陳杰+陳志祥 邢靈博

摘要：本文研究具有多元馬氏需求轉(zhuǎn)移特征的多產(chǎn)品庫存模型的優(yōu)化問題。首先以多元馬爾可夫模型為理論導(dǎo)向，建立多產(chǎn)品馬爾可夫需求預(yù)測模型，并通過該模型確定了各種產(chǎn)品需求間的關(guān)系。進而在此關(guān)系的理論基礎(chǔ)上，建立了多產(chǎn)品庫存模型，并給出其最優(yōu)（Q，R）策略。

關(guān)鍵詞：隨機需求;多元馬氏鏈;需求預(yù)測模型;（Q，R）庫存策略

中圖分類號：F274 文獻標識碼：A 文章編號：10035192（2014）06005406doi：10.11847/fj.33.6.54

Optimal Inventory Policy for Multiple Products with the MultivariateMarkovian Demand Transition Characteristics

CHEN Jie1，2， CHEN Zhixiang1， XING Lingbo2

（1.School of Business， Sun Yatsen University， Guangzhou 510275， China; 2.School of Science and Technology， Qiongzhou University， Sanya 572022， China）

Abstract：This paper studies the optimal inventory policy for multiple products with multivariate Markovian demand transition characteristics. Based on the multivariate Markovian model， the paper first establishes the demand forecast model for multiple products， and constructs the demand relationships among multiple products. Then， based on these relationships proposes a multiproduct inventory model and its optimal （Q，R） policy.

Key words：stochastic demand; multivariate Markov chain; demand forecasting model; （Q，R）inventory policy

1引言

當多產(chǎn)品在市場中產(chǎn)生相互競爭時，其需求之間就會發(fā)生相互關(guān)系。在隨機需求的條件下，這種關(guān)系是如何產(chǎn)生的，如何科學(xué)地確定和度量它們之間的關(guān)系并預(yù)測它們的需求，直接影響到庫存系統(tǒng)決策者對制定庫存策略的合理性和科學(xué)性。多元馬爾可夫理論是最近10年來興起的研究領(lǐng)域，是重要的預(yù)測理論之一。本文基于該理論，對多產(chǎn)品的需求進行預(yù)測，并確定其需求之間的關(guān)系。同時，在此理論基礎(chǔ)上，對多產(chǎn)品的最優(yōu)（Q，R）策略進行研究。

國內(nèi)外學(xué)者對多產(chǎn)品庫存問題的研究有不少文獻。在假定多產(chǎn)品的需求向量為隨機的條件下，Dvoretzky等[1] 開始了多產(chǎn)品庫存優(yōu)化模型的研究，認為當該需求的分布函數(shù)為已知時，則即可得模型的最優(yōu)解。Veinott[2]在該模型的理論基礎(chǔ)上，提出模型的新假設(shè)，即：（1）各種產(chǎn)品的需求為非確定和相互獨立;（2）對未滿足的需求采取積欠策略，建立了更一般化的動態(tài)非確定性多產(chǎn)品庫存模型，認為供應(yīng)商可根據(jù)庫存水平選擇相應(yīng)的訂購策略，以實現(xiàn)最小化庫存成本和訂購費用的目標，而Topkis[3] 所建立的模型雖然也是在動態(tài)和非確定性的條件下提出的，但對假設(shè)（2）進行了改進，即對未能滿足的需求采取懲罰策略。Lau等[4，5]在單一產(chǎn)品的報童庫存模型理論基礎(chǔ)上進行多元化的推廣，并結(jié)合模型有關(guān)的多約束條件研究了模型的最優(yōu)解。Ghalebsaz等[6]以隨機需求和訂購單契約為條件研究了多產(chǎn)品的報童問題，而Shao和Ji[7]則在模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)上建立了多產(chǎn)品報童問題的數(shù)學(xué)模型。Schrijver等[8] 研究了需求滿足獨立性的多產(chǎn)品庫存的綜合約束模型，并給出模型的最優(yōu)（s，S）和（R，Q）策略的解。近年來，國內(nèi)學(xué)者在不同的假設(shè)條件下，對供應(yīng)鏈中多產(chǎn)品的庫存優(yōu)化問題進行了系統(tǒng)的研究。段吉和朱道立[9]提出了多周期多產(chǎn)品供應(yīng)量分配的綜合模型，而秦進等[10]研究了隨機需求和庫存決策的多商品物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的優(yōu)化模型與算法。夏維力和姜繼嬌[11]針對顧客的有限理性所引起的需求模糊性和隨機性的問題，提出了多心理賬戶下基于QFD（質(zhì)量功能展開）的多產(chǎn)品庫存優(yōu)化模型。蔣敏等[12]利用了條件風(fēng)險值（CVaR）將多產(chǎn)品從多個供應(yīng)商采購來分散需求不確定性帶來的風(fēng)險，建立了多產(chǎn)品組合采購與庫存問題的條件風(fēng)險決策模型。

在假定產(chǎn)品的需求具有一元馬氏性的前提條件下，國外學(xué)者對庫存優(yōu)化的問題也進行了研究。Karlin[13]建立了時間離散型的馬氏庫存模型，并給出模型的最優(yōu)（s，S）策略，而在基于時間為連續(xù)的以及庫存成本函數(shù)為線性的條件下，Song和Zipkin[14]提出了時間連續(xù)型的馬氏調(diào)制泊松過程模型，研究的結(jié)果表明模型的最優(yōu)（s，S）策略是需求狀態(tài)依賴的。Cheng和Sethi[15]拓展了上述的研究成果，認為只有在未滿足的需求視為失銷和零提前期的條件下，最優(yōu)（s，S）策略才是需求狀態(tài)依賴的，Chen和Song[16]則進一步發(fā)展了馬氏庫存模型，建立了多級庫存模型。Ching等[17]在傳統(tǒng)馬氏理論基礎(chǔ)上提出更一般化的馬氏鏈，即多元馬爾可夫模型，并建立了多產(chǎn)品的需求預(yù)測模型。雖然基于上述的庫存優(yōu)化模型的各種條件所取得的研究成果日漸趨于完善，但是對于多產(chǎn)品需求的關(guān)聯(lián)性問題的研究還處于初步階段，缺乏基于多元馬爾可夫模型對多產(chǎn)品的庫存優(yōu)化控制問題的深入研究。本文主要利用多元馬爾可夫模型作為理論工具，研究多產(chǎn)品庫存的最優(yōu)（Q，R）策略。

2模型描述

考慮到消費者的個人消費能力、偏好和實際需要等眾多因素的影響，為了滿足顧客需求的多樣性， 廠商一般趨于面向市場推出多樣化產(chǎn)品，比如聯(lián)想公司最近研發(fā)推出的各種筆記本電腦系列就多達五十種。顯然，在這樣的需求環(huán)境下，不同產(chǎn)品的需求量之間具有一定的相關(guān)性。比如當顧客面臨多種選擇時，他們可能因為選擇了A系列產(chǎn)品，而不會再選擇其它系列的產(chǎn)品，那么A產(chǎn)品的需求量就不僅與自身的需求量有關(guān)，還會與其它產(chǎn)品的需求量相關(guān)。由此可見， 多產(chǎn)品間需求量的關(guān)聯(lián)性對制定優(yōu)化庫存的策略具有一定的影響。因此，庫存決策者為了達到優(yōu)化庫存的目的，不但要考慮各種產(chǎn)品的需求，而且在宏觀上還要確定各種產(chǎn)品的需求之間的關(guān)系。同時，還要在此需求關(guān)系的理論基礎(chǔ)上，結(jié)合總成本模型給出最優(yōu)訂購量和訂購點。

為了方便問題的闡述，進行以下符號說明：k=1，2，…，K表示庫存系統(tǒng)的周期，而n=1，…，N表示第n種產(chǎn)品;I={i（1），i（2），…，i（l）}表示各種產(chǎn)品的需求狀態(tài)集;dnk∈I為第n種產(chǎn)品在第k周期的需求狀態(tài)，k=1，2，…，K;{dnn}=具有轉(zhuǎn)移概率矩陣P（nn）=（pji）l×l的第n條馬氏鏈;

DLnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的提前期Lnk內(nèi)的期望需求量;Dnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的需求量，其中Dnk0;P（ji）=第i種產(chǎn)品的需求狀態(tài)轉(zhuǎn)到第j種產(chǎn)品的需求狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣;C（s）nk=第n種產(chǎn)品在第k周期的單位缺貨成本;Pnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的單位進貨價格;C（o）nk=第n種產(chǎn)品在第k周期的單位批量訂貨成本;hnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的單位存儲成本;Lnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的交貨提前期（或生產(chǎn)提前期）;Rnk=第n種產(chǎn)品在第周k期的訂貨點;SSnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的安全庫存量;Qnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的訂購批量;TCkn=第n種產(chǎn)品在第k周期的總成本， 其中k=1，2，…，K而n=1，…，N;TCk=所有的產(chǎn)品在第k周期的總成本，即TCk=∑Nn=1TCkn。

接下來我們對本文模型做出一些基本假設(shè)：（1）各種產(chǎn)品的需求量Dnk（n=1，…，N）服從正態(tài)分布，且滿足馬爾可夫性;（2） 交貨提前期固定;（3）產(chǎn)品的價格固定;（4）存儲成本是存儲變量的線性函數(shù)。

2.1多元馬氏需求預(yù)測模型

現(xiàn)代庫存優(yōu)化控制理論都是以未來的需求預(yù)測為基礎(chǔ)的，如何對產(chǎn)品的需求做出科學(xué)的預(yù)測，是庫存管理中核心問題。本文主要以多元馬爾可夫理論方法對多產(chǎn)品的需求進行統(tǒng)一預(yù)測，進而確定它們之間的關(guān)系。為了建立多元馬氏需求模型，我們首先給出以下引理。

引理1（i）設(shè)P（ji）表示第i種產(chǎn)品的需求狀態(tài)到第j種產(chǎn)品的需求狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣，且P（ji）為不可約的;（ii）Xk=（X（1）k，X（2）k，…，X（N）k）T為多元馬氏鏈中各序列于第k周期的需求狀態(tài)的概率分布，其中X（n）k（n=1，…，N）表示第n種產(chǎn)品于第k周期的需求狀態(tài)的概率分布，則存在關(guān)系權(quán)數(shù)矩

在庫存控制理論中，當需求狀態(tài)滿足馬氏性時，要對產(chǎn)品的未來周期的需求狀態(tài)做出預(yù)測，關(guān)鍵在于確定產(chǎn)品的需求狀態(tài)的概率分布。引理1的結(jié)論不但給出了各種產(chǎn)品在下個周期的需求狀態(tài)的概率分布，還進一步表明了不同產(chǎn)品的需求狀態(tài)的概率分布的關(guān)系。事實上，由Xk+1=AXk，可得第n種產(chǎn)品于第k+1周期的需求狀態(tài)的概率分布為

X（n）k+1=∑Nm=1λnmp（nm）X（m）k

該式子指出了λnm為概率分布X（n）k+1與X（m）k的關(guān)系權(quán)數(shù)，進而度量了它們之間的關(guān)系。當n=m時，表示概率分布X（n）k+1跟它自身于上個周期的概率分布的關(guān)系;而當n≠m時，表示概率分布X（n）k+1跟其它產(chǎn)品于上個周期的概率分布的關(guān)系。這樣我們就基本上解決了本文引言中提出的競爭產(chǎn)品間的需求內(nèi)在關(guān)聯(lián)性問題。顯然，當關(guān)系權(quán)數(shù)λnm越大時，說明X（n）k+1與相應(yīng)的X（m）k概率分布取值的關(guān)系就越密切。

今記向量I^=（i（1），i（2），…，i（l））T，其中i（t）∈I為需求狀態(tài)（t=1，…，l）。因為X（n）k+1表示第n種產(chǎn)品于第k+1周期的需求狀態(tài)的概率分布，故E（dnk）=X（n）k+1I^為其于第k+1周期的期望需求狀態(tài)。根據(jù)引理1的結(jié)論，我們易得出以下的推論。

推論1 設(shè)Xk=（X（1）k，X（2）k，…，X（N）k）T為多元馬氏鏈中各系列于第k周期的需求狀態(tài)的概率分布，dk=（d1k，d2k，…，dNk）T表示各種產(chǎn)品于第k周期的需求狀態(tài)，其中dnk∈I，n=1，…，N。則各種產(chǎn)品于第k+1周期的期望需求狀態(tài)

E（dk+1）=Xk+1I^=AXkI^（1）

引理1的結(jié)論只表明了不同產(chǎn)品間的需求狀態(tài)的概率分布的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，而推論1的結(jié)論不但確定了它們的需求狀態(tài)的關(guān)系，并且進一步對未來庫存系統(tǒng)中的需求狀態(tài)做出理論上的預(yù)測。事實上，根據(jù)（1）式，我們易得第n種產(chǎn)品于第k+1周期的期望需求狀態(tài)為E（dnk）=X（n）k+1I^=∑Nm=1λnm·P（nm）X（m）kI^，并且從本式子中易知該產(chǎn)品與其它產(chǎn)品的需求狀態(tài)間的關(guān)系權(quán)數(shù)為λnm（這里要求n≠m，而當n=m時是與它自身的關(guān)系）。然而需求狀態(tài)不等于需求量，兩者為不同的概念，還不可以直接利用（1）式對需求量進行預(yù)測。因此，我們需要一些理論工具將兩者相互轉(zhuǎn)化。

一般情況下，所謂需求狀態(tài)就是決策者以劃分需求區(qū)間的方式對產(chǎn)品的需求量Dnk進行狀態(tài)劃分。如對需求狀態(tài)采用數(shù)值劃分方法，即定義落入某一區(qū)間的需求稱為某一需求狀態(tài)。若取a的大小作為需求區(qū)間的長度，且滿足對于k有Dnk∈∪lt=1[（t-1）a，ta），則我們可以定義需求狀態(tài)為

itf（Dnk），Dnk∈[（t-1）a，ta），t=1，2，…，l;a>00，其它（2）

以上的式子給出了需求量轉(zhuǎn)化為需求狀態(tài)的一般方法，但如何將需求狀態(tài)轉(zhuǎn)化為需求量呢？接下來我們將研究這個問題，并給出具體的轉(zhuǎn)化方法。由（2）式可知Dnk為狀態(tài)依賴的，故我們可設(shè)it（Dnk）為當dnk=it時的密度函數(shù)。這里的概率密度it（Dnk）與本文的模型假設(shè)（1）所要求服從正態(tài)分布是不同的， 即it（Dnk）為當Dnk屬于區(qū)間[（t-1）a，ta）時的概率密度，而（Dnk）為Dnk屬于整個需求區(qū)間∪lt=1[（t-1）a，ta）時的概率密度，也就是視it（Dnk）為Dnk的局部概率密度，而（Dnk）可視為Dnk的整體概率密度。這樣的假設(shè)方法從理論角度上來講是不矛盾的，如局部上為泊松分布時，由中心極限定理可知，當樣本量充分大時，其概率分布就會趨向于正態(tài)分布。于是，我們就可以得出以下的命題。

命題1設(shè)it（Dnk）為當dnk=it時的密度函數(shù)，X（n）k=（x（n）i1k，x（n）i2k，…，x（n）ilk）為第n種產(chǎn)品于第k階段的需求狀態(tài)的概率分布，則

E（Dnk）=∑lt=1x（n）itk∫ta（t-1）aDnkit（Dnk）dDnk（3）

證明 因為it（Dnk）為當dnk=it時的密度函數(shù)，所以∫ta（t-1）aDnkit（Dnk）dDnk為庫存系統(tǒng)處于需求狀態(tài)it時的期望需求量。由X（n）k=（x（n）i1k，x（n）i2k，…，x（n）ilk）的定義，知系統(tǒng)處于需求狀態(tài)it時所對應(yīng)的概率取值等于x（n）itk，t=1，2…，l，同時也是需求量的期望值等于∫ta（t-1）aDnkit（Dnk）dDnk的概率，所以當t取遍所有相應(yīng)的賦值時，有

E（Dnk）=∑lt=1x（n）itk∫ta（t-1）aDnkit（Dnk）dDnk

命題1的結(jié)論確定了變量dnk和Dnk之間的關(guān)系，并給出由dnk轉(zhuǎn)化為Dnk的具體方法。該結(jié)論在研究馬氏理論在庫存中的應(yīng)用是至關(guān)重要的，因為馬氏理論是根據(jù)需求狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率對系統(tǒng)的未來所處的需求狀態(tài)作出科學(xué)的預(yù)測，所以得到的預(yù)測結(jié)果是需求狀態(tài)而非需求量。有了命題1的理論基礎(chǔ)，接下來我們即可建立多產(chǎn)品的多元馬氏需求預(yù)測模型了。

記ηk=（η1k，η2k，…，ηNk），其中ηnk=（η（n）i1k，η（n）i2k，…，η（n）ilk）T，而η（n）itk=∫ta（t-1）aDnkit（Dnk）dDnk，t=1，2，…，l（也就是當dnk=it時的期望需求量）。顯然，由引理1和命題1的結(jié)論以及（3）式可知， 各種產(chǎn)品于第k+1周期的期望需求量為

E（Dk+1）=Xk+1ηk+1=AXkηk+1（4）

這里A和Xk如引理1所定義，而D（k+1）=（D1（k+1），D2（k+1），…，DN（k+1））T，并稱（4）式為多元馬氏需求預(yù)測模型。

由該預(yù)測模型，易知第n種產(chǎn)品于第k+1周期的期望需求量為

E（Dn（k+1））=X（n）k+1ηn（k+1）=

∑Nm=1λnmP（nm）X（m）kηn（k+1）（5）

E（Dn（k+1））的表達式，進一步表明了單個產(chǎn)品在系統(tǒng)中于下個周期的需求量不但與現(xiàn)階段的相關(guān)，而且還與其它產(chǎn)品的需求量有著密切的關(guān)聯(lián)。

2.2多產(chǎn)品總期望成本模型

因為本文只考慮庫存系統(tǒng)在下個周期的控制優(yōu)化問題，所以若{1，2，…，k}為系統(tǒng)的歷史周期，則未來系統(tǒng)的下個周期為t=k+1。設(shè)（Dn（k+1））為第n種產(chǎn)品于第k+1周期的需求量Dn（k+1）的概率密度，Φ（Dn（k+1））為其相應(yīng)的分布函數(shù)。因為提前期內(nèi)的缺貨概率為P（DLn（k+1）>Rn（k+1）），故我們可以確定一個安全庫存量，即

3.2最優(yōu)訂購點

由多產(chǎn)品總期望成本模型的最優(yōu)訂購批量Q*n（k+1）的表達式，可知其取值依賴著提前期內(nèi)的期望缺貨量SLn（k+1）（Rn（k+1））的值，所以通過確定Rn（k+1）的最優(yōu)值，即最優(yōu)訂購點，就可以確定最優(yōu)訂購批量Q*n（k+1）的值。由于Rn（k+1）隱含在積分函數(shù)中，對其求解比較復(fù)雜些。為此，我們先介紹最優(yōu)缺貨概率和最佳服務(wù)水平的概念。

若第n種產(chǎn)品在第k+1周期的提前期Ln（k+1）內(nèi)的需求量為DLn（k+1），單位缺貨成本為C（s）n（k+1），則產(chǎn)生一種臨界狀態(tài)，即當訂貨點增加一個單位數(shù)量時，若提前期的需求量小于訂貨點，則導(dǎo)致多一個單位的庫存成本;反之，則導(dǎo)致多一個單位的缺貨成本。缺貨概率和缺貨成本都是訂貨點的單調(diào)遞減函數(shù)，所以最優(yōu)缺貨概率就是安全庫存增加時導(dǎo)致的存儲成本與缺貨成本相等的概率。

在隨機需求條件下的庫存優(yōu)化控制，重點不在于訂貨量，而是在于訂貨點和安全庫存的確定。因此，為了減少缺貨，需要建立一個安全庫存，而安全庫存量的大小取決于管理者對缺貨的容忍程度，即其希望向消費者提供什么樣的供應(yīng)服務(wù)水平。由命題3知，最佳訂貨點=提前期內(nèi)的期望需求量+安全庫存。同時由（5），（10）和（12）式，我們不難發(fā)現(xiàn)當各種需求量發(fā)生關(guān)系時，由總期望成本模型T（k+1）C（Qk+1，Rk+1）所確定的每一種產(chǎn)品的最優(yōu)（Q，R）策略，不但與自身的需求量有關(guān)，而且與其它產(chǎn)品的需求量相關(guān)。

4結(jié)論與展望

本文在理論上研究了多產(chǎn)品庫存的最優(yōu)（Q，R）策略問題，即在建立多元馬氏需求預(yù)測模型的理論基礎(chǔ)上， 對多產(chǎn)品的需求量提出了預(yù)測方法，進而提出了多產(chǎn)品總期望成本模型，并在此模型的條件下，研究了其理論上的最優(yōu)（Q，R）策略的解。本文的結(jié)論表明需求具有相關(guān)性的多產(chǎn)品的聯(lián)合庫存決策與獨立需求的多產(chǎn)品庫存決策有所不同。多元馬氏需求預(yù)測模型不但給出了多產(chǎn)品的需求預(yù)測方法，還確定了它們的需求之間的關(guān)系，而獨立需求只考慮對各產(chǎn)品的需求進行預(yù)測，忽略它們的需求之間的關(guān)聯(lián)性。因此，在市場競爭環(huán)境下，基于獨立需求的理論視角去研究多產(chǎn)品的庫存系統(tǒng)問題存在一定的局限性，而多元馬氏需求預(yù)測模型克服了這個局限性。在本文的基礎(chǔ)上，以下問題可作為下一步的研究內(nèi)容和方向：比如，在模型中引入折扣因子，可以擴展成具有折扣因子的訂貨模型。其次，考慮供應(yīng)提前期為隨機的條件下建立庫存優(yōu)化模型。

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