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型分析，采用了一種分類解耦的線性化方法，對分類偶的變量分別進行模糊PID 控制，然后使兩種控制器在不同范圍內(nèi)發(fā)揮其各自優(yōu)勢，即在誤差和誤差變化率都不大的情況下，發(fā)揮PID 控制精度高、穩(wěn)態(tài)特性好的優(yōu)勢，在誤差和誤差變化率較大的情況下發(fā)揮模糊控制器的抗干擾能力強和快速性的優(yōu)勢。仿真結(jié)果表明，這種控制器不但降低了PID 參數(shù)整定的難度，提高了系統(tǒng)的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能，而且提高了系統(tǒng)的魯棒性。

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