周福萍，楊軍

基于Matlab Simulink的分數階Volta系統(tǒng)仿真

周福萍，楊軍

基于Matlab Simulink仿真技術，本文研究分數階Volta系統(tǒng)的仿真問題。 首先對Oustaloup濾波器進行模塊封裝得到分數階微分求解器；其次利用Matlab Simulink工具箱和分數階微分求解器，對分數階Volta系統(tǒng)搭建可視化仿真框圖并設置仿真參數，運行仿真，進而得到分數階Volta系統(tǒng)的軌線圖和相圖；最后從仿真結果可以看出分數階Volta系統(tǒng)是混沌的，從而說明文章所設計的仿真方法是可行和有效的。

分數階微積分；分數階Volta系統(tǒng)；Matlab Simulink仿真；Oustaloup濾波器

分數階微分方程 (FODE)近年來已被廣泛的應用于圖像處理、信號處理、地震分析、流體力學、分數階控制器設計等領域。所謂FODE是指微分方程中出現了分數階導數，由于FODE具有歷史依賴性與全域相關性，增加了其數值計算復雜性.現階段FODE的數值算法主要包括：1.有限差分法：Crank-Nicholson格式、預估校正算法等；2.級數逼近法；3.有限元法；4.無網格方法；5.矩陣轉化法、外推法；6.Matlab Simulink方法.其中最為直接和有效的方法為Matlab Simulink方法，下面重點介紹Matlab Simulink方法。

Matlab Simulink toolbox是Matlab公司開發(fā)的用于分析動態(tài)系統(tǒng)和建模仿真的一組程序包，它能實現在連續(xù)時間，離散時間或兩者的復合情況下建模.Simulink提供一種基于框圖的可視化建模與仿真方法，用鼠標拖放塊狀圖表即可完成建模，此過程就像用鉛筆在紙上畫模型一樣，其為復雜工程系統(tǒng)的建模與仿真提供了嶄新的思路和方法。

本文將在Oustaloup濾波器進行模塊封裝得到分數階微分求解器的基礎上，利用Matlab Simulink仿真工具箱，討論分數階Volta系統(tǒng)的數值仿真問題。

一、Oustaloup濾波器和分數階微分求解器

由于在FODE中微積分的階次可取非整數，所以傳統(tǒng)ODE的Simulink仿真算法不能直接使用，一般可采用整數階濾波器如Oustaloup濾波器來逼近分數階微分算子Sγ。該濾波器的傳輸函數為：

傳輸函數中的增益和濾波器零極點由下式給出

而（ωb,ωh）為期望的擬合頻率區(qū)間，N為用戶選取定的濾波器階數。根據上面的濾波器設計式，在Matlab M-file窗口中編寫出如下的M函數以便仿真過程中調用：

綜上所述，建立如圖1.a所示的分數階微分濾波器模塊，然后對其進行封裝，得到如圖1.b所示的分數階微分求解器，以便在后面的仿真過程中調用該求解器。盡管理論上Oustaloup濾波器可以求解任意階次的分數階微積分，但從微積分數值分析精度的角度來看，Oustaloup濾波器更適合求解階次為1以內的分數階微積分。于是可以將高階分數階微積分先進行整數階微積分運算后，再利用Oustaloup濾波器對運算的結果進行濾波處理，以達到更好的數值計算精度。

圖1 分數階微分求解器設計模塊

對圖1-b中的分數階微分求解器進行雙擊即得參數設置對話框 (如圖2所示)，在該對話框中用戶可以根據需要設置Oustaloup濾波器的參數。

圖2 Oustaloup濾波器參數對話框

在模塊封裝Initialization選項卡中輸入如圖3所示的代碼，以便在使用分數階微分求解器模塊前先自動設計出濾波器，并根據階次正確顯示圖標，據此可以對分數階系統(tǒng)進行可視化Simulink建模。

圖3 分數階微分求解器封裝參數對話框

下面將通過分數階Volta系統(tǒng)演示該模塊在FODE近似求解中的應用.

二、分數階Volta系統(tǒng)仿真實現

考慮下面的分數階的Volta微分方程組模型，該系統(tǒng)是一個分數階混沌系統(tǒng)，其具體的數學描述參見文獻。

（1）式中的系統(tǒng)參數如下：

應用Matlab Simulink toolbox仿真系統(tǒng)(1)，由于Oustaloup濾波器不能設置初值，故需將分數階的Volta系統(tǒng)(1)轉化為如下的等價分數階微分積分方程，以便于引入積分器設置初值：

根據方程(2)，在Matlab Simulink環(huán)境下作出如圖4所示的Simulink框圖。

接下來，在M-file對話框中輸入系統(tǒng)參數并命名為Volta.m文件保存；將圖1中的分數階微分求解器命名為Fsolver.mld保存；將圖4中分數階Volta系統(tǒng)Simulink框圖命名為FodeVolta. mdl保存.運行仿真之前需要將Volta.m、Fsolver.mld、FodeVolta. mdl和前面所述的ousta_fod.m文檔放到同一個目錄下面。下面分三步運行仿真：

（1）運行Volta.m；

（2）運行Fsolver.mld；

（3）運行FodeVolta.mdl.

圖4 分數階Volta系統(tǒng)(1)的Matlab simulink仿真框圖

仿真結果如圖5-11所示：其中圖5-7分別給出了系統(tǒng)的狀態(tài)變量x(t),y(t),z(t)的軌線圖；系統(tǒng)的相圖則由圖8-10給出；圖11則是系統(tǒng)的相軌跡圖。

從仿真結果可以看出分數階Volta系統(tǒng)(1)是混沌的，這與文獻從理論上證明該系統(tǒng)是混沌的是一致的，進而說明本文所設計的仿真算法(框圖)的可行性和有效性。

圖5 狀態(tài)變量x(t)的軌線圖

圖6 狀態(tài)變量y(t)的軌線圖

圖7 狀態(tài)變量z(t)的軌線圖

圖8 x(t)vs.y(t)的相圖

圖9 x(t)vs.z(t)的相圖

圖10 y(t)vs.z(t)的相圖

圖11 分數階Volta系統(tǒng)(1)的3維相軌圖

三、結論

通過Matlab Simulink仿真技術，本文主要討論了分數階Volta系統(tǒng)仿真問題.通過對Oustaloup濾波器進行模塊封裝，得到了分數階仿真的核心子模塊——分數階微分求解器；在此基礎上，利用Matlab Simulink工具箱對分數階Volta系統(tǒng)搭建Simulink框圖，設置仿真參數，運行Simulink框圖實現仿真。最后得到分數階Volta系統(tǒng)的軌線圖和相圖，另一方面從仿真結果還可以看出分數階Volta系統(tǒng)是混沌的，從而說明本文所設計的仿真方法的可行性和有效性。值得一提的是本文提出Simulink框圖做適當修改即可實現其它分數階線性/非線性系統(tǒng)的仿真。

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周福萍,女,四川成都人,西南科技大學在校學生，研究方向：工程管理；

楊軍,男,四川瀘州人,理學博士,中國民航飛行學院副教授，研究方向：動力系統(tǒng)分析與仿真。

O193．1

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1008-4428（2015）05-104-03