李 琪 李 勇 曹麗華 胡鵬飛

(東北電力大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院)

有關(guān)流體橫掠多孔介質(zhì)層流動(dòng)特性的研究在許多工程領(lǐng)域中有重要意義，如化工應(yīng)用中的催化系統(tǒng)[1,2]、干燥系統(tǒng)[3,4]及流化床鍋爐[5]等。在木材干燥系統(tǒng)中[3]，木材可視為多孔介質(zhì)區(qū)，其余空間為自由流體區(qū)。通過(guò)研究此類結(jié)構(gòu)內(nèi)流體流動(dòng)的穩(wěn)定特性，進(jìn)一步研究干燥系統(tǒng)中流場(chǎng)的影響因素和穩(wěn)定條件。多孔介質(zhì)層流動(dòng)不僅涉及自由流體區(qū)和多孔介質(zhì)區(qū)內(nèi)的流動(dòng)特性，同時(shí)也涉及到自由流體區(qū)與多孔介質(zhì)區(qū)界面附近處的流體流動(dòng)特性，越來(lái)越受到學(xué)者的關(guān)注。而前人在研究此復(fù)雜界面的流動(dòng)特性時(shí)，在多孔介質(zhì)區(qū)內(nèi)部以及自由流體區(qū)與多孔介質(zhì)區(qū)界面處采用了不同的控制方程形式[6～10]。Beavers G S和Joseph D D首次提出采用滑移速度處理多孔介質(zhì)與流體壁面接觸的界面條件，并在多孔介質(zhì)中采用Darcy模型[9]。然而由于多孔介質(zhì)當(dāng)中的Darcy模型不能解決邊界問(wèn)題，造成界面處速度的不連續(xù)，一些學(xué)者又采用了Brinkman- extended Darcy 模型[6,7]。最近，Ochoa- Tapia J A和Whitaker S提出了一種新模型，認(rèn)為在界面處速度是連續(xù)的但剪切力不連續(xù)[11]，并且Whitaker S進(jìn)一步用復(fù)雜的體積平均方法通過(guò)N- S方程推得多孔介質(zhì)內(nèi)滿足的方程[12]。Tilton N等均采用此類模型，分別對(duì)上下具有多孔介質(zhì)墻體以及中間插入一層多孔介質(zhì)區(qū)通道內(nèi)流體的流動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析[10，13]。基于前人的研究，筆者擬采用Ochoa- Tapia J A和Whitaker S[11]提出的界面方程并采用Whitaker S[12]提出的多孔介質(zhì)模型，對(duì)流體橫掠下層多孔介質(zhì)通道結(jié)構(gòu)中的壓力驅(qū)動(dòng)流進(jìn)行穩(wěn)定性模擬。

1 物理和數(shù)學(xué)模型

圖1為流體橫掠多孔介質(zhì)層的物理模型，上層為自由流體區(qū)域，高度設(shè)為2hf；下層為多孔介質(zhì)區(qū)域，高度設(shè)為2hp；上下層均受非滲透性固體壁面邊界條件限制。假設(shè)流經(jīng)此模型的流體狀態(tài)為層流且充分發(fā)展，并符合泊松流條件。

圖1 流體橫掠多孔介質(zhì)層物理模型

(1)

▽·u=0

(2)

(3)

▽·〈u〉=0

(4)

上下固體壁面處的邊界條件為：

u=0

(5)

自由流體區(qū)與多孔介質(zhì)區(qū)界面條件為[11]：

(6)

上述公式中，u=[uv]T,p和ε分別代表流體速度、壓力和多孔介質(zhì)內(nèi)孔隙率。τ是界面系數(shù)，代表界面處動(dòng)量的分布情況，為簡(jiǎn)化分析取τ=0。聯(lián)立方程(1)～(6)即可求解得到所研究物理模型充分發(fā)展層流穩(wěn)定流各區(qū)域和界面處的速度解，從而得到整個(gè)計(jì)算區(qū)域的基礎(chǔ)流。

在求得基礎(chǔ)流的前提下，定義兩個(gè)區(qū)域流速和壓力的擾動(dòng)分量為：

(7)

偏離基礎(chǔ)流的速度和壓力可以表示為：

(8)

式中c——相速度，c=cr+ici；

ci——相速度虛部；

cr——相速度實(shí)部；

α——流向波數(shù)。

結(jié)合流體流動(dòng)穩(wěn)定性理論，將式(7)、(8)代入方程(1)～(4)中，可得多孔介質(zhì)層與自由流體層的穩(wěn)定性方程：

(9)

(10)

(11)

結(jié)合現(xiàn)有模型和基礎(chǔ)流解，以及上述穩(wěn)定性方程，采用Chebyshev譜方法對(duì)流體橫掠多孔介質(zhì)層結(jié)構(gòu)的流動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值求解。

2 結(jié)果與分析

圖2為ε=0.6，σ=0.002且hf/hp=1.0時(shí)，Re=1000～2000范圍內(nèi)所得到的Orr- Sommerfeld 特征值圖譜中特征值的變化軌跡?？梢钥闯?，整個(gè)圖譜特征值分布呈樹狀。在Re逐漸增大時(shí)，標(biāo)號(hào)為1的特征值由穩(wěn)定狀態(tài)逐步接近不穩(wěn)定狀態(tài)，但未成為不穩(wěn)定特征值，其變化程度較小，而其余特征值仍處于穩(wěn)定狀態(tài)，整個(gè)條件下流動(dòng)仍是穩(wěn)定的。

圖2 σ=0.002，Re=1000～2000時(shí)特征值圖譜

進(jìn)一步研究ε=0.6，σ=0.02且hf/hp=1.0時(shí)，Re=100～2000范圍內(nèi)所得到的Orr- Sommerfeld 特征值圖譜中特征值的變化軌跡，如圖3所示?？梢钥闯觯寒?dāng)Re=100～1000時(shí)(圖3a)，標(biāo)號(hào)為1′的特征值已經(jīng)變得不穩(wěn)定，相較于圖2中標(biāo)號(hào)為1的特征值的運(yùn)動(dòng)軌跡而言，特征值位置變化程度較大，且在較小Re數(shù)值下就已發(fā)展為不穩(wěn)定特征值；當(dāng)Re=1000～1500時(shí)(圖3b)，除了不穩(wěn)定特征值繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)外，圖譜中出現(xiàn)了新的特征值，即標(biāo)號(hào)為2的特征值，并隨著Re數(shù)值的增加也在不斷向上運(yùn)動(dòng)，表明特征值虛部在不斷升高；當(dāng)進(jìn)一步增加Re數(shù)值(1500～2000，圖3c)時(shí)，圖譜中出現(xiàn)了標(biāo)號(hào)為3的一組新特征值，這組特征值特點(diǎn)是其實(shí)部均接近于0，并同特征值2一樣隨著Re數(shù)值的增加其特征值虛部不斷增大，但卻不能大于0，只能無(wú)限接近于0。

圖3 σ=0.02，Re=100～2000時(shí)的特征值圖譜

因此，比較圖2、3可知：在滲透率較大時(shí)，改變Re數(shù)值對(duì)特征值圖譜的影響較大，尤其是對(duì)不穩(wěn)定特征值的影響較大且出現(xiàn)了新的特征值；而在較小滲透率下，增大相同范圍Re數(shù)值則對(duì)不穩(wěn)定特征值影響較小，但增加到一定程度均會(huì)使流體流動(dòng)變得不穩(wěn)定。

圖4所示為圖3c中，在ε=0.6，σ=0.02，hf/hp=1.0，Re=2000條件下，不同位置處特征值1′ (0.475, 0.120)、特征值2 (0.615, -0.685)、特征值3 (2.262×10-4, -0.755)、特征值4 (9.711×10-3，-0.926)所對(duì)應(yīng)的速度擾動(dòng)，并給出了速度擾動(dòng)的實(shí)部、虛部和絕對(duì)值的擾動(dòng)分布。圖4a為給定條件下得到的最不穩(wěn)定特定值標(biāo)號(hào)為1′的速度擾動(dòng)分布，圖4b～d則為新出現(xiàn)位置處的特征值2、3、4對(duì)應(yīng)的速度擾動(dòng)。由圖4可以看出：最不穩(wěn)定特征值1′的速度擾動(dòng)(圖4a)在自由流體區(qū)域的擾動(dòng)絕對(duì)值最大；特征值2的擾動(dòng)分布(圖4b)則大多發(fā)生在自由流體區(qū)與多孔介質(zhì)區(qū)界面附近區(qū)域，并且有較大的擾動(dòng)頻率；而特征值3(圖4c)和特征值4(圖4d)的速度擾動(dòng)則都發(fā)生在多孔介質(zhì)區(qū)域。另外，研究發(fā)現(xiàn)雖然特征值實(shí)部接近于0.0的特征值對(duì)應(yīng)的速度擾動(dòng)都發(fā)生在多孔介質(zhì)區(qū)內(nèi)，但這些特征值的虛部大小直接影響在多孔介質(zhì)區(qū)的擾動(dòng)頻率大小，即特征值虛部越大的特征值在多孔介質(zhì)內(nèi)部具有更大的擾動(dòng)頻率，例如特征值4(圖4d)相較于特征值3(圖4c)而言具有更大的擾動(dòng)頻率。

圖4 不同標(biāo)號(hào)特征值速度擾動(dòng)分布

圖5所示為臨界雷諾數(shù)Rec與滲透率σ的關(guān)系曲線?？梢钥闯觯弘S著多孔介質(zhì)滲透率的增加，臨界雷諾數(shù)值在逐漸降低，表明滲透率的增加會(huì)減弱流體的流動(dòng)穩(wěn)定性。另外，在較小滲透率下，臨界雷諾數(shù)值具有較大變化率，說(shuō)明其值受滲透率影響較為敏感；而在較大滲透率下，臨界雷諾數(shù)值基本趨于平穩(wěn)，說(shuō)明改變多孔介質(zhì)區(qū)域滲透率基本對(duì)臨界雷諾數(shù)值影響不大，即對(duì)于流體橫掠多孔介質(zhì)層的穩(wěn)定性影響不大。

圖5 Rec與σ的關(guān)系曲線

3 結(jié)束語(yǔ)

研究了流體橫掠多孔介質(zhì)層的流動(dòng)穩(wěn)定特性，首先在求得基礎(chǔ)流的前提下得到了流體橫掠多孔介質(zhì)層模型的特征值圖譜和速度擾動(dòng)分布，研究發(fā)現(xiàn)：在滲透率較大時(shí)增大Re數(shù)對(duì)特征值圖譜中的不穩(wěn)定特征值的運(yùn)動(dòng)軌跡影響較大，同時(shí)在特征值圖譜中會(huì)增加新的特征值，且新增加特征值對(duì)應(yīng)的速度擾動(dòng)分別發(fā)生在自由流體與多孔介質(zhì)區(qū)界面處以及多孔介質(zhì)區(qū)內(nèi)部，并且多孔介質(zhì)內(nèi)部發(fā)生的擾動(dòng)頻率與其相應(yīng)特征值的虛部大小有關(guān)；其次，進(jìn)一步研究了臨界雷諾數(shù)與滲透率之間的關(guān)系，表明在較小滲透率下，臨界雷諾數(shù)的值變化較為明顯。

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