張節(jié)松

(淮北師范大學數(shù)學科學學院，安徽淮北235000)

數(shù)學分析和復變函數(shù)是數(shù)學專業(yè)的兩門重要基礎課，前者建立在實數(shù)域上，后者以復數(shù)為自變量討論問題。由于實數(shù)為復數(shù)的特殊子集，這兩門課程在教學內容上存在諸多類似之處。鑒于復變函數(shù)為數(shù)學分析的后續(xù)課程，恰當?shù)貙⒍哌M行類比不僅能幫助學生理解，還可以激發(fā)他們的學習熱情，啟發(fā)他們的科研意識。例如，在教學實踐中曾有學生問道:在數(shù)學分析中，講完單變量微積分，還講授了多變量微積分，為什么在復變函數(shù)課程中沒有多變量函數(shù)的理論呢?這是根據(jù)兩課程聯(lián)系而提出的一個自然問題，然而回答起來卻并不容易。實際上，多復變分析已成為當代數(shù)學研究的一個主流方向[1]。恰當?shù)貞脭?shù)學分析知識幫助解決一些復分析問題，也可以使學生溫故知新，培養(yǎng)他們運用已學知識解析問題的能力。

需要說明的是，只有部分數(shù)學分析的結論在復變函數(shù)中得以保持，有些卻有所差異，甚至截然不同。因此，在復變函數(shù)的課程教學中探究哪些可以保持、哪些不再成立、有什么內在的本質原因等問題，顯得尤為重要，也是學生學習和運用復變函數(shù)知識時需要特別注意的。另外，對于那些不再成立的結論，是否存在復數(shù)域內的相應形式，如果存在又是什么?這些問題同樣值得探討。

出于上述考慮，本文首先將數(shù)學分析與復變函數(shù)這兩門課程的相關教學內容進行類比，分別指出在復變函數(shù)中得以保持和不能照搬的結論并給予討論，對部分在復數(shù)域內不再成立的結論指出了相應研究成果。并結合數(shù)學分析知識證明復變函數(shù)的一些結論，進一步明晰這兩門課程的聯(lián)系。

1 教學內容的類比

1.1 數(shù)與函數(shù)

與實數(shù)域的情形相同，復數(shù)滿足運算的一般定律，加法遵守交換律與結合律，乘法遵守交換律與結合律且遵守乘法對加法的分配律。根據(jù)解析函數(shù)的惟一性定理這一內在原因，一切代數(shù)恒等式在復數(shù)域內仍然成立，如a2－b2=(a+b)(a－b)。對數(shù)函數(shù)的基本性質也是成立的，如ln(z1z2)=lnz1+lnz2，ln(z1/z2)=lnz1－lnz2等。關于復指數(shù)函數(shù)ez，就實數(shù)z=x來說，復指數(shù)函數(shù)ez的定義與實指數(shù)一致，ez在復平面上也是可微且滿足加法定理的，即(ez)'=ez，ez1+z2=ez1ez2。類似地，正弦函數(shù)sinz和余弦函數(shù)cosz對于z為實數(shù)來說，一致于數(shù)學分析情形，在z平面上可微且(sinz)'=cosz，(cosz)'=－sinz。同樣，sinz是奇函數(shù)，cosz是偶函數(shù)，并遵從通常的三角恒等式，如sin2z+cos2z=1，sin(z1+z1)=sinz1cosz2+cosz1sinz2;它們都是以2π為周期的周期函數(shù);sinz的零點還是z=nπ，cosz的零點還為z=(n+1/2)π。此外，完備性定理(如波爾查諾(Bolzano)－魏爾斯特拉斯定理、閉集套定理、海涅－波萊爾(Heine－Borel)覆蓋定理也依然保持。

但是，與實數(shù)域內|sinx|≤1的情形不同，正余弦函數(shù)ez在復數(shù)域內均不再有界;復指數(shù)函數(shù)ez變成了以2πi為周期的周期函數(shù);在數(shù)學分析中，指數(shù)函數(shù)ex與三角函數(shù)sinx、cosx沒有直接關聯(lián)，而在復變函數(shù)中，它們通過尤拉公式eiz=cosz+i sinz進行溝通;在實對數(shù)函數(shù)中，負數(shù)是沒有對數(shù)的，而復對數(shù)函數(shù)可以對任何一個非零復數(shù)定義，并且正實數(shù)的復對數(shù)是無窮多值的;復變函數(shù)的極限的定義與單變元實變函數(shù)的極限概念盡管形式上一樣，但極限要求z要沿著任意方向趨向z0時的極限均相同。對比數(shù)學分析中一元實變函數(shù)f(x)的極限，指在實軸上x只沿x0左右兩個方向，復變函數(shù)極限存在的要求顯然苛刻得多，這也是復變函數(shù)與數(shù)學分析的根本性區(qū)別。可微且不恒為零的實變函數(shù)，其零點不一定孤立，可微且不恒為零的解析函數(shù)，其零點則必然孤立;有界閉區(qū)域上的實連續(xù)函數(shù)，其最大值不一定在邊界上取得，而復變函數(shù)中存在最大模定理，有界閉區(qū)域上非常數(shù)的解析函數(shù)一定在邊界上達到最大值。

1.2 函數(shù)的導數(shù)與中值定理

數(shù)學分析中函數(shù)求導包括復合函數(shù)求導的法則在復變函數(shù)中仍然保持，洛必達(L’Hospital)法則也是成立的。關于復變函數(shù)中洛必達法則的詳細討論可參見文獻[2－3]。不過，數(shù)學分析的主要研究對象為連續(xù)函數(shù)，復變函數(shù)則主要研究解析函數(shù)。解析是較連續(xù)強得多的條件，也具有更多的良好性質，如無窮可微性、冪級數(shù)展開等。這些對于連續(xù)函數(shù)而言是絕不可能的，因為其導函數(shù)不一定存在;在數(shù)學分析中，處處連續(xù)而處處不可微的函數(shù)很難得到，需要復雜的構造，而在復函數(shù)中幾乎隨手可得。

由文獻[4]可知，數(shù)學分析的微分中值定理不能直接推廣到復平面，關于其內在原因的探討可參見文獻[5]。那么在復數(shù)域內，是否存在相應形式的中值定理?文獻[6]研究了這一問題，遺憾的是其立論基礎(定理1)并不成立[7]。文獻[8]進一步討論了該問題，得到了復函數(shù)的一個一般性微分中值公式。

1.3 積分

從定義上看，實、復積分都是分割、取近似值、求和取極限的思路，復變函數(shù)積分保持著黎曼積分的大部分基本性質，如線性性、分段積分不變性、積分與路徑的無關性、絕對值不等式、連續(xù)必可積，可積必有界等。重要的牛頓－萊布尼茨公式也相應成立(需在單連通區(qū)域內且解析)。復積分建立在復平面上，實為沿曲線積分，相當于兩個二元實函數(shù)的線積分，格林公式搭建了沿閉曲線積分與二重積分的聯(lián)系。

在計算方法上，解析函數(shù)積分的計算更加靈活多樣，數(shù)學分析中的積分中值定理不能直接推廣到復積分上來，如

關于復變函數(shù)和數(shù)學分析主要內容的類比以及類比教學法在復變函數(shù)教學中應用的討論還可參見文獻[5，9 －10]。

2 數(shù)學分析在復變函數(shù)課程教學中的應用

2.1 一個注記的證明

在復變函數(shù)的經(jīng)典教材[4](第111頁)有一個注記但未予證明，即“設E、F是平面上兩個點集，ρ(E，F(xiàn))=是點集E與F的距離。若E，F(xiàn)是兩不相交的閉集，且E有界，則有ρ(E，F(xiàn))＞0”。下面應用數(shù)學分析的知識給予證明。

根據(jù)下確界的定義，存在點列{ξn}?E與{ηn}?F，使

由于E有界，所以{ξn}有界。由波爾查諾(Bolzano)－魏爾斯特拉斯定理，存在子列{ξnk}收斂于z1，且因E為閉集，z1∈E。此時易見{ηnk}也有界，因而它有子列{ηnkj}收斂于一點z2∈F，對應的子列{ξnkj}仍是收斂于 z1的。于是

因 E∩F=?，故 z1≠z2，所以 ρ(E，F(xiàn))＞0。

2.2 柯西積分定理的證明

柯西積分定理被認為是研究復變函數(shù)的一把鑰匙，此定理由柯西于1825年提出，黎曼首先在添加條件“f'(z)在D內連續(xù)”的前提下給予了證明，古爾薩(Goursat)不添加任何條件給出了定理的完全證明。文獻[4]采用了古爾薩證明，但其過程較為繁瑣，不便于在教學實踐中講授。文獻[11]利用調和分析的方法給出了一個新的證明，其中還用到了控制收斂定理等實分析的高級工具。若采用該證法，則知識點可能超綱。為此，文獻[12]利用數(shù)學分析的知識構造了一個簡單的恒同逼近函數(shù)。由此應用逼近思想，成功地用滿足柯西－黎曼條件的連續(xù)可微的函數(shù)逼近一般的可微函數(shù)，給出了柯西積分定理的一個初等證明，方便了復變函數(shù)論中這一關鍵性定理證明的教學。

2.3 亞純函數(shù)在周線C內至多只有有限個內部零點和極點的證明

設(1)C是一條周線，f(z)在C的內部是亞純的，且連續(xù)到C;(2)f(z)沿C不為零，則(試證)函數(shù)f(z)在C的內部至多只有有限個零點和極點。

對于該問題，文獻[13]給出了分析。從嚴格意義上還需證明D1為區(qū)域。為避免這一問題，下面結合數(shù)學分析知識，給出新證法。

(反證)假設f(z)在C內有無限多個極點，根據(jù)聚點定理知，存在極點列{zn，n≥1}使zn→z∈C0+C，下證a也是f(z)的極點。若不然，由題設條件知f(z)在a點連續(xù)，因此ε=1對，必存在σ1＞0，使得只要|z－a|＜σ1，就有|f(z)－f(a)|＜1。

根據(jù)zn→a知，對σ1＞0，存在N使得當n＞N 時，有|zn－a|＜σ1，特別地，|zN+1－a|＜σ1。由于 zN+1∈⊙(a，σ1)，所以存在 σ2＞0，使得圓⊙(zn+1，σ2)?⊙(a，σ1)。又由 zN+1為極點，所以對 M=|f(a)|+2，存在σ3＞0，使得只要0＜ |z－zN+1|＜σ3，就有|f(z)|＞M=|f(a)|+2。

于是，當0＜ |z－zN+1|＜min(σ2，σ3)時，有|z－a|＜σ1，|f(z)|＞ |f(a)|+2且|f(z)－f(a)|＜1。由此推出|f(a)|=|f(a)－f(z)+f(z)|≥|f(z)|－|f(z)－f(a)|＞|f(a)|+2－1=|f(a)|+1。

則產(chǎn)生矛盾?？梢姡敇O點無限多時，所求得的極限點a亦為極點，鑒于zn→a，顯然不可能為孤立奇點，即極點a非孤立。

因為f(z)連續(xù)到C，所以a必然屬于C的內部C0，注意到a為函數(shù)1/f(z)的零點，而a非孤立，其任意鄰域內還存在函數(shù)1/f(z)的其它零點，這與解析函數(shù)零點的孤立性矛盾?？梢姾瘮?shù)f(z)的極點不可能無限多，于是結論得證。

實際上，利用數(shù)學分析證明復分析結論的例子還很多，如函數(shù)解析的充要條件[12]等。另外，利用復分析知識同樣可解決數(shù)學分析的相關問題，如冪級數(shù)理論的本質描述、利用留數(shù)定理計算實積分等。這很好地詮釋了數(shù)學的奧秘在于它們相通而不是孤立的存在。

3 結語

在復變函數(shù)的課程教學中，常常能感受到其與數(shù)學分析課程有著諸多近似，但差異之處同樣不時出現(xiàn)，因此需要謹慎對待。本文類比了這兩門課程主要教學內容的內在聯(lián)系與區(qū)別，為復變函數(shù)課程的教學提供參考，有利于學生增強聯(lián)想、猜想以及探索的意識。同時，這也啟示我們在復變函數(shù)的教學實踐中對可移植的內容適當復習并說明一致性即可;對差異之處要特別強調，以避免學生想當然地照搬數(shù)學分析的知識點，出現(xiàn)理解錯誤、應用不當?shù)那闆r。另外，還應將數(shù)學分析的相關知識點引入復分析若干結論的證明中，以促進新舊知識銜接，幫助學生融會貫通不同學科的知識，培養(yǎng)自如運用所學知識創(chuàng)新的意識和能力。

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