王 彬，李建成，高井祥，劉 超

1.武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北 武漢430079；2.中國礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測(cè)繪學(xué)院 江蘇 徐州221116；3.安徽理工大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，安徽 淮南232001

1 引 言

整體最小二乘（TLS）方法可以有效解決系數(shù)矩陣含有誤差的參數(shù)估計(jì)問題，得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并取得了較為理想的結(jié)果［1－5］。近幾年，針對(duì)實(shí)踐中觀測(cè)值不等精度的問題，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)于加權(quán)整體最小二乘（WTLS）的算法及應(yīng)用進(jìn)行了深入研究。文獻(xiàn)［6］將不等精度條件下的變量誤差（EIV）模型的函數(shù)模型作為限制條件，通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的方式推導(dǎo)了WTLS的迭代算法，并應(yīng)用到了線性回歸中；文獻(xiàn)［7］利用高斯－赫爾默特模型研究了 WTLS的計(jì)算方法，并將其應(yīng)用于平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中；文獻(xiàn)［8］引入非線性最小二乘的牛頓－高斯（Newton－Gauss）法，獲得了WTLS的迭代算法；文獻(xiàn)［9］也從非線性最小二乘的角度入手，研究了WTLS的解算方法并推廣到了partial－EIV模型中，有效地減少了未知數(shù)的數(shù)量。

以上研究都是針對(duì)系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量中僅包含偶然誤差的情況，當(dāng)系數(shù)陣和觀測(cè)向量受到粗差污染時(shí)，參數(shù)估值必將受到不利影響，有時(shí)甚至?xí)?yán)重失真。國內(nèi)外對(duì)于經(jīng)典最小二乘的粗差處理方法已經(jīng)進(jìn)行了深入研究，采用的方法大致可分為基于均值漂移的粗差探測(cè)［10－11］和基于方差－協(xié)方差膨脹的抗差估計(jì)［12－17］兩大類。相對(duì)于粗差探測(cè)技術(shù)，抗差估計(jì)的實(shí)現(xiàn)通常更為簡單，其關(guān)鍵是權(quán)因子函數(shù)的構(gòu)造。一個(gè)合理的抗差方案應(yīng)能同時(shí)顧及觀測(cè)空間和結(jié)構(gòu)空間抗差，為達(dá)到這一目的通常應(yīng)采用標(biāo)準(zhǔn)化殘差構(gòu)造權(quán)因子函數(shù)［13］。

目前，關(guān)于整體最小二乘的粗差處理方法的研究還較少。文獻(xiàn)［18—19］基于高斯－赫爾默特模型和Huber權(quán)函數(shù)提出了三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的穩(wěn)健WTLS方法。文獻(xiàn)［20］對(duì)穩(wěn)健混合TLS方法進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［21］將文獻(xiàn)［18—19］中的Huber權(quán)函數(shù)替換成了IGG函數(shù)，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的優(yōu)勢(shì)。然而，上述關(guān)于WTLS的粗差處理方法存在著共同的問題：直接采用殘差構(gòu)造權(quán)因子函數(shù)，無法顧及結(jié)構(gòu)空間的抗差性，模型不夠合理，特別在非等精度的情況下抗差效果并不理想。本文基于 WTLS的Newton－Gauss迭代算法［8］，借鑒一般抗差估計(jì)的等價(jià)權(quán)原理，提出一種抗差加權(quán)整體最小二乘（RWTLS）模型，采用標(biāo)準(zhǔn)化殘差構(gòu)造權(quán)因子函數(shù)，并利用中位數(shù)法獲得具有抗差性的單位權(quán)中誤差估值。在模型構(gòu)建過程中，對(duì)權(quán)因子的計(jì)算和等價(jià)權(quán)的更新、系數(shù)陣固定元素的處理等關(guān)鍵問題進(jìn)行了研究。為獲得標(biāo)準(zhǔn)化殘差，利用線性近似的協(xié)因數(shù)傳播律推導(dǎo)了WTLS殘差協(xié)因數(shù)陣的表達(dá)式，并給出了迭代計(jì)算方法。該算法在觀測(cè)空間和結(jié)構(gòu)空間均具有良好的抗差能力。

2 基于Newton－Gauss法的WTLS迭代算法

EIV模型的函數(shù)模型為

式中，L為m×1維的觀測(cè)向量；A為m×n維的系數(shù)矩陣，rank（A）＝n＜m；eL是L的隨機(jī)誤差向量；EA為A的隨機(jī)誤差矩陣；X為n×1維的未知參數(shù)向量。

相應(yīng)的隨機(jī)模型為

式中，eA＝vec（EA），vec表示矩陣的列向量化算子，是將矩陣的每一列按從左到右的順序堆疊；QL和QA分別為eL和eA的協(xié)因數(shù)陣，其維數(shù)分別為m×m和mn×mn；σ0為單位權(quán)中誤差。

設(shè)在第i次迭代計(jì)算后，獲得的參數(shù)估值為，預(yù)測(cè)殘差矩陣為將式（1）右端在處利用泰勒級(jí)數(shù)展開

式（3）省略了二階以上的部分，僅保留一階項(xiàng)。式中，δX為的微小改正值，且表示m階單位陣。

結(jié)合EIV模型的參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則，可構(gòu)造出WTLS的拉格朗日目標(biāo)函數(shù)［8］

利用Euler－Lagrange必要條件，對(duì)各變量求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零可得

式中

將最小二乘的參數(shù)估值作為初值，按照式（5a）—式（5d）所描述的迭代過程進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)滿足是給定的小正數(shù)）時(shí)停止迭代，即可獲得參數(shù)的WTLS解。

3 基于Newton－Gauss法的RWTLS的基本原理和算法

3.1 RWTLS的基本原理

將EIV模型的參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則寫成式（7）的形式

式中

這與經(jīng)典最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則的形式相同，當(dāng)觀測(cè)向量L和系數(shù)陣A含有粗差時(shí)，難以獲得準(zhǔn)確的參數(shù)解。為此，本文借鑒一般抗差估計(jì)的等價(jià)權(quán)原理，提出RWTLS模型，以式（9）作為估計(jì)準(zhǔn)則

式中

在WTLS方法的迭代計(jì)算過程中，先驗(yàn)協(xié)因數(shù)陣QL和QA始終保持不變。RWTLS算法與之不同，為了達(dá)到抵抗粗差的效果，等價(jià)協(xié)因數(shù)陣和需要在迭代過程中不斷更新。

根據(jù)等價(jià)權(quán)抗差原理，在迭代計(jì)算過程中需要利用權(quán)因子函數(shù)計(jì)算等價(jià)權(quán)陣，而計(jì)算公式中需要的是等價(jià)協(xié)因數(shù)陣），為了方便計(jì)算，當(dāng)觀測(cè)值相互獨(dú)立時(shí)，采用式（13）直接獲得

相關(guān)觀測(cè)條件下，為保持觀測(cè)值間的相關(guān)性不變，采用雙因子模型［15－16］的形式

式中，下標(biāo)i和j表示觀測(cè)值序號(hào)和qeij分別表示和Qe中對(duì)應(yīng)位置的元素；Rii和Rjj為相應(yīng)權(quán)因子的倒數(shù)，這里稱之為協(xié)因數(shù)因子。式（13a）—（13b）兩邊同時(shí)乘以單位權(quán)方差因子就是異常觀測(cè)方差膨脹模型，這與直接計(jì)算等價(jià)權(quán)陣的方式是完全等價(jià)的［15］。需要注意的是，這里應(yīng)加入i和j的限制條件為對(duì)應(yīng)的先驗(yàn)協(xié)因數(shù)不為零，如果系數(shù)陣中含有固定元素，則對(duì)應(yīng)位置的先驗(yàn)協(xié)因數(shù)為零，在平差后不參與誤差分配，就不存在更新權(quán)的問題。

對(duì)于IGGⅢ的權(quán)因子函數(shù)，對(duì)其求倒數(shù)便可獲得對(duì)應(yīng)的協(xié)因數(shù)因子函數(shù)

由于IGGⅢ函數(shù)的第3段為0，對(duì)應(yīng)協(xié)因數(shù)因子的理論值應(yīng)為無窮，為了方便實(shí)際計(jì)算，用一個(gè)大數(shù)（1030）代替，這樣在數(shù)值計(jì)算上完全能夠滿足要求。k0和k1為常數(shù)，實(shí)際中通?？煞謩e取k0＝2.0～3.0，k1＝4.0～8.0。直接利用殘差構(gòu)造的權(quán)因子（或協(xié)因數(shù)因子）函數(shù)沒有考慮結(jié)構(gòu)空間的抗差性，難以保證良好的抗差性能，式（14）采用標(biāo)準(zhǔn)化殘差進(jìn)行構(gòu)造在理論上更加合理，而且不受先驗(yàn)單位權(quán)中誤差取值的影響。的計(jì)算公式為

式中，σ0為單位權(quán)中誤差表示殘差向量Ve的第i個(gè)元素，在迭代計(jì)算過程中不斷更新。在一般的標(biāo)準(zhǔn)化殘差抗差估計(jì)模型中，是利用各最小二乘殘差的協(xié)因數(shù)來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化殘差的，而這里的代表第i個(gè)WTLS殘差的協(xié)因數(shù)。由于傳統(tǒng)的計(jì)算公式獲得的σ0估值受粗差的影響較大，本文引入一般抗差估計(jì)模型中采用的中位數(shù)法［12］獲得具有抗差性的單位權(quán)中誤差估值，計(jì)算公式為

需要注意的是，式（15）和式（16）都應(yīng)加入i的限制條件。

3.2 WTLS殘差協(xié)因數(shù)陣的推導(dǎo)

在一般的抗差估計(jì)模型中，LS殘差的協(xié)因數(shù)陣很容易獲得。然而由于EIV模型的非線性特性以及WTLS算法本身的復(fù)雜性，相應(yīng)協(xié)因數(shù)陣的獲得較為困難。針對(duì)此問題，本文利用線性的近似協(xié)因數(shù)傳播律推導(dǎo)殘差協(xié)因數(shù)陣的表達(dá)式。

根據(jù)式（5c）、式（5d），WTLS方法在第i＋1次迭代計(jì)算后得到的殘差向量Ve可表示為

式中

在Newton－Gauss法的第i＋1次迭代計(jì)算過程中，A（i）、X（i）是作為固定值處理的，因此僅認(rèn)為系數(shù)陣A和觀測(cè)向量L有誤差。根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播律可得

由式（19）可知求解Qve要先獲得QR。將式（5a）代入式（18b），可得

式中

對(duì)U作如下變換

根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播律可得

又由式（20）可知

將式（21）和式（23）代入式（24）并整理可得

將式（25）代入式（19）便可獲得殘差協(xié)因數(shù)陣Qve。由于計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化殘差時(shí)只需要各殘差的協(xié)因數(shù)，因此只需分別計(jì)算出和并取其對(duì)角線上的元素。

在一般的抗差估計(jì)模型中，最小二乘殘差的協(xié)因數(shù)陣只與系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量的先驗(yàn)權(quán)陣（或協(xié)因數(shù)陣）有關(guān)，因此其在迭代過程中保持不變。然而上述推導(dǎo)獲得的WTLS殘差協(xié)因數(shù)陣不僅取決于先驗(yàn)協(xié)因數(shù)陣QL和QA，還與本次計(jì)算所代入的參數(shù)和系數(shù)陣殘差的初值X（i）和EA（i）（A（i）由EA（i）計(jì)算所得）有關(guān)。因此 RWTLS與一般抗差估計(jì)方法不同，在每迭代一次后計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化殘差時(shí)，均應(yīng)將先驗(yàn)協(xié)因數(shù)陣QL、QA以及本次迭代所代入的參數(shù)和系數(shù)陣殘差的初值代入式（19）來更新WTLS方法對(duì)應(yīng)的殘差協(xié)因數(shù)陣。

3.3 RWTLS的迭代計(jì)算步驟

將WTLS得到的參數(shù)估值和殘差向量作為初值，按照以下步驟進(jìn)行RWTLS迭代計(jì)算：

（1）將第k次迭代中參數(shù)和系數(shù)陣殘差的初值（第k－1次迭代計(jì)算的結(jié)果）以及先驗(yàn)協(xié)因數(shù)陣QL和QA代入式（25）和式（19）以更新相應(yīng)的WTLS殘差協(xié)因數(shù)陣。

（2）將殘差向量和步驟（1）獲得的 WTLS殘差協(xié)因數(shù)代入式（16）和式（15）獲得第k次迭代的標(biāo)準(zhǔn)化殘差。

（3）利用式（13）和式（14）更新和，進(jìn)而獲得第k＋1次迭代的參數(shù)估值和殘差向量。

4 算例分析

設(shè)一直線方程為y＝4x＋3，設(shè)待估參數(shù)分別為截距a和斜率b，則對(duì)應(yīng)的真值分別為3和4。

在此直線上選取26個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，事先分別給定各點(diǎn)x和y坐標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差（非等精度），每次模擬均根據(jù)相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差產(chǎn)生模擬隨機(jī)誤差并加入到各點(diǎn)的坐標(biāo)真值中。

指定粗差的位置隨機(jī)產(chǎn)生（可能同時(shí)出現(xiàn)在某點(diǎn)的x和y坐標(biāo)上），其絕對(duì)值介于10～30倍的標(biāo)準(zhǔn)差之間，分別在粗差個(gè)數(shù)為1、2和3個(gè)時(shí)進(jìn)行500次模擬，每次均加入到含有隨機(jī)誤差的觀測(cè)數(shù)據(jù)中。先驗(yàn)單位權(quán)中誤差σ0＝0.2，設(shè)計(jì)的計(jì)算方案如下：加入粗差前進(jìn)行 WTLS估計(jì)（方案①）；加入粗差后，依次采用 WTLS方法（方案②）、文獻(xiàn)［21］的 RWTLS－IGG 方法（方案③）和本文提出的RWTLS方法處理（方案④）。

對(duì)各方案的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到參數(shù)a和b的均方根誤差及其與真值的最大偏差，見表1。圖1—圖3為上述不同粗差個(gè)數(shù)情況下方案③和方案④的試驗(yàn)序列對(duì)比圖，縱軸da和db分別表示參數(shù)估值a和b與其真值的偏差量。

表1 各方案的統(tǒng)計(jì)結(jié)果Tab.1 Statistical results of each scheme

圖1 粗差個(gè)數(shù)為1時(shí)方案③和方案④的對(duì)比Fig.1 Comparison between schemes③and④ when there exists one gross error

圖2 粗差個(gè)數(shù)為2時(shí)方案③和方案④的對(duì)比Fig.2 Comparison between schemes③and④ when there exist two gross errors

圖3 粗差個(gè)數(shù)為3時(shí)方案③和方案④的對(duì)比Fig.3 Comparison between scheme③and④ when there exist three gross errors

根據(jù)表1和圖1—圖3的結(jié)果可以得到以下結(jié)論：

（1）無粗差時(shí) WTLS方法（方案①）的估計(jì)結(jié)果在4種計(jì)算方案中是最優(yōu)的。然而當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)受到粗差污染時(shí)，WTLS方法（方案②）的參數(shù)估值受到了破壞性的影響，與真值產(chǎn)生了很大的偏差。

（2）方案③和方案④的估計(jì)結(jié)果較方案②在整體上均有較大的改善，但方案④較方案③明顯更優(yōu)。當(dāng)粗差個(gè)數(shù)分別為1、2和3個(gè)時(shí)，方案④所得參數(shù)a的均方根誤差分別為方案③的77.6%、66.5%和55.6%，參數(shù)b的均方根誤差分別為方案③的62.6%、48.1%和41.2%。不難發(fā)現(xiàn)，隨著粗差個(gè)數(shù)的增多，方案③獲得的各參數(shù)均方根誤差顯著增大，方案④較方案③的優(yōu)勢(shì)也更為明顯。在500次的模擬過程中，方案③的參數(shù)估值多次與真值產(chǎn)生了較大的偏差，而方案④所獲得的參數(shù)最大偏差值仍然較小。

（3）方案④所得參數(shù)估值的準(zhǔn)確度雖不及方案①，但總的來說差異并不顯著，參數(shù)解仍然準(zhǔn)確可靠。

得到上述結(jié)果的原因是：方案②的WTLS方法不具備抵抗粗差的能力；方案③的RWTLSIGG方法雖然具有一定的抗差能力，但其直接采用殘差構(gòu)造的權(quán)因子函數(shù)無法顧及結(jié)構(gòu)空間的抗差性，在理論上存在一定的缺陷；本文提出的RWTLS方法（方案④）采用標(biāo)準(zhǔn)化殘差構(gòu)造權(quán)因子函數(shù)，并由中位數(shù)法獲得單位權(quán)中誤差估值，在觀測(cè)空間和結(jié)構(gòu)空間均具有良好的抗差能力，在理論上較方案③更為合理。

表2 粗差點(diǎn)的識(shí)別結(jié)果Tab.2 Detection results of gross error points

表2是500次模擬試驗(yàn)中方案③和方案④對(duì)粗差點(diǎn)的識(shí)別情況，分別統(tǒng)計(jì)了不同粗差個(gè)數(shù)條件下，粗差點(diǎn)識(shí)別正確（不存在漏判和誤判）的次數(shù)和正確率。由表2的結(jié)果可知：隨著粗差個(gè)數(shù)的增加，方案③和方案④的粗差點(diǎn)識(shí)別正確率均有所降低，但在不同的粗差個(gè)數(shù)條件下，方案④的正確率始終顯著高于方案③，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了方案④的優(yōu)勢(shì)。

綜上所述，在受到粗差污染的加權(quán)整體最小二乘問題中，本文提出的RWTLS模型的抗差性能優(yōu)于文獻(xiàn)［21］中的RWTLS－IGG方法。

5 結(jié) 語

針對(duì)加權(quán)整體最小二乘的粗差處理問題，本文在WTLS的Newton－Gauss迭代法基礎(chǔ)上，提出了一種抗差加權(quán)整體最小二乘模型。采用標(biāo)準(zhǔn)化殘差構(gòu)造權(quán)因子函數(shù)，并利用中位數(shù)法獲得具有抗差性的單位權(quán)中誤差估值。為獲得標(biāo)準(zhǔn)化殘差，利用線性近似的協(xié)因數(shù)傳播律推導(dǎo)了WTLS殘差協(xié)因數(shù)陣的表達(dá)式，并給出了迭代計(jì)算方法。得到結(jié)論：

（1）由標(biāo)準(zhǔn)化殘差構(gòu)造的權(quán)因子函數(shù)同時(shí)實(shí)現(xiàn)了觀測(cè)空間和結(jié)構(gòu)空間抗差，利用中位數(shù)法獲得的單位權(quán)中誤差估值在迭代過程中具有更好的穩(wěn)健性，較已有的穩(wěn)健WTLS方法在理論上更加合理。

（2）試驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)粗差個(gè)數(shù)分別為1、2和3個(gè)時(shí)，本文提出的RWTLS算法的粗差點(diǎn)識(shí)別正確率分別為文獻(xiàn)［21］中RWTLS－IGG方法的3.2倍、3.3倍和3.6倍；所得參數(shù)a的均方根誤差分別為該方法的77.6%、66.5%和55.6%，b的均方根誤差分別為該方法的62.6%、48.1%和41.2%。粗差識(shí)別能力和參數(shù)估值的準(zhǔn)確度均有顯著改善。

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