馬爾可夫鏈在韶關(guān)市年降水量預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

張有存

（韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

根據(jù)韶關(guān)市1951-2012年降水量的歷史數(shù)據(jù)，采用均值－標(biāo)準(zhǔn)差分級(jí)法進(jìn)行狀態(tài)分級(jí)，將這62年分成枯水年、偏枯年、正常年、偏豐年、豐水年5種狀態(tài).運(yùn)用馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)方法，驗(yàn)證了韶關(guān)市的年降水量序列滿足馬爾可夫性，建立了韶關(guān)市年降水量的馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際情況相吻合.最后運(yùn)用極限分布估計(jì)年降水量各狀態(tài)的重現(xiàn)期.

馬爾可夫鏈；轉(zhuǎn)移概率；極限分布；年降水量

韶關(guān)是廣東省北部的中心城市，也是農(nóng)業(yè)大市，普遍種植水稻，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)一定程度上受降水量的影響.然而韶關(guān)氣候復(fù)雜多變，天氣預(yù)報(bào)又具有隨機(jī)性，一般也只是預(yù)報(bào)短期天氣情況。如果能相對(duì)準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)韶關(guān)一年的降水量的話，這將對(duì)韶關(guān)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)活動(dòng)大有幫助，可以提前選擇適合的種植品種，同時(shí)也可為韶關(guān)市政府提前安排防汛抗旱工作提供參考.基于此，本文采用馬爾可夫鏈方法，建立韶關(guān)市年降水量預(yù)測(cè)模型.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 Markov鏈

定義1隨機(jī)過程稱{Xn,n=0,1,2,…}為Markov鏈［1］，若它只取有限個(gè)或可列個(gè)值E0,E1,E2,…,（稱E0,E1, E2,…是過程的狀態(tài)，所有狀態(tài)構(gòu)成的集合稱為狀態(tài)空間S）且對(duì)任意的n≥0及狀態(tài)i,j,i0,i1,…,in-1有：

1.2轉(zhuǎn)移概率與轉(zhuǎn)移矩陣

定義2稱式（1）中的條件概率P{Xn+1=j|Xn=i}稱為Markov鏈{Xn,n=0,1,2,…}的一步轉(zhuǎn)移概率，簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)移概率［1］.當(dāng)它只與狀態(tài)i,j有關(guān)，而與n無關(guān)時(shí)，稱Markov鏈?zhǔn)菚r(shí)齊的，并記pij=P{Xn+1=j|Xn-1=i}.

定義3將pij(ij∈S)排成一個(gè)矩陣的形式，令P=(pij)=，稱P為轉(zhuǎn)移概率矩陣，一般簡(jiǎn)稱為轉(zhuǎn)移矩陣［1］.容易看出pij(i,j∈S)具有性質(zhì)：

1.3不變分布

定義4對(duì)于Markov鏈，概率分布{πj,j∈S}稱為不變的［1］，若πj=Σj∈sπjpij.

2 模型建立與預(yù)測(cè)

2.1狀態(tài)分級(jí)

采用傳統(tǒng)的樣本均值-標(biāo)準(zhǔn)差分級(jí)法.假設(shè)x1,x2,…,xn為指標(biāo)值序列，xˉ為樣本均值，則s=可用來計(jì)算樣本均值標(biāo)準(zhǔn)差.通常在應(yīng)用的時(shí)候會(huì)把指標(biāo)值的變化區(qū)間劃分為

表1 韶關(guān)市年降水量分級(jí)

運(yùn)用此法對(duì)韶關(guān)市1951-2012年降水量序列進(jìn)行狀態(tài)分級(jí)，歷史數(shù)據(jù)資料見表2，計(jì)算得樣本均值為1 573.1 mm，標(biāo)準(zhǔn)差為283.7 mm，取a1=1.1，a2=0.5，可將韶關(guān)市62年降水量劃分成枯水年、偏枯年、正常年、偏豐年、豐水年5個(gè)級(jí)別，分別用狀態(tài)1、2、3、4、5來表示（見表1），各年降水量狀態(tài)見表2.

表2 韶關(guān)市1951-2012年降水量序列及其狀態(tài)

2.2轉(zhuǎn)移概率計(jì)算

令fij為隨機(jī)序列由狀態(tài)i經(jīng)一步轉(zhuǎn)移到達(dá)狀態(tài)j的頻數(shù)，則由表2易得轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣：

(fij)=從而得到轉(zhuǎn)移概率矩陣P=(pij)=

2.3馬氏性檢驗(yàn)

能否用Markov鏈模型分析和預(yù)測(cè)，關(guān)鍵看所研究的隨機(jī)序列是否具有馬氏性.通常對(duì)離散型Markov鏈用χ2統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)［4］.在轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣(fij)中，用第j列之和除以各行各列的總和所得的值稱為邊際概率，記為p·j=，當(dāng)n充分大時(shí)，服從自由度為(m-1)2的χ2分布，此處m代表指標(biāo)值序列所有可能的狀態(tài)總數(shù)，pij為轉(zhuǎn)移概率.若α為所給的顯著性水平，代入樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量χ2＞χ2a((m-1)2)，則判定隨機(jī)序列具有馬氏性，否則認(rèn)為不具有馬氏性.

運(yùn)用此法，對(duì)韶關(guān)市年降水量序列進(jìn)行檢驗(yàn)，m=5,結(jié)合轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣和轉(zhuǎn)移概率矩陣計(jì)算χ2=50.103，給定顯著性水平α=0.05，查表可得分位點(diǎn)χ20.05(16)=26.296，從而有((m-1)2)，所以韶關(guān)市年降水量序列具有馬氏性.

2.4模型預(yù)測(cè)

根據(jù)Chapman-Kolmogorov方程的結(jié)論，有p(n)=pn.即可通過（2）式給出的轉(zhuǎn)移概率矩陣P建立模型進(jìn)行預(yù)測(cè).

現(xiàn)在依據(jù)上述模型預(yù)測(cè)韶關(guān)市2013年降水量：由表2可知2012年降水量狀態(tài)為5，由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P的第五行可知由狀態(tài)5到狀態(tài)2的概率為0.1，到狀態(tài)3的概率為0.6，到狀態(tài)4的概率為0.1，停留在狀態(tài)5的概率為0.2；同樣也可考慮二步轉(zhuǎn)移概率矩陣，此時(shí)初始狀態(tài)應(yīng)該是2011年降水量狀態(tài)，由表2知是狀態(tài)3，由P2的第三行可知由狀態(tài)3經(jīng)二步到狀態(tài)1的概率為0.11，到狀態(tài)2的概率為0.16，停留在狀態(tài)3的概率0.447，到狀態(tài)4的概率為0.128，到狀態(tài)5的概率為0.155，所以韶關(guān)市2013年降水量最有可能的狀態(tài)是3.由中國(guó)氣象科學(xué)數(shù)據(jù)共享服務(wù)網(wǎng)上查到韶關(guān)市2013年降水量為1 684.0 mm，屬于狀態(tài)3，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)相吻合，說明運(yùn)用Markov鏈模型對(duì)韶關(guān)市年降水量進(jìn)行短期預(yù)測(cè)是可行的.

運(yùn)用同樣的方法，可預(yù)測(cè)出2014年韶關(guān)市年降水量的狀態(tài)為3，屬于正常年.

3 極限分布

運(yùn)用Markov鏈模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，短期預(yù)測(cè)結(jié)果比較準(zhǔn)確，若考慮長(zhǎng)期的話，可以分析其極限分布.由（2）式中的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣可知，各狀態(tài)是互通的，屬于有限維Markov鏈，故是正常返的，且又是非周期的，因此該Markov鏈?zhǔn)潜闅v鏈.由Markov鏈相關(guān)理論可知，它的極限分布就是它的不變分布，而且是唯一的.由定義4可得方程：

解得π=0.164，π=0.164，π=0.377，π=0.131，π=0.164.利用公式Tj=可計(jì)算出各狀態(tài)的重現(xiàn)期.長(zhǎng)期來看，韶關(guān)市年降水量處在正常年的概率最大，約2～3年出現(xiàn)一次，處在偏豐年的概率最小，約7～8年出現(xiàn)一次.其他狀態(tài)約6年出現(xiàn)一次.

4 結(jié)語

根據(jù)韶關(guān)市1951-2012年降水量的歷史數(shù)據(jù)資料，建立了Markov鏈預(yù)測(cè)模型，驗(yàn)證了模型短期預(yù)測(cè)的可行性，并預(yù)測(cè)2014年韶關(guān)市年降水量是正常年.同時(shí)運(yùn)用極限分布，得出長(zhǎng)期來看韶關(guān)市年降水量的狀態(tài)是正常年的結(jié)論，還給出了各狀態(tài)的重現(xiàn)期，對(duì)韶關(guān)市政府安排防汛抗旱工作及人們的生產(chǎn)活動(dòng)提供一些參考.

［1］張波,張景肖.應(yīng)用隨機(jī)過程［M］.北京:清華大學(xué)出版社,2004.

［2］馮耀龍,韓文秀.權(quán)馬爾可夫鏈在河流豐枯狀況預(yù)測(cè)中的應(yīng)用［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,1999（10）:89-93.

［3］夏樂天,朱元甡,沈永梅.加權(quán)馬爾可夫鏈在降水狀況預(yù)測(cè)中的應(yīng)用［J］.水利水電科技進(jìn)展,2006（6）:20-23，27.

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Application of Markov Chain to Forecast Annual Precipitation of Shaoguan City

ZHANG You-cun
（School of Mathematics and Statistics,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China）

According to the historical annual precipitation data of Shaoguan city from 1951 to 2012,the state graded using the mean and standard deviation classification method,the past 62 years are classified into five states:droughtyear,weak drought year,normal year,weak water-logging year and water-logging year.Taking Markov chain forecasting methods to verify the sequence of annual precipitation of Shaoguan city to meet Markov property,a Markov chain model of annual precipitation of Shaoguan city was established and the predicted results coincided with the actual situation.Finally,it would use limiting distribution to estimate the return period of each annual precipitation state.

Markovchain;transitionprobability;limiting distribution;annual precipitation

O211.62

：A

：1007-5348（2015）04-0004-04

（責(zé)任編輯：邵曉軍）

2015-02-18

張有存（1986-），男，廣東英德人，韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院助教，碩士；研究方向：隨機(jī)分析及其應(yīng)用研究.