常 誠(chéng)

（山西省交通科學(xué)研究院，山西 太原 030006）

0 引言

近年來，我國(guó)的公路建設(shè)高速發(fā)展，興建了大量的橋梁工程，在設(shè)計(jì)過程中，橋梁各構(gòu)件的截面（如主梁截面、橋墩截面、斜拉橋的塔柱截面等）優(yōu)化設(shè)計(jì)尤為重要，基于此，本文提出了拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)在截面優(yōu)化中的應(yīng)用。

根據(jù)研究對(duì)象的不同，拓?fù)鋬?yōu)化可以分為離散拓?fù)鋬?yōu)化與連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化。1964年，Dron等人提出了基結(jié)構(gòu)法，將數(shù)值方法引入結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域，該方法將實(shí)際結(jié)構(gòu)離散為桿件連接而成的基結(jié)構(gòu)，通過優(yōu)化算法將多余的桿件從結(jié)構(gòu)中剔除，從而獲取最優(yōu)構(gòu)形。Rozvany等人建立了桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的最優(yōu)準(zhǔn)則，根據(jù)這一準(zhǔn)則，可以在完備的設(shè)計(jì)域中確定最優(yōu)解。

謝憶民和Steven于1992年提出了漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法（ESO），此方法可以解決靜態(tài)、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)的尺寸、形狀和拓?fù)鋬?yōu)化問題。該方法基本概念簡(jiǎn)單，而且具有較好的通用性，可借助當(dāng)前通用的有限元分析軟件作為分析平臺(tái)。榮見華等人[1-2]提出了基于靈敏度的漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法和基于人工材料的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。劉毅[5]提出了基于固定網(wǎng)格的雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，將雙向固定網(wǎng)格漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法應(yīng)用于符合材料板殼開孔形狀優(yōu)化。

漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法的另一特點(diǎn)是雙向進(jìn)化[3]。傳統(tǒng)的漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法主要依靠刪除單元來獲取優(yōu)化構(gòu)形。但是由于在某些迭代過程中，一些單元會(huì)被過度刪除，之后無法恢復(fù)，因此其準(zhǔn)確性受到影響，從而限制了此方法的應(yīng)用。基于應(yīng)力準(zhǔn)則的雙向優(yōu)化算法，其原理是在高應(yīng)力單元周圍增加單元，在低應(yīng)力區(qū)刪除低應(yīng)力單元，使得單元?dú)⑺篮蛦卧赏瑫r(shí)進(jìn)行，提高了算法的適應(yīng)性。

1 拓?fù)鋬?yōu)化算法

本文實(shí)現(xiàn)的拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)基于漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法（ESO）。其基本原理為：不斷地從連續(xù)體中剔除傳力效率不高的單元，最后生成結(jié)構(gòu)的主要荷載傳遞構(gòu)架。優(yōu)化的目標(biāo)是：以最少的材料、最合理的拓?fù)湫螤?，來?shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)總體剛度的最大化，即結(jié)構(gòu)應(yīng)變能密度的最小化[4]。優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為：

式中：Ci為結(jié)構(gòu)中第i個(gè)單元的應(yīng)變能；Wi為第i個(gè)單元的重量。

定義結(jié)構(gòu)的性能指標(biāo)[5]為：

C0、W0、Ci、Wi分別表示初始狀態(tài)下及經(jīng)過第 i次優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能和總重量。

對(duì)平面應(yīng)力狀態(tài)下的各向同性材料，可采用Mises應(yīng)力準(zhǔn)則[6]：

式中：σVM是單元的 Mises應(yīng)力；σ1、σ2、σ3分別代表第一主應(yīng)力、第二主應(yīng)力與第三主應(yīng)力。

首先求出每點(diǎn)的應(yīng)力值，假設(shè)第j個(gè)單元的單元應(yīng)力為σj，結(jié)構(gòu)中某此迭代的最大單元應(yīng)力為，則如果

則認(rèn)為該單元應(yīng)力偏小，利用單元?dú)⑺兰夹g(shù)將該單元?jiǎng)偠仍O(shè)置為一個(gè)極小值，其中RRj為單元?jiǎng)h除率。

通過迭代求解，當(dāng)式（4）無法滿足時(shí)，即已達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。為使有效迭代繼續(xù)進(jìn)行，引入一個(gè)進(jìn)化參數(shù)ER，進(jìn)化公式為：

2 算例

2.1 算例1

某混凝土簡(jiǎn)支梁，長(zhǎng)70 cm，高30 cm，底部承受如圖1所示的集中力，F(xiàn)=50 kN。材料彈性模量E=3.25×1010Pa，密度 ρ=2 300 kg/m3，泊松比 λ=0.3。有限單元類型為Plane42，單元尺寸esize=0.5 cm，共劃分5 600個(gè)四邊形單元。

圖1 簡(jiǎn)支梁示意圖（單位：mm）

圖2 第22次迭代

圖3 第45次迭代

圖4 第109次迭代

圖2～圖4分別為結(jié)構(gòu)在第22、45、109次的迭代求解結(jié)果，其中圖4為最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)形。從圖中可以看出，迭代初期，單元的刪除從遠(yuǎn)離荷載一側(cè)的兩個(gè)端角點(diǎn)開始，并在結(jié)構(gòu)中部?jī)杉泻奢d之間形成矩形孔洞。迭代進(jìn)行到第45步時(shí)，兩集中力上方分別優(yōu)化出3根“桿”，矩形孔洞進(jìn)一步增大；在第109次迭代時(shí)，3根桿件進(jìn)化為2根，拱結(jié)構(gòu)進(jìn)一步細(xì)化，結(jié)構(gòu)優(yōu)化指標(biāo)PI達(dá)到最大值。

2.2 算例2

某混凝土懸臂梁，長(zhǎng)50 cm，高20 cm，端部承受如圖5所示的集中力，F(xiàn)=30 kN。材料彈性模量E=3.25×1010Pa，密度 ρ=2 300 kg/m3，泊松比 λ=0.3。有限單元類型為Plane42，單元尺寸esize=0.5 cm，共劃分4 000個(gè)四邊形單元。

圖5 懸臂梁示意圖（單位：mm）

圖6 第80次迭代

圖7 第128次迭代

圖8 第168次迭代

圖6～圖8分別為結(jié)構(gòu)在第80、128、168次的迭代求解結(jié)果，其中圖8為最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)形。從圖中可以看出最優(yōu)構(gòu)形為“半拱形”結(jié)構(gòu)。其中“拱腹桿”位置與拉、壓應(yīng)力跡線的走向類似。

圖9 結(jié)構(gòu)優(yōu)化指標(biāo)PI

根據(jù)式(2)可知，指標(biāo)PI越大，說明拓?fù)錁?gòu)形越合理，材料利用率越高。簡(jiǎn)支梁與懸臂梁算例的PI的變化趨勢(shì)如圖9所示。從圖中可以看出兩者的指標(biāo)分別在第109次迭代與第168次迭代中達(dá)到最大，這與兩算例分別在第109次迭代與第168次迭代中獲取最優(yōu)構(gòu)形是相符的。

3 結(jié)論

基于漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法的思想，本文實(shí)現(xiàn)了連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)。該技術(shù)主要依靠低效率單元的刪除策略來獲取最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)形。該技術(shù)依托通用有限元軟件ANSYS，通過編制APDL程序來實(shí)現(xiàn)。數(shù)值算例表明，該算法具有較好的計(jì)算穩(wěn)定性。本文算法同樣適用于三維問題以及同時(shí)考慮應(yīng)力和位移約束的問題，對(duì)橋梁各構(gòu)件的截面優(yōu)化設(shè)計(jì)具有實(shí)際工程意義。