林 潔

（山東體育學(xué)院體育運(yùn)動(dòng)學(xué)校，山東 濟(jì)南 250012）

直線方程是解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)之一，是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，主要考查直線的傾斜角、斜率、直線方程、兩條直線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離以及對(duì)稱問(wèn)題；圓是高考的熱點(diǎn)，也是重點(diǎn)考查的內(nèi)容，主要考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系以及圓的幾何性質(zhì)。直線與圓一般在試題中的難度為中等或偏易，主要以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，偶爾也會(huì)出現(xiàn)在解答題，多與圓錐、曲線綜合在一起考查。從近幾年的高考來(lái)看，主要以以下幾種形式考查直線與圓的方程：

【問(wèn)題1】：關(guān)于直線對(duì)稱的問(wèn)題

【例1】（高考，浙江理3）直線x-2y+1=0關(guān)于直線x=1對(duì)稱的直線方程是（ ）

【答案】：D

【解析】：解法一(利用相關(guān)點(diǎn)法)設(shè)所求直線上任一點(diǎn)(x,y),則它關(guān)于x=1對(duì)稱點(diǎn)為(2-x,y)，它在直線x-2y+1=0上,∴2-x-2y+1=0化簡(jiǎn)得x+2y-3=0，故選 D.

解法二：根據(jù)直線x-2y+1=0關(guān)于直線x=1對(duì)稱的直線斜率是互為相反數(shù)得答案A或D,再根據(jù)兩直線交點(diǎn)在直線x=1，選答案D.

【例 2】（高考，上海文 13）圓 x2+y2-2x-1=0 關(guān)于直線 2x－y+3=0 對(duì)稱的圓的方程是（ ）

【答案】C

【解析】圓 x2+y2-2x-1=0?（x-1）2+y2=2，圓心（1，0），半徑，關(guān)于直線2x－y+3=0對(duì)稱的圓半徑不變，排除A、B，兩圓圓心連線段的中點(diǎn)在直線 2x－y+3=0 上，C 中圓（x+3）2+（y-2）2=2 的圓心為（-3，2），驗(yàn)證適合，故選C.

【評(píng)述】直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線，直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線等，其實(shí)質(zhì)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為垂直與平分來(lái)處理.在例1中解法1是運(yùn)用一般的點(diǎn)，然后用代入法求解，也可以運(yùn)用特殊點(diǎn)法來(lái)求解，即在已知直線上找一個(gè)或兩個(gè)特殊點(diǎn)，求出這兩個(gè)特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，利用兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線方程；解法2側(cè)重?cái)?shù)形結(jié)合，這是解選擇、填空天常用的方法.

例2中圓的對(duì)稱問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為圓心關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)處理，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.

【問(wèn)題2】判斷兩直線的位置關(guān)系

【例 3】（高考，上海理 2）已知 l1：2x＋my+1=0 與 l2：y=3x-1，若兩直線平行，則m的值為 .

【評(píng)述】：當(dāng)兩條直線 l1、l2的方程分別為 y＝k1x＋b1和 y＝k2x＋b2（即它們的斜率都存在時(shí)），可由k1，k2之間的具體值來(lái)判斷它們的位置關(guān)系；當(dāng) l1、l2的方程分別為 A1x＋B1y＋C1=0 和 A2x＋B2y＋C2=0 時(shí)，可由 l1⊥l2?A1A2+B1B2=0來(lái)判斷它們是否垂直.

【問(wèn)題3】圓的方程的求法

根據(jù)已知條件先確定采用標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程，然后求出相應(yīng)的參數(shù)，即采用待定系數(shù)法.

【例 4】（高考，湖南文理 11）圓心為（1，1）且與直線 x＋y=4 相切的圓的方程是 .

【答案】 （x-1）2+（y-1）2=2.

【評(píng)述】：求圓的方程時(shí)，如果涉及圓心、半徑或切線時(shí)，一般設(shè)圓的方程的標(biāo)準(zhǔn)式；如果涉及圓過(guò)幾個(gè)點(diǎn)，一般設(shè)圓的方程的一般式.

【問(wèn)題4】直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

利用它們的方程聯(lián)立的方程組的解的情況（稱為代數(shù)法）或利用圓心到直線的距離、圓心與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系（稱之為幾何法）來(lái)求解.

【例 5】（江西理 16）設(shè)有一組圓Ck：（x－k+1）2+（y-3k）2=2k4（k∈N*）.下列四個(gè)命題：

A.存在一條定直線與所有的圓均相切 B.存在一條定直線與所有的圓均相交

C.存在一條定直線與所有的圓均不·相交 D.所有的圓均不·經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

其中真命題的代號(hào)是 .（寫(xiě)出所有真命題的代號(hào)）

【答案】B、D

【例 6】（高考，山東理 15）與直線 x＋y-2=0和曲線 x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .

圖1

【評(píng)述】涉及直線與圓的位置關(guān)系，一般用幾何法求解；涉及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般用代數(shù)法求解.

【問(wèn)題5】與圓有關(guān)的軌跡方程問(wèn)題

【例 7】（高考，四川文理 15）已知圓 O的方程是 x2+y2-2=0，圓 O′的方程是x2+y2-8x+10=0，由動(dòng)點(diǎn)P向圓O和圓O′所引的切線長(zhǎng)相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是 .

【評(píng)述】圓的切線是高考的熱點(diǎn)，把圓的切線與軌跡結(jié)合在一起，一般用數(shù)形結(jié)合的思想與方法來(lái)解決，這樣既直觀又便捷.

【問(wèn)題6】與圓有關(guān)的新題賞析

【例 8】（高考，浙江理 4 文 5）要在邊長(zhǎng)為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，使整個(gè)草坪都能噴灑到水.假設(shè)每個(gè)噴水龍頭的噴灑范圍都是半徑為6米的圓面，則需安裝這種噴水龍頭的個(gè)數(shù)最少是（ ）

A.3 B.4 C.5 D.6

圖2

【答案】B

【解析】：因?yàn)辇堫^的噴灑面積為36π≈113，正方形面積為256,故至少三個(gè)龍頭.由于2R＜16，故三個(gè)龍頭肯定不能保證整個(gè)草坪能噴灑到水.當(dāng)用四個(gè)龍頭時(shí)，可將正方形均分四個(gè)小正方形，同時(shí)將四個(gè)龍頭分別放在它們的中心，由于 2R=12＞8， 故可以保證整個(gè)草坪能噴灑到水.

圖3

【例 9】（高考，上海文 11）如圖，A，B 是直線 l上的兩點(diǎn)，且 AB=2.兩個(gè)半徑相等的動(dòng)圓分別與l相切于A，B點(diǎn)，C是這兩個(gè)圓的公共點(diǎn)，則圓弧AC，CB與線段AB圍成圖形面積S的取值范圍是 .

【解析】如圖，當(dāng)圓O1與圓O2外切于點(diǎn)C時(shí)，S最大，此時(shí)，兩圓半徑為 1，S等于矩形ABO2O1的面積減去兩扇形面積，∴Smax=2×1-2×，隨著圓半徑的變化，C可以向直線l靠近，當(dāng)C到直線 l的距離 d→0 時(shí)，S→0，∴S∈

圖4

圖5

【評(píng)述】這兩道新題實(shí)質(zhì)上是圓的應(yīng)用，利用所學(xué)過(guò)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題是新課標(biāo)、新考綱的要求，因此在以后的考題中一定會(huì)有不少的新題型面市。希望通過(guò)這些例題的分析，使學(xué)生更好的掌握直線與圓的位置關(guān)系的相關(guān)題型的解題方法與技巧。