張海云

一、數(shù)形結(jié)合的概念與本質(zhì)

在當(dāng)前的教育體制下，高中數(shù)學(xué)的幾個(gè)基本組成模塊：基本知識(shí)、基本技能、基本思想方法，稱(chēng)為“三基”。而數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的重要組成部分。數(shù)形結(jié)合，是把題設(shè)的數(shù)量關(guān)系與空間圖形相結(jié)合，它是貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展歷史長(zhǎng)河中的一條主干線。數(shù)指的是數(shù)據(jù)和式子，形指的是幾何圖形，其本質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)與直觀的圖形聯(lián)系起來(lái)，使高中數(shù)學(xué)抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，通過(guò)對(duì)圖形的分析與處理，起到直觀對(duì)抽象的解釋?zhuān)瑢?shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的圖形相聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀，以獲得精確的結(jié)論。所以，數(shù)形結(jié)合不僅可作為一種解題方法，還可以作為一種重要的數(shù)學(xué)思想。而當(dāng)今課堂多媒體的應(yīng)用，更有利于體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)。有利于突破難點(diǎn)，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。華羅庚曾說(shuō) “數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”。換句話說(shuō)，數(shù)形結(jié)合可以相互取長(zhǎng)補(bǔ)短.

二、數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)所在

高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，幾何圖形比較直觀，代數(shù)問(wèn)題比較抽象，如果能把抽象的代數(shù)問(wèn)題與幾何圖形結(jié)合起來(lái)，可以使問(wèn)題通俗易懂。數(shù)形結(jié)合是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的一種特別有效的途徑。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合對(duì)啟發(fā)思路，理解題意，深入研究，分析思考，判斷結(jié)論有著事半功倍的作用。同時(shí)，數(shù)形結(jié)合滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)部分，可以通過(guò)對(duì)數(shù)量的研究來(lái)討論圖像的性質(zhì)，也可以用圖像的特征來(lái)反饋?zhàn)兞恐g的關(guān)系。因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合應(yīng)作為經(jīng)?；囊环N思想而被灌輸?shù)綄W(xué)生的學(xué)習(xí)中，形成良好的思維習(xí)慣。

三、數(shù)形結(jié)合在解題中的運(yùn)用

1.函數(shù)方程與數(shù)形結(jié)合

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)、形在一定條件下相互轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)教學(xué)中很常見(jiàn)的一個(gè)規(guī)律，比如在介紹函數(shù)問(wèn)題時(shí)，函數(shù)關(guān)系與圖像可以用平面點(diǎn)集組成的曲線來(lái)描述函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性—對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)，單調(diào)性—圖像走勢(shì)的升降，周期性—圖像是否有規(guī)律的重復(fù)出現(xiàn)或疊合等等。如果能結(jié)合圖形來(lái)解，顯得特別直觀，“腦中有圖像，直觀又形象”。具體來(lái)說(shuō)，它的優(yōu)越性包括以下幾點(diǎn)：①能簡(jiǎn)化復(fù)雜的計(jì)算和論證推理;②能看到整體特點(diǎn)與結(jié)果。③能啟發(fā)解題思路。比如說(shuō)2014年泉州質(zhì)檢題第12題：

例1.給出關(guān)于函數(shù)的下列結(jié)論：

解析：作出函數(shù)y=f（x）的圖像，對(duì)于①容易知道f（-5）=f（0）=f（5）=0成立，正確;

對(duì)于②，可以看出在x∈[-5，5]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖像恒在直線y=k（x+5）的下方，故k的值不可能小于1-2，正確; 對(duì)于③，實(shí)數(shù)對(duì)（m，n）有且只有四對(duì)（0，1），（0，4），（1，4），（2，4）正確.故選D.

評(píng)析：“動(dòng)”是絕對(duì)的，“靜”是相對(duì)的，這是自然規(guī)律，也是一種數(shù)學(xué)思想。本題把抽象的函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的圖形比較，一目了然，避免了復(fù)雜的計(jì)算和推理。

2.解幾中的數(shù)形結(jié)合

解析幾何是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重大成果之一，它的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何圖像，曲線與方程是同一對(duì)象的兩種表現(xiàn)形式，幾何圖形具有直觀的優(yōu)勢(shì)，代數(shù)形式具有便于運(yùn)算的優(yōu)點(diǎn)。因此，在解幾中，數(shù)形結(jié)合思想是最核心的思想方法。比如說(shuō)2014年泉州質(zhì)檢題第16題：

例2.與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)B（a，b）之間距離的幾何問(wèn)題，結(jié)合上述觀點(diǎn)， 可得方程的解為 .

解析：可以將原方程變形為，其代表的幾何意義是點(diǎn)（x，2）到點(diǎn)（-4，0）的距離與到點(diǎn)（4，0）的距離之差的絕對(duì)值為4.結(jié)合雙曲線的定義可知，在直線y=2與雙曲線的交點(diǎn)M，N符合題意，將y=2代入中，得，所以原方程的解為.

評(píng)析：這是一個(gè)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法的非常經(jīng)典的題目，把極其抽象的絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為非常直觀的到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值，滿足雙曲線的定義，解題思路獨(dú)特。這種“由形到數(shù)”的解題模式，使問(wèn)題解得簡(jiǎn)單、直觀、明了，省略了繁雜的運(yùn)算。

人教版必修2平面解析幾何，用幾何的方法處理代數(shù)問(wèn)題的最佳結(jié)合點(diǎn)是直線與圓，因?yàn)閳A既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形，具有非常良好的幾何性質(zhì)，很好的詮釋了數(shù)形結(jié)合，因此，在圓的問(wèn)題上，更加突顯了數(shù)形結(jié)合的重要性。

例3.已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2-4x+3=0，求2x-y的最大值和最小值。

解析：（1）把方程x2+y2-4x+3=0化為圓的標(biāo)準(zhǔn)形式

（x-2）2+y2=1并得出圓心C（2，0）和半徑r=1;

（2）依方程作出準(zhǔn)確的圖形，如圖所示;

（3）設(shè)（x，y）是該圓上任一點(diǎn);

設(shè)2x+y=b，則題問(wèn)轉(zhuǎn)化為求b的最大值與最小值。

（4）將2x+y=b變形為直線的斜截式y(tǒng)=-2x+b，接著分析直線圖像的特征，很容易得到直線y=-2x+b是斜率為-2平行直線系且在y軸上的截距為b;

（5）用直尺平行移動(dòng)，可以看出平移直尺的過(guò)程中截距b的變化趨勢(shì)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓（x-2）2+y2=1相切時(shí)b取得最大或最小值;

（6）由點(diǎn)線的距離公式：， ，因此，。

評(píng)析：本題解題的方法稱(chēng)之為圖解法，解題過(guò)程中不需要太大的計(jì)算，其巧妙之處在于數(shù)形結(jié)合，所求的最值b的幾何意義——斜率為-2的直線在y軸上的截距。這樣轉(zhuǎn)化問(wèn)題就容易理解和接受，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的有效性和可行性。

四、三角中的數(shù)形結(jié)合

在三角函數(shù)這一章中數(shù)形結(jié)合更是比比皆是，利用單位圓來(lái)刻畫(huà)任意角的概念，圖像與性質(zhì)，利用部分圖像求三角函數(shù)的解析式等等.三角中的數(shù)形結(jié)合，本質(zhì)上是抓住正余弦，正切的圖像與性質(zhì)來(lái)應(yīng)用和推廣.

例4.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)， ，如果關(guān)于 x的方程f（x）=a有解，記所有解的和為S，則S不可能為（ ）

解析：如圖，作出函數(shù)y=f（x）的圖像，

直線y=a與x軸平行，

當(dāng)-1≤a≤0時(shí)，f（x）=a有解，分類(lèi)如下：①a=-1或時(shí)，;②時(shí)，;③時(shí)， S=-π. 故答案為B.

評(píng)析：本題是數(shù)形結(jié)合體現(xiàn)在三角中的一種解題思路，是一種非常典型的“由形到數(shù)”的解題模式，是問(wèn)題簡(jiǎn)單，易懂，明了，省略了繁雜的運(yùn)算過(guò)程。

數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是運(yùn)用圖形反映數(shù)量關(guān)系，教學(xué)中多媒體技術(shù)的普遍實(shí)施為數(shù)形結(jié)合的廣泛應(yīng)用架設(shè)了橋梁.在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí)，要注意一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征;恰當(dāng)設(shè)參、巧妙用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化;正確確定參數(shù)的取值范圍。鉆研教材，從數(shù)學(xué)發(fā)展的全局著手，從具體的教學(xué)過(guò)程感知，逐步滲透數(shù)形結(jié)合的思想，使學(xué)生能夠養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的良好習(xí)慣，簡(jiǎn)單的說(shuō)，用“數(shù)”的精確澄清“形”的含糊，用“形”的直觀啟發(fā)“數(shù)”的計(jì)算，使它成為分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的有效工具。