劉君，喬建忠

（東北大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110819）

1 引言

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是一種新興的網(wǎng)絡(luò)研究理論，該理論正滲透到數(shù)理學(xué)科、生命學(xué)科和工程學(xué)科等眾多不同的領(lǐng)域。學(xué)術(shù)界關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究方興未艾。特別是，國(guó)際上有2項(xiàng)開(kāi)創(chuàng)性工作掀起了一股不小的研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的熱潮。一是1998年Watts和Strogatz在Nature雜志上發(fā)表文章，引入了小世界(small-world)網(wǎng)絡(luò)模型，以描述從完全規(guī)則網(wǎng)絡(luò)到完全隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)變；二是1999年Barabási和Albert在Science上發(fā)表文章指出，許多實(shí)際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)連接度分布具有冪律形式[1，2]。近些年，對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究出現(xiàn)了較多成果，大致可以分為 2類(lèi)：1）結(jié)構(gòu)分解類(lèi)：理解真實(shí)世界中復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（如Internet，WWW，細(xì)胞組織網(wǎng)絡(luò)等）的體系結(jié)構(gòu)并抽取出它們中緊密聯(lián)系的部分——社團(tuán)、結(jié)構(gòu)洞、k-核等，發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系[3，4]。2）特征指標(biāo)類(lèi)：研究人員提出了一系列復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特征（如介數(shù)、度分布、聚集系數(shù)等）來(lái)描述真實(shí)世界中復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。這些指標(biāo)為宏觀統(tǒng)計(jì)學(xué)角度研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)提供了非常有力的工具，例如通過(guò)統(tǒng)計(jì)Internet中節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)交互，分析獲取 Internet拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的介數(shù)、度分布、聚集系數(shù)等特征，依據(jù)這些統(tǒng)計(jì)特征就可以設(shè)計(jì)相應(yīng)的實(shí)模來(lái)仿真Internet的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

總體來(lái)看，目前關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究多數(shù)只是停留在宏觀統(tǒng)計(jì)分析上，通過(guò)對(duì)某一事件的關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，采用曲線(xiàn)估計(jì)、擬合等方法分析并找出規(guī)律，例如在文獻(xiàn)[5]中，作者就Internet的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)突發(fā)性改變展開(kāi)研究，通過(guò)統(tǒng)計(jì)大量Internet的數(shù)據(jù)來(lái)嘗試解釋突變的原因。宏觀統(tǒng)計(jì)分析能夠從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度解釋很多一直困擾讓人的問(wèn)題，但是由于數(shù)據(jù)的偶然性和時(shí)間的局限性，很難確保統(tǒng)計(jì)的樣本量對(duì)于規(guī)律描述是充分的，此時(shí)需要一種科學(xué)客觀的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)描述理論。將宏觀統(tǒng)計(jì)分析與該結(jié)構(gòu)描述理論相結(jié)合能夠更科學(xué)地解釋一些現(xiàn)象，然而目前對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)描述理論方面的研究幾乎處于空白。k-核解析是一種高效的圖形分析方法，通過(guò)該方法，網(wǎng)絡(luò)逐漸趨于核心的區(qū)域，一些研究人員給出了定性的結(jié)論：越中心的核，連通性越強(qiáng)。但是為什么會(huì)出現(xiàn)這種規(guī)律，連通性增強(qiáng)的幅度等問(wèn)題均未回答。為此本文從k-核解析模型著手，研究了其數(shù)學(xué)意義，推導(dǎo)分析了該模型與網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)的關(guān)聯(lián)性。得出的相關(guān)結(jié)論能夠?yàn)閗-核解析的進(jìn)一步應(yīng)用奠定相應(yīng)的基礎(chǔ)。

2 k-核解析模型

設(shè)圖G= (V，E)是由|V| =n個(gè)節(jié)點(diǎn)和|E|=e條邊所組成的一個(gè)無(wú)向圖，則k-核的定義[6]如下。

定義1k-核（k-core）。由集合C?V推導(dǎo)出的子圖H=(C，E|C)，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)C中的任意節(jié)點(diǎn)v，其度值均大于或等于k，即?v∈C： degreeH(v)≥k，具有這一性質(zhì)的最大子圖就叫作k-核。核中包含的節(jié)點(diǎn)數(shù)目則稱(chēng)為核的大小。依據(jù)k-核的定義，圖G的k-核就可以通過(guò)反復(fù)地移去那些度值小于k的節(jié)點(diǎn)以及與其連接的邊，直到余下圖中所有節(jié)點(diǎn)的度值都大于或等于k來(lái)得到。因此可以通過(guò)k-核解析由外層至內(nèi)層一層一層地解析網(wǎng)絡(luò)，直到最內(nèi)層為止，從而揭示網(wǎng)絡(luò)的層次結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

圖1所示為k-核解析的流程。首先按照k-核定義去掉圖1中度值為1的黑色節(jié)點(diǎn)及其邊，剩下的由灰色與白色節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的拓?fù)鋱D即為2-核；然后去掉度值為2的灰色節(jié)點(diǎn)，剩下的由白色節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖為3-核。需要注意的是，若圖1中出現(xiàn)Y4節(jié)點(diǎn)，按照核解析的定義，需要反復(fù)去掉度值為2的節(jié)點(diǎn)，因此{(lán)Y1，Y2，Y3，Y4}都將會(huì)在2-核解析過(guò)程中被去除，即雖然它們初始度值不同，但是最終都屬于2-層節(jié)點(diǎn)。

3 k-核與聚集系數(shù)關(guān)聯(lián)性分析

大量文獻(xiàn)給出了關(guān)于k-核解析的定性描述：高核內(nèi)節(jié)點(diǎn)的連通性高、傳播性強(qiáng)。但是連通性、傳播性到底代表什么，用什么來(lái)表示，均未給出詳細(xì)定量的描述。本文將連通性、傳播性統(tǒng)稱(chēng)為小世界特性，并引入網(wǎng)絡(luò)直徑與聚集系數(shù)概念來(lái)表征網(wǎng)絡(luò)小世界特性的強(qiáng)弱。網(wǎng)絡(luò)直徑越小、聚集系數(shù)越大的網(wǎng)絡(luò)小世界特性越強(qiáng)，反之越弱。

圖1 k-核解析示意

定義 2節(jié)點(diǎn)聚集系數(shù)(clustering coefficient)[7～9]。某節(jié)點(diǎn)i的聚集系數(shù)為該節(jié)點(diǎn)所有鄰居節(jié)點(diǎn)之間連接數(shù)目占可能的最大連接數(shù)目的比例

其中，li為節(jié)點(diǎn)i的鄰居節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，Ei為這li個(gè)節(jié)點(diǎn)之間存在的連接數(shù)目。一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)為網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)CCi的均值C。節(jié)點(diǎn)聚集系數(shù)是反映節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)連通性特征上貢獻(xiàn)的一個(gè)重要指標(biāo)。網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)是反映網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)連通性、傳播性的一個(gè)關(guān)鍵因素。

定義 3網(wǎng)絡(luò)直徑。指網(wǎng)絡(luò)中任意兩節(jié)點(diǎn)間跳數(shù)的最大值[10，11]。網(wǎng)絡(luò)直徑與聚集系數(shù)共同確定著網(wǎng)絡(luò)小世界特性的強(qiáng)弱。例如圖2(a)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)直徑為6跳，網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)Ca為

由此可以看出圖 2(b)網(wǎng)絡(luò)的小世界特性較圖2(a)網(wǎng)絡(luò)的小世界特性強(qiáng)，即連通性、傳播性均要高于圖2(b)網(wǎng)絡(luò)。因此在圖1給出的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浠A(chǔ)上進(jìn)行k-核解析滿(mǎn)足上文提及的“高核對(duì)應(yīng)著高連通性與傳播性”結(jié)論。但是是否在任意給定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中這一結(jié)論均成立？下文將圍繞這個(gè)問(wèn)題對(duì)命題1展開(kāi)論證。

圖2 k-核解析局部示意

命題1在給定網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渖希粩噙M(jìn)行k-核解析，若k核對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)為Ck，k+1核對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)為Ck+1，則有Ck+1＞Ck；若k核對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)直徑為Dk，k+1核對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)直徑為Dk+1，則有Dk＜Dk+1。

證明 首先關(guān)于網(wǎng)絡(luò)直徑的變化：由k-核解析的定義可知，隨著核數(shù)的增加，k核變?yōu)閗+1核時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)數(shù)目是減少的，且節(jié)點(diǎn)間的連邊也是只有減少?zèng)]有新增。所以網(wǎng)絡(luò)中兩點(diǎn)間最大跳數(shù)不可能增加，即Dk＜Dk+1。其次關(guān)于聚集系數(shù)的變化，對(duì)式(1)進(jìn)行變形

在任意結(jié)構(gòu)中，k-核內(nèi)節(jié)點(diǎn)i的鄰居節(jié)點(diǎn)數(shù)ki為常數(shù)，能影響k-核結(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)i聚集系數(shù)的因素為Ei(k)。此外通過(guò)式(4)可以看出k核中節(jié)點(diǎn)i的聚集系數(shù)CCi(k)與k核拓?fù)渲泄?jié)點(diǎn)i的鄰居節(jié)點(diǎn)間連邊數(shù)目呈離散線(xiàn)性方程關(guān)系，其中，Ki(k)為k核中節(jié)點(diǎn)i對(duì)應(yīng)方程系數(shù)。

圖3為拓?fù)溆蒶-核向k+1-核解析的示意，k-核內(nèi)節(jié)點(diǎn)I、J的度值為dJ(k)與dI(k)，且 dJ(k)＜dI(k)。節(jié)點(diǎn)I為J的鄰居節(jié)點(diǎn)，在該次解析過(guò)程中按照k-核解析的原則將被去除，且J節(jié)點(diǎn)能夠保留在更高核內(nèi)。當(dāng)節(jié)點(diǎn)I被去除時(shí)，對(duì)于拓?fù)渲衅渌Ｓ喙?jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)聚集系數(shù)將會(huì)有2種結(jié)果：保持不變或改變。

圖3 k-核向k+1-核解析示意

本文主要討論節(jié)點(diǎn)I被去除后聚集系數(shù)發(fā)生變化的節(jié)點(diǎn)。例如以圖3中的節(jié)點(diǎn)J為例，節(jié)點(diǎn)I為J的鄰居節(jié)點(diǎn)，且節(jié)點(diǎn)I與J的其他鄰居節(jié)點(diǎn)存在連邊，則I的去除將會(huì)影響節(jié)點(diǎn)J的聚集系數(shù)。由于給定拓?fù)涞木奂禂?shù)與拓?fù)鋬?nèi)部連邊數(shù)目呈過(guò)原點(diǎn)的線(xiàn)性關(guān)系，如圖4所示，因此，只需要確定式(4)線(xiàn)性方程中的Ki(k)即可確定k-核與k+1-核對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性圖。從圖4中可以看出，若k-核解析后節(jié)點(diǎn)J的鄰居節(jié)點(diǎn)間連邊數(shù)目相等，即EJ(k)=EJ(k+1)，則k+1核中節(jié)點(diǎn)J對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)大于k核中節(jié)點(diǎn)J對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)系數(shù)。

圖4 聚集系數(shù)與Ei的線(xiàn)性方程

然而由于k-核解析，I節(jié)點(diǎn)被去除后，導(dǎo)致了k+1核中連邊數(shù)目發(fā)生了減少，即I被去除后，KJ(k)＜KJ(k+1)，但是EJ(k)＞EJ(k+1)，難以確定最終節(jié)點(diǎn)J聚集系數(shù)的變化。對(duì)于圖3給出的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，按照k-核解析的原則可以得出如下推論。

1) 由于k-核中節(jié)點(diǎn)J的度值為dJ(k)，因此，k-核中節(jié)點(diǎn)I的度值dI(k)最大為dJ(k)-2，因?yàn)槿鬱I(k)=dJ(k)-1，則當(dāng)I被去除后節(jié)點(diǎn)J的度值也將變成dJ(k)-1，依照k-核解析定義，J節(jié)點(diǎn)也將被去除，這與原設(shè)定不符。

2) 當(dāng)k-核內(nèi)節(jié)點(diǎn)I被去除后，(k+1)-核中節(jié)點(diǎn)J鄰居節(jié)點(diǎn)連邊數(shù)目相對(duì)于k-核中節(jié)點(diǎn)J鄰居節(jié)點(diǎn)連邊數(shù)最多減少dJ(k)-3條，即EJ(k)-EJ(k+1)＜=dJ(k)-3，因?yàn)榧词构?jié)點(diǎn)I在k-核內(nèi)取最大度值dJ(k)-2，節(jié)點(diǎn)J鄰居節(jié)點(diǎn)連邊數(shù)目中I節(jié)點(diǎn)的所占據(jù)的連邊數(shù)目應(yīng)為I的度值減去I與J之間的一條連邊，即為dJ(k)-2-1。

3) 當(dāng)k-核內(nèi)節(jié)點(diǎn)I被去除后，k+1-核內(nèi)每個(gè)節(jié)點(diǎn)度值最小為dI(k)-1，因?yàn)槿裟硞€(gè)節(jié)點(diǎn)度值為dI(k)-2，則該節(jié)點(diǎn)將與節(jié)點(diǎn)I一起被去除。

圖 4中給出了k-核、(k+1)-核中聚集系數(shù)的函數(shù)直線(xiàn)，可以看出，EJ(k)與EJ(k+1)的差值若可以取任意值，則CCJ(k)與CCJ(k+1)的大小無(wú)法確定。但是通過(guò)上述結(jié)論可知EJ(k)與EJ(k+1)的差值最高為dJ(k)-3，在這個(gè)限制下CCJ(k)與CCJ(k+1)存在何種大小關(guān)系呢？

從圖 4中可以看出在給定某個(gè)EJ(k)值的前提下，隨著EJ(k)與EJ(k+1)的差值由零逐步變大，將會(huì)依 次 出 現(xiàn)CCJ(k)＜CCJ(k+1)、CCJ(k)=CCJ(k+1)和CCJ(k)＞CCJ(k+1)的關(guān)系。EJ(k)與EJ(k+1)的差值越小，則CCJ(k)＞CCJ(k+1)越不可能出現(xiàn)。因此，若當(dāng)EJ(k)-EJ(k+1)=dJ(k)-3 時(shí)，CCJ(k)＜CCJ(k+1)，則可以得出結(jié)論：無(wú)論EJ(k)取何值，k+1-核對(duì)應(yīng)的聚集系數(shù)將大于k核對(duì)應(yīng)的聚集系數(shù)。當(dāng)EJ(k)-EJ(k+1)=dJ(k)-3時(shí)，假設(shè)式(5)成立

又因?yàn)閳D3中節(jié)點(diǎn)J的度值就是節(jié)點(diǎn)J鄰居節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因此dJ(k)=lJ(k)，所以式(6)可以演化為

由于節(jié)點(diǎn)I取得度值為dJ(k)-2，所以在k+1-核內(nèi)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度值最小為dJ(k)-1，去除與節(jié)點(diǎn)J的連邊。則在k+1-核內(nèi)，節(jié)點(diǎn)J的鄰居節(jié)點(diǎn)共有dJ(k)-1個(gè)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)度值最小為dJ(k)-2。通過(guò)拓?fù)鋵W(xué)不難得出，這dJ(k)-1個(gè)度值最小為dJ(k)-2的鄰居節(jié)點(diǎn)，構(gòu)成的拓?fù)渚褪侨B通拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，此時(shí)的EJ(k+1)為

式(8)證明了式(7)的成立，因此假設(shè)成立，即CCJ(k)＜CCJ(k+1)。

通過(guò)上述證明可以得出2點(diǎn)結(jié)論。

1) 在k-核解析過(guò)程中若被去除節(jié)點(diǎn)I的度值為dJ(k)-2，則k+1核中節(jié)點(diǎn)J的鄰居節(jié)點(diǎn)間將為全連通結(jié)構(gòu)。

2) 在給定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中進(jìn)行k-核解析使拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由k-核變?yōu)閗+1-核，當(dāng)去除一個(gè)低度值節(jié)點(diǎn)I時(shí)，若I節(jié)點(diǎn)的去除對(duì)原拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)J的聚集系數(shù)產(chǎn)生影響，且節(jié)點(diǎn)J保留至高核中時(shí)，則節(jié)點(diǎn)J在k+1-核中對(duì)應(yīng)的聚集系數(shù)大于k-核中對(duì)應(yīng)的聚集系數(shù)。即隨著k-核解析的進(jìn)行，高核節(jié)點(diǎn)的聚集系數(shù)保持不變或者增高。

由上述結(jié)論不難看出，隨著低核節(jié)點(diǎn)的逐個(gè)去除，一方面導(dǎo)致高核中節(jié)點(diǎn)數(shù)目的降低，另一方面保留在高核中各個(gè)節(jié)點(diǎn)的聚集系數(shù)只增不減，因此高核拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)最終對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)將會(huì)增加，即命題1成立。至此，關(guān)于命題1的證明結(jié)束。

4 實(shí)驗(yàn)及仿真

為了檢驗(yàn)命題1的正確性，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，首先實(shí)現(xiàn)了Les Miserables網(wǎng)絡(luò)生成方法[12]，生成了一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建了網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)布局，然后借助于Gephi復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)性能分析平臺(tái)，逐步進(jìn)行k-核解析，統(tǒng)計(jì)每一個(gè)k值對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)。若隨著k值的增加，網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)呈增長(zhǎng)趨勢(shì)，則能夠驗(yàn)證命題1的正確性。實(shí)驗(yàn)相關(guān)的設(shè)置如表1所示。

表1 網(wǎng)絡(luò)仿真參數(shù)設(shè)置

圖5顯示了表1仿真環(huán)境下，不同k值設(shè)定下的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分解圖，可以看出，隨著k值的增加，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)越來(lái)越少，當(dāng)k=10時(shí)，網(wǎng)絡(luò)消失，因此表1給出的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渥罡吆藶?。此外當(dāng)k=5與k=6時(shí)，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)沒(méi)有發(fā)生變化，因此當(dāng)k=5時(shí)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中所有節(jié)點(diǎn)度值均大于6。

圖5 k-1核解析分解

各個(gè)k值對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)如表2所示。

表2 k值與網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)的對(duì)照

從表 2可以看出，隨著k-核的不斷解析、k值的不斷增加，網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)呈現(xiàn)逐步增加的趨勢(shì)，該仿真測(cè)試結(jié)果與定理1相吻合。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文主要對(duì)k-核解析與網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)之間的關(guān)聯(lián)進(jìn)行了論證研究。k-核解析是一種復(fù)雜圖分解的常見(jiàn)方法，但是隨著k-核的不斷分解，高核結(jié)構(gòu)所體現(xiàn)出的特性到底如何變化是一項(xiàng)研究空白，本文針對(duì)網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)這一特性，展開(kāi)了研究。通過(guò)理論推導(dǎo)與證明，明確了k-核分解與網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，即越高核對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)越高，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)理論證明。本文得出的結(jié)論可以與現(xiàn)有宏觀統(tǒng)計(jì)分析方法相結(jié)合，為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用提供相應(yīng)的理論基礎(chǔ)，例如重要節(jié)點(diǎn)或者結(jié)構(gòu)發(fā)掘研究、網(wǎng)絡(luò)抗毀性研究等。以文中實(shí)驗(yàn)為例，當(dāng)9-核網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的聚集系數(shù)為0.952，這表明該網(wǎng)絡(luò)中的小世界性很高，具有高傳播性和高抗毀性，對(duì)病毒預(yù)防領(lǐng)域中，該結(jié)構(gòu)的危險(xiǎn)性最高，通過(guò)本文后續(xù)研究能夠找出最優(yōu)結(jié)構(gòu)調(diào)整策略，在微小刪邊代價(jià)下重構(gòu)9-核，將能大大提高網(wǎng)絡(luò)病毒免疫能力。

在后續(xù)工作中，本文將重點(diǎn)研究網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)、邊的價(jià)值屬性，即當(dāng)刪除/添加一個(gè)節(jié)點(diǎn)或者一條邊對(duì)網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)以及其他特征參數(shù)所產(chǎn)生的影響。k-核解析在某種意義上也是一種節(jié)點(diǎn)、邊的刪除行為，但是本文只是通過(guò)推導(dǎo)證明了k-核分解會(huì)造成網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)的增加，但是并沒(méi)有給出具體增加的幅度。通過(guò)后續(xù)工作的研究，能夠?yàn)閗-核解析提供一種全新的量化視角。

[1] 汪小帆， 李翔， 陳關(guān)榮. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論及其應(yīng)用[M]. 北京：清華大學(xué)出版社， 2006.49-70.WANG X F， LI X， CHEN G R. Theory and Applications of Complex Network[M]. Beijing： Tsinghua University Press， 2006.49-70.

[2] SONG C， HAVLIN S， MAKSE H A. Origins of fractality in the growth of complex network[J]. Nature Physics， 2006， 2(4)： 275-281.

[3] GOH K I， SALVI G， KAHNG B，et al. Skeleton and fractal scaling in complex networks[J]. Physical Review Letters， 2006， 96： 018701.

[4] GUO Q Z，et al. Exploring the local connectivity preference in Internet AS level topology[J]. Piscataway， 2007， 13(1)： 6439-6445.

[5] ZEGURA E W， CALVERT K L， DONAHOO M I. A quantitative comparison of graph-based models for internet topology[J].IEEE/ACM Trans on Networking， 1997， 5(6)：770-783.

[6] ONNELA， J. SARAMAKI， HYVONEN J. Structure and tie strengths in mobile commutation networks[J]. PNAS， 2007，104(18)： 7332- 7336.

[7] BARCELó J M， NIETO-HIPóLITO J I， GARCIA-VIDAL J. Study of Internet autonomous system interconnectivity from BGP routing tables[J]. Computer Networks， 2004， 45(3)：333-344.

[8] DIMITROPOULOS X， KRIOUKOV D， FOMENKOV M，et al. AS relationships： inference and validation[J]. SIGCOMM Computer Communications Review， 2007， 37(1)：29-40.

[9] PARK S T， PENNOCK D M， GILES C L. Comparing static and dynamic measurements and models of the Internet's topology[A]. Proceedings of the 23rd Annual Joint Conference of the IEEE Computer and Communications Societies[C]. 2004.1616-1627.

[10] ZHOU S， MONDRAGON R J. The rich-club phenomenon in the Internet topology[J]. IEEE Communication Letters， 2004， 8(3)：180-182.

[11] ZHOU S， MONDRAGON R J. Structural constraints in complex networks[J]. New Journal of Physics， 2007， 9(172)：1-11.

[12] KNUTH D E. The Stanford GraphBase： A Platform for Combinatorial Computing[M]. Addison-Wesley， Reading， MA， 1993.