潘 浩 劉青松

(1.中國電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所 a.數(shù)字陣列技術(shù)重點實驗室；b.智能情報處理重點實驗室，合肥 230088；2.北京云知聲信息技術(shù)有限公司，北京 100191)

非線性是大多數(shù)傳感器固有的特性，典型的有熱電偶及熱電阻等，當(dāng)把傳感器信號轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的物理量時，需要進(jìn)行非線性校正，即通常所說的線性化處理過程[1，2]。以熱電偶為例，分度表和擬合方程是描述其溫度和熱電勢非線性關(guān)系的兩種標(biāo)準(zhǔn)方式，對應(yīng)的兩類線性化方法分別為查表插值法和高次方程求解法，前者運算量小但存儲空間很大；后者存儲空間小但運算量很大，兩者均適合于計算機(jī)軟件中的線性化處理[3]。

隨著工業(yè)自控技術(shù)的發(fā)展，越來越多的線性化處理需要在微控制單元(MCU)中實時完成。分段多項式擬合法是一種存儲空間和運算量都比較小的線性化方法[4]，其中較復(fù)雜的擬合過程在計算機(jī)上離線進(jìn)行，生成的多項式系數(shù)保存在MCU中，由MCU執(zhí)行較簡單的實時多項。常規(guī)分段多項式擬合在分界點處經(jīng)常會出現(xiàn)不連續(xù)跳變，當(dāng)輸入信號處于分界點附近時，往往會導(dǎo)致測量結(jié)果的異常跳字，對系統(tǒng)性能造成不利的影響。針對這一問題，提出交疊分段多項式擬合的線性化方法，在該方法的第一階段中，根據(jù)誤差容限自動確定分段長度，相鄰分段保持一定比例的交疊區(qū)；在第二階段中，從交疊區(qū)中搜索兩條曲線最接近的點作為實際分界點，從而使線性化函數(shù)的不連續(xù)性降到最低。對熱電偶和熱電阻的實驗表明，當(dāng)交疊比取0.30時，方法能夠在分段數(shù)略有增加的情況下，基本消除線性化函數(shù)中的跳變，進(jìn)而有效抑制分段導(dǎo)致的異常跳字。

1.1 最小二乘多項式擬合

(1)

(2)

求解式(2)可以得到c0,c1,…,cn的唯一解，從而確定多項式函數(shù)f(E)。一般來說，采用低次多項式進(jìn)行擬合具有簡單、穩(wěn)定和平滑的優(yōu)點，因此實際應(yīng)用中的擬合多項式次數(shù)n通?？刂圃?以內(nèi)[6]。

1.2 復(fù)雜曲線的分段擬合

分段可以采用等間隔分段及自適應(yīng)分段等多種策略，其中自適應(yīng)分段方法[8]能夠根據(jù)預(yù)設(shè)誤差容限e，自動確定每一段的長度，并確保每一段的擬合誤差都不超過e。當(dāng)分段數(shù)s=m并采用一次函數(shù)擬合時，方法退化成精度很高且存儲量很大的查表插值法。

2 熱電偶交疊分段線性化方法

2.1 交疊分段擬合和最優(yōu)分界點

常規(guī)分段擬合得到的線性化函數(shù)曲線經(jīng)常在分界點處存在不連續(xù)性，如圖1所示。

圖1 常規(guī)分段的段間跳變

圖1中，分界點Bt的兩側(cè)分別為第t段和第t+1段，兩段之間存在明顯的階躍。當(dāng)輸入信號在Bt附近連續(xù)變化時，線性化函數(shù)的輸出結(jié)果會出現(xiàn)跳變，進(jìn)而導(dǎo)致測量結(jié)果的抖動。為了解決這個問題，采用交疊分段策略，如圖2所示。

圖2 交疊分段的最優(yōu)分割點

其中，Lt為第t段和第t+1段的交疊區(qū)域，交疊比η表示交疊區(qū)和第t段的數(shù)據(jù)長度之比，η通常在0.0～0.5的范圍內(nèi)取值。交疊分段擬合完成時，在交疊區(qū)中存在兩條備選曲線，當(dāng)選用兩條曲線垂直距離最小處的E值作為實際分界點時，可以使兩段之間的跳變達(dá)到最小，該點就是抑制跳變意義下的最優(yōu)分界點。如果兩條曲線在交疊區(qū)內(nèi)相交，最優(yōu)分界點就是兩條曲線的交點，此時段間跳變降為0。

當(dāng)選擇較大的交疊比η時，一方面，相鄰兩段在擬合時考慮了較多的公共點，有利于兩條曲線的靠近；另一方面，較大的交疊區(qū)有利于最優(yōu)分割點的搜索。因此，交疊比η越大，段間跳變就越小，相應(yīng)的總分段數(shù)s也會越大，對存儲空間的要求也就越高。當(dāng)η=0時，退化成非交疊的常規(guī)分段擬合方法。

2.2 自適應(yīng)交疊分段擬合的完整流程

根據(jù)2.1節(jié)描述的方法和1.2節(jié)中的自適應(yīng)分段擬合策略，在Matlab中實現(xiàn)自適應(yīng)交疊分段多項式擬合程序，完整的流程如圖3所示。

整個流程分為兩個階段，程序啟動后，第一階段進(jìn)行自適應(yīng)交疊分段，流程如下：

a. 初始化。記首段邊界B0=E0，分段數(shù)t=1，當(dāng)前分段初始化為最短長度a=0、b=n。

b. 擬合和評估。根據(jù)式(2)的方程組對區(qū)間[Ea,Eb]中的數(shù)據(jù)點進(jìn)行最小二乘擬合，得到擬合系數(shù)cj(j=0,1,…,n)，并根據(jù)式(1)對擬合結(jié)果進(jìn)行誤差評估，得到誤差序列ri。

c. 如果所有誤差絕對值|ri|(i=a,a+1,…,b)則均小于誤差容限e，進(jìn)行區(qū)間擴(kuò)展b=b+1，返回步驟b重新擬合并評估；否則，繼續(xù)執(zhí)行步驟d；如果b已經(jīng)達(dá)到末尾，即b=m，則跳轉(zhuǎn)至步驟f。

d. 回退。根據(jù)交疊比例η，下標(biāo)b回退至b′=b-η(b-a)。

完成以上步驟后進(jìn)入第二階段，在t=1,2,…,s-1共s-1個交疊區(qū)Lt中進(jìn)行最優(yōu)分界點搜索，流程如下：

a. 初始化。令變量t=1，準(zhǔn)備處理第一個交疊區(qū)。

d. 交疊區(qū)編號遞增t=t+1，如果已經(jīng)處理完畢，即t=s，則跳轉(zhuǎn)至步驟e；否則返回步驟b。

e. 連同第一階段得到的首尾邊界B0和Bs，所有分界點的值Bi(i=0,1,…,s)均已確定，方法結(jié)束。

圖3 自適應(yīng)交疊分段多項式擬合方法的流程

3 實驗結(jié)果分析

3.1 K型熱電偶3次多項式的處理結(jié)果

在Matlab中實現(xiàn)K型熱電偶的自適應(yīng)交疊分段多項式擬合實驗。K型熱電偶的常用溫度為-200～1 370℃，對該范圍內(nèi)的T=f(E)曲線進(jìn)行自適應(yīng)交疊分段擬合，其中熱電勢E的單位為mV，溫度T的單位為℃，多項式次數(shù)n取3，交疊比η取0.30，誤差容限e取0.5，擬合結(jié)果見表1。

表1 K型熱電偶3次多項式交疊分段擬合結(jié)果的分界點和各段系數(shù)

曲線被自動分成了5段，t=1,2,…,5和表1中K型熱電偶3次多項式交疊分段擬合結(jié)果中的5行數(shù)據(jù)對應(yīng)，其中B0=-5.891404未列出。具體實現(xiàn)時，表1中共25個浮點數(shù)需要全部存儲在硬件中。當(dāng)誤差容限e=0.5，交疊比η=0.30時，在分界點B4=38.692148處，交疊分段擬合結(jié)果的局部放大如圖4a所示，原始數(shù)據(jù)的誤差曲線如圖4b所示。

圖4 K型熱電偶3次多項式交疊分段擬合的局部放大圖和誤差曲線

作為對比，圖5a和圖5b分別給出了誤差容限e=0.5,交疊比η=0.00時，即常規(guī)分段擬合結(jié)果的局部放大圖和誤差曲線，此時的總分段數(shù)為4。

圖5 K型熱電偶3次多項式常規(guī)分段擬合的局部放大圖和誤差曲線

對比圖4、5可以看出，交疊分段擬合結(jié)果在分界點B4處無明顯跳變，而常規(guī)分段擬合結(jié)果在40.25mV的分界點處約有0.5℃的負(fù)跳變。在誤差曲線的相應(yīng)橫坐標(biāo)處，也可以看到交疊分段時相鄰兩段誤差都在0.0℃附近，而常規(guī)分段時誤差從0.5℃直接跳變至0.0℃。從誤差曲線的走勢上看，相鄰兩段誤差在交疊分界點B4處相交，這提示交疊區(qū)中兩條備選擬合曲線存在交點。此外，兩組誤差曲線的其他分界點處也存在類似情形。

3.2 交疊比與多項式次數(shù)對結(jié)果的影響

圖6給出了e=0.5、交疊比η分別取0.30、0.15和0.00時，對K型熱電偶進(jìn)行2次多項式交疊分段擬合的誤差曲線，在這3種交疊比下新方法得到的總分段數(shù)分別為9段、8段和7段。

a. η=0.30

b. η=0.15

c. η=0.00

可以看出，當(dāng)η為0.30時，每個分界點處的誤差均無跳變，相鄰段曲線總是在交疊區(qū)中相交，得到的線性化函數(shù)在三者中具有最好的連續(xù)性；當(dāng)η為0.00即采用常規(guī)分段策略時，分界點處存在明顯的跳變，在28mV附近的分界點處，跳變甚至接近1℃，連續(xù)性最差；當(dāng)η為0.15時，分界點處雖然也存在跳變，但跳變幅度基本都控制在0.25℃以內(nèi)，介于兩者之間。而且，盡管誤差容限e均取0.5，采用交疊分段策略時，除了下限附近，絕大多數(shù)誤差都在±0.25℃以內(nèi)，擬合精度也優(yōu)于常規(guī)分段。

表2給出了η=0.30和e=0.5時，多項式次數(shù)n分別取1～5時K型熱電偶多項式交疊分段擬合的總分段數(shù)和必須浮點數(shù)的存儲量。

表2 η=0.30和e=0.5時的總分段數(shù)和存儲量

在表2中，用于擬合的多項式次數(shù)n從1增加到2 和3時，總分段數(shù)和存儲量迅速降低，但當(dāng)次數(shù)n繼續(xù)增加到4和5時，存儲量不再有明顯的下降，而此時的運算量有明顯的上升。其他幾型熱電偶也有類似的規(guī)律。因此，對于熱電偶來說，選擇3次多項式擬合能夠較好地兼顧存儲空間和運算量。

3.3 Pt100熱電阻3次多項式時的處理結(jié)果

Pt100是最常用的熱電阻，溫度范圍在-200～850℃。選用3次多項式對Pt100的T=f(R)曲線進(jìn)行自適應(yīng)交疊分段擬合，R的單位為Ω，交疊比η取0.30，誤差容限e取0.03，處理結(jié)果見表3。

表3 Pt100熱電阻3次多項式交疊分段擬合結(jié)果的分界點和各段系數(shù)

曲線自動分為3段，其中B0=18.520080在表中未列出，其誤差曲線如圖7a所示(誤差容限e=0.03，交疊比η=0.30)。作為對比，圖7b給出了常規(guī)分段擬合的誤差曲線(誤差容限e=0.03，交疊比η=0.30)，兩種分段策略的總分段數(shù)均為3。

圖7 Pt100熱電阻3次多項式交疊分段和常規(guī)分段擬合的誤差曲線

可以看出，采用交疊分段策略可以在存儲空間相同的情況下，消除誤差曲線中的跳變，使線性化函數(shù)始終保持連續(xù)性；同時除了上下限附近，中間部分的誤差基本都控制在了0.01℃以內(nèi)，比常規(guī)分段精度更高。

4 結(jié)束語

最小二乘多項式擬合是一種用于生成傳感器信號線性化函數(shù)的常用方法，在常規(guī)分段策略下，相鄰兩段的分界點處經(jīng)常會出現(xiàn)影響系統(tǒng)性能的跳變。為此，筆者提出了一種先交疊分段擬合再確定最優(yōu)分界點的方法，實驗結(jié)果表明：當(dāng)交疊比取0.30時，該方法能夠在總分段數(shù)略有增加的情況下，有效抑制段間分界處的不連續(xù)性。此外，該方法除了用于熱電偶和熱電阻的線性化，還可以用于其他傳感器的線性化處理。

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