曹玲芝，王 宏，謝曉磊

(鄭州輕工業(yè)學(xué)院，鄭州450002)

0 引 言

隨著現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)自動化水平的逐步提高和生產(chǎn)規(guī)模的逐漸擴大，越來越多的生產(chǎn)領(lǐng)域，如拉拔、紡織、印染、造紙、軋鋼等需要多電機的同步控制。在這些領(lǐng)域中多電機的同步控制的好壞，直接影響到生產(chǎn)效率和產(chǎn)品質(zhì)量［1］。然而多電機的同步性能會受到各傳動軸的驅(qū)動特性不匹配、負載擾動等因素的影響，因此，多電機的同步控制成為研究的熱點和難點［2］。

目前存在的多電機耦合控制方法主要有主從控制、虛擬總軸控制、交叉耦合控制、偏交叉耦合控制和相鄰交叉耦合控制［3－6］。其中相鄰交叉耦合控制在同步誤差控制過程中只考慮相鄰兩臺電機的同步狀態(tài)，使控制系統(tǒng)得到簡化，所以非常適用于數(shù)目較多電機的同步控制。本文在相鄰交叉耦合控制的基礎(chǔ)上把首尾兩臺電機耦合建立了相鄰交叉耦合環(huán)形系統(tǒng)。

在多電機的同步控制中，控制算法的好壞直接影響著系統(tǒng)的可靠性和同步精度［7］。常規(guī)的PID控制要求控制對象建模要準(zhǔn)確，且容易受到外部擾動和內(nèi)部參數(shù)變化的影響，所以很難使控制達到滿意的調(diào)速或定位性能［8］?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制(SMC)自20 世紀50 年代出現(xiàn)，由于其響應(yīng)快速、對參數(shù)變化及擾動不靈敏、無需系統(tǒng)在線辨識、物理實現(xiàn)簡單等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于各種控制系統(tǒng)中［9］。關(guān)于滑模變結(jié)構(gòu)控制當(dāng)滑模面為線性時，在采用飽和函數(shù)削弱滑模控制的抖振問題時，存在著控制精度和削弱抖振之間的矛盾［10］，針對這個問題，本文提出了非線性滑模面的變結(jié)構(gòu)控制，運用這種控制方法再采用飽和函數(shù)削弱抖振的同時，能夠保證控制的精度。

1 永磁同步電機的數(shù)學(xué)模型

永磁同步電機在忽略鐵心飽和、氣隙磁場正弦分布、不計渦流和磁滯損耗、轉(zhuǎn)子上沒有阻尼繞組、永磁體也沒有阻尼作用，且Ld=Lq=La，在d，q 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下建立數(shù)學(xué)模型:

式中:Ra為定子電阻;ω 為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的電角度;ψf為永磁體磁通;D 為微分算子，D=d/dt;id，iq為d，q 軸定子電流;ud，uq為d，q 軸定子電壓;Ld，Lq為交、直軸電感。

永磁同步電機的轉(zhuǎn)矩方程:

永磁同步電機的運動方程:

式中:p 為極對數(shù);J 為轉(zhuǎn)動慣量;TL為負載轉(zhuǎn)矩。

2 相鄰交叉耦合環(huán)形系統(tǒng)

相鄰交叉耦合控制是針對每一臺電機僅考慮它和相鄰兩臺電機的狀態(tài)誤差，例如要對n 臺電機進行同步控制，其中的第i 臺電機除了要對它相對于設(shè)定的參考轉(zhuǎn)速的跟蹤誤差進行控制，還要控制它和第i－1 臺和第i+1 臺電機的同步誤差。

第i－1，i，i+1 臺電機的跟蹤誤差分別:

式中:ω*為設(shè)定的參考轉(zhuǎn)速;e(i－1)(i－1)為第i－1 臺電機的跟蹤誤差;ωi－1為第i－1 臺電機的反饋轉(zhuǎn)速;eii為第i 臺電機的跟蹤誤差;ωi為第i 臺電機的反饋轉(zhuǎn)速;e(i+1)(i+1)為第i +1 臺電機的跟蹤誤差;ωi+1為第i+1 臺電機的反饋轉(zhuǎn)速。第i 臺電機和第i－1 臺電機的同步誤差:

式中:ei(i－1)為第i 臺和第i－1 臺電機的同步誤差。

第i 臺電機和第i+1 臺電機的同步誤差:

式中:ei(i+1)為第i 臺和第i+1 臺電機的同步誤差。

對n 臺電機進行同步控制，把第n 臺電機和第1 臺電機進行耦合，這樣對n 臺電機的同步耦合控制就形成了一個首尾相連的圓環(huán)，從而組成了相鄰交叉耦合環(huán)形控制系統(tǒng)。

例如4 臺電機相鄰交叉耦合環(huán)形系統(tǒng)的控制框圖如圖1 所示。

圖1 4 臺電機的相鄰交叉耦合環(huán)形同步控制系統(tǒng)

每一臺電機有3 個控制器，控制器1 是跟蹤誤差控制器，控制器2，3 為同步誤差控制器，對于第i臺電機希望的控制結(jié)果是在很短的時間內(nèi)所有的誤差趨于零，即:

3 控制器的設(shè)計

3.1 跟蹤誤差控制的數(shù)學(xué)模型

取永磁同步電機的狀態(tài)變量:

式中:ω*為設(shè)定的轉(zhuǎn)速;ω 為反饋轉(zhuǎn)速;x1為跟蹤誤差。

由永磁同步電機的數(shù)學(xué)模型式(2)、式(3)得:

根據(jù)式(8)可把永磁同步電機跟蹤誤差控制描述為如下形式:

3.2 同步誤差控制的數(shù)學(xué)模型

對于第i－1 臺和第i+1 臺電機取狀態(tài)變量:

式中:e1為同步誤差。

由永磁同步電機的數(shù)學(xué)模型式(2)、式(3)得:

根據(jù)式(11)可以把多永磁同步電機同步誤差控制描述為如下形式:

3.3 控制器的設(shè)計

通過比較式(9)和式(12)可以得出跟蹤誤差控制的狀態(tài)方程和同步誤差控制的狀態(tài)方程形式相同，因此控制器u1和控制器u2可以相同，可以把式(9)和式(12)統(tǒng)一表示為如下形式:

設(shè)計非線性滑模面為如下形式:

此時:

把u 代入到式(16)得:

從式(18)可以得出，當(dāng)滑模面s 取非線性滑模面式(14)，控制器u 取式(17)時，ss· 在全局內(nèi)都滿足＜0 的到達條件，這樣在控制的過程中不會出現(xiàn)超調(diào)量，能夠提高控制效率。

4 削弱滑模變結(jié)構(gòu)控制的抖振

從式(17)可以看出，控制器u 中含有切換函數(shù)sign(s)，為了削弱抖振，常采用飽和函數(shù)來代替切換函數(shù)，飽和函數(shù)的形式如下:

飽和函數(shù)有一個邊界層厚度δ，邊界層厚度越大，削弱抖振的能力越強，但是邊界層厚度越大，使最終的狀態(tài)變量不能收斂到原點，而是收斂到原點的一個鄰域內(nèi)，這樣就造成了最終的控制誤差［10］。所以用飽和函數(shù)削弱抖振，存在著削弱抖振和產(chǎn)生最終控制誤差的矛盾。

比如采用線性滑模面如下:

此時結(jié)合飽和函數(shù)式(19)，讓δ=20，得到:

圖2 線性滑模面和飽和函數(shù)結(jié)合結(jié)果

從圖2 可以看出，當(dāng)采用飽和函數(shù)削弱滑模變結(jié)構(gòu)控制抖振時，狀態(tài)變量由于邊界層厚度的存在而不能收斂到零，而是收斂到零點的一個鄰域內(nèi)，這就造成了最終的控制誤差。但是正是因為邊界層的存在使控制信號的光滑性變好，而且邊界層厚度越大，光滑性越好，削弱抖振的能力越強，所以削弱抖振和保證控制精度之間就存在著矛盾。當(dāng)采用式(14)的非線性滑模面時，δ=20，此時:

從圖3 可以看出，當(dāng)采用非線性滑模面時，在遠離原點處邊界層較厚，這有利于削弱抖振，而在原點附近邊界層較薄，這有利于保證最終的控制精度，所以采用非線性滑模面和飽和函數(shù)結(jié)合很好地解決了在削弱抖振和保證控制精度之間的矛盾。

圖3 非線性滑模面和飽和函數(shù)結(jié)合

5 仿真及結(jié)果

在MATLAB/Simulink 中構(gòu)建如圖1 所示的基于相鄰交叉耦合環(huán)形控制的四臺永磁同步電機的同步控制系統(tǒng)，對于單臺電機采用的控制方法如圖4 所示。其中PMSM 模塊的參數(shù)設(shè)定:Ra=2.875 8 Ω，p=4，Ld=Lq=8.5×10－3H，J=8.5×10－3kg·m2。

設(shè)定參考轉(zhuǎn)速v=700 r/min。

對單臺電機的控制，采用基于電壓空間矢量PWM(SVPWM)的id=0 的轉(zhuǎn)速和電流雙閉環(huán)控制，電流環(huán)的控制采用常規(guī)的PI 控制，控制框圖如圖4所示，其中控制器1 為跟蹤誤差控制器，控制器2、3為同步誤差控制器。

圖4 單臺電機的控制框圖

4 臺電機都不帶負載，跟蹤誤差控制器1 和同步誤差控制器2、3 都采用非線性滑模面變結(jié)構(gòu)控制時穩(wěn)定后的穩(wěn)態(tài)誤差如圖5 中的A 線所示;當(dāng)控制器1、2、3 都采用線性滑模面變結(jié)構(gòu)控制時穩(wěn)定后的穩(wěn)態(tài)誤差如圖5 中的B 線所示;當(dāng)控制器1、2、3 都采用PID 控制時穩(wěn)定后的穩(wěn)態(tài)誤差如圖5 中的C 線所示。

圖5 穩(wěn)定時各種轉(zhuǎn)速同步控制方法的穩(wěn)態(tài)誤差比較

從圖5 可以看出，在不帶負載的情況下采用基于非線性滑模面的滑模變結(jié)構(gòu)控制的控制精度最高。PID 控制的控制精度最差。

在0.03 s 時四臺電機的參考轉(zhuǎn)速由原來的650 r/min 變?yōu)?00 r/min。在0.05 s 時對電機2 加入負載1.5 N·m 作為外部干擾，采用三種控制方法的仿真結(jié)果如圖6 所示。

從圖6 可以看出，非線性滑模變結(jié)構(gòu)控制在改變負載后同步精度最高，抖振最弱。把圖6 中非線性滑模變結(jié)構(gòu)控制和PID 控制的0.05 ～0.058 s 放大，如圖7 所示。

圖6 三種控制方法在改變轉(zhuǎn)速和負載的情況下仿真結(jié)果

圖7 帶負載時PID 控制和非線性滑模面滑模變結(jié)構(gòu)控制轉(zhuǎn)速同步穩(wěn)態(tài)比較

電機2 的負載改變時，根據(jù)圖1 可以看出，電機1 和電機3 的所處狀態(tài)相同，所以在圖7 中電機1和電機3 的轉(zhuǎn)速線完全重合。在圖7 中可以看出，在采用基于非線性滑模面的滑模變結(jié)構(gòu)同步控制時在0.05 ～0.054 s 中四臺電機的速度相差最小，并且在0.054 s 后依然是基于非線性滑模面的滑模變結(jié)構(gòu)同步控制的同步性能最好。

6 結(jié) 語

通過分析和仿真得出滑模變結(jié)構(gòu)控制的滑模面為非線性時，采用飽和函數(shù)在削弱抖振的同時能夠較好地保證同步控制精度，這就解決了線性滑模面和飽和函數(shù)結(jié)合時保證控制精度和減弱抖振之間的矛盾。通過基于相鄰交叉耦合環(huán)形系統(tǒng)對四臺電機同步控制的仿真，以及和線性滑模面變結(jié)構(gòu)控制、PID 控制的比較得出，非線性滑模面變結(jié)構(gòu)控制的同步精度最高、抖振最弱，且控制的魯棒性能最強。

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