張尚財(cái)

內(nèi)蒙古阿拉善盟第一中學(xué)

一道典型題目的典型錯(cuò)解

張尚財(cái)

內(nèi)蒙古阿拉善盟第一中學(xué)

均值不等式是不等式的一個(gè)重要變形依據(jù)，是高考中不可缺少的解題工具，常用于證明不等式、判斷不等式是否成立、求函數(shù)的值域或者最值、求字母的取值范圍、求解實(shí)際問(wèn)題等，它所能解決的題型遍布高考試題的選擇、填空及解答題，但在運(yùn)用時(shí)，同學(xué)們往往不能很好的運(yùn)用均值不等式成立的條件。

例如：已知x>0,y>0，且，求x+y的最小值。

解：∵x>0,y>0，且

，故(x+y)min=12

上面解法看上去似乎每一步都是合情合理的，但實(shí)際上答案是錯(cuò)誤的。那到底是為什么了？關(guān)鍵是沒(méi)有注意到利用均值不等式時(shí)等號(hào)成立的條件，即“且x=y”，顯然不能同時(shí)成立。下面提供幾種正確的解法：

一、利用均值不等式

均值不等式解題的關(guān)鍵是深刻理解“一正二定三相等”的內(nèi)涵，只有使“七字”成為啟迪思維的動(dòng)力，才能達(dá)到解題的效果。

解法1：∵x>0,y>0，且

故x=4,y=12時(shí)，(x+y)min=16

二、判別式法

把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)根從而利用判別式解題。

解法2：設(shè)

，得z≥16，故(x+y)min=16

三、三角換元法

利用“1”的特殊性,通過(guò)三角換元能夠巧妙解題。

解法3：∵x>0,y>0，且

四、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)無(wú)形卻直觀，形無(wú)數(shù)難入微”數(shù)形結(jié)合能開(kāi)啟學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的能力，從而養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。

解法4

如圖，在圖像上找一點(diǎn)，使x+y最小

作直線y=-x,向上平移使當(dāng)y=-x+z與相切時(shí)，x+y取最小值16.

五、導(dǎo)數(shù)法

解法5：由解法5知，當(dāng)y=-x+z與相切時(shí)，x+y取最小值

通過(guò)多種解法，為學(xué)生的思維提供聯(lián)系，猜想，歸納抽象的機(jī)會(huì)，促使學(xué)生的思維由封閉狀態(tài)逐步過(guò)渡到開(kāi)放狀態(tài)，從而培養(yǎng)學(xué)生思維能力，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。